Corrente Elettrica. dq dt

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1 Corrente Elettrica Finora abbiamo considerato le cariche elettriche fisse: Elettrostatica Consideriamole adesso in movimento! La carica in moto forma una corrente elettrica. L intensità di corrente è uguale al tasso (rapidità) con cui le cariche si muovono attraverso una ipotetica sezione di un conduttore i dq dt La direzione della corrente è definita come la direzione in cui si muovono le particelle cariche positivamente. Comunue, la corrente è uno scalare. Q Q = n V q = n A xl q = n A vd t q I = = n q vd A t

2 Corrente Stazionaria (o continua) Una corrente elettrica la cui intensità non varia nel tempo. Una volta raggiunto lo stato stazionario, la corrente è la stessa attraverso una qualunque sezione di un conduttore (continuità). La carica totale che passa attraverso una sezione in un intervallo di tempo t è data da q = dq t = idt = 0 it Unità SI : Ampere (A) 1 A = 1 C/s

3 Densità di Corrente La densità di corrente è un vettore. La direzione della densità di corrente in un dato punto è la direzione in cui si muove una carica positiva. L intensità della densità di corrente è tale che la corrente totale attraverso una sezione è data da i = J da se la corrente èuniforme e parallela a da i = J da = J da = JA J = i A Linee di flusso del campo di corrente

4 Aspetti Microscopici Quanti elettroni mobili che ci sono in un conduttore? Esempio Il rame è utilizzato comunemente nell impianto elettrico delle abitazioni. Quanti sono gli elettroni mobili che troviamo in un filo di rame? La densità del rame è 8.95 g/cm 3 ed il suo peso molecolare 63.5 g/mole (in una mole di qualunque sostanza contiene un numero di atomi pari al numero di Avogadro atomi. Nell ipotesi che vi sia un solo elettrone mobile per ciascun un atomo di rame: V m 63.5 g = = = 7.09cm 3 ρ 8.95 g cm 3 23 N Av elettroni 22 elettroni 28 elettroni n = = = = V 7.09cm cm m

5 Aspetti Microscopici Le cariche mobili, cioè gli elettroni, si trovano nei conduttori con una densità, n e (n e m -3 ) Il campo elettrico E mette in moto gli elettroni: tutte le cariche si muovono con una velocità, v e gran parte del moto è di tipo casuale (in tutte le direzioni on media nulla) con una piccola velocità media eguale a v d velocità di deriva La velocità dovuta al moto casuale è dell ordine di 10 6 m/s. Mentre, la velocità di deriva è solo 10-5 m/s.

6 Aspetti Microscopici Densità di Corrente, J, è data da J = q e n e v d unità di J è C/m 2 sec ovvero Ampere/m 2 la corrente, I, è J moltiplicato l area della sezione, p.es. I = J πr 2 se circolare. Il campo E in un conduttore è generato da una batteria Le cariche sono messe in movimento, ma vengono diffuse in tempi molto brevi da oggetti sul loro cammino c è un grande affollamento all interno del metallo difetti, vibrazioni reticolari, ecc. Tipico tempo di diffusione τ = sec le cariche sono accelerate durante questo tempo e, successivamente, diffuse casualmente

7 Aspetti Microscopici A che velocità si muovono gli elettroni mobili? Esempio Un filo di rame ha diametro di 2.5 mm2 e sezione di circa 5 mm2, se è attraversato da una corrente di 10 A a che velocità media si muovono gli elettroni? Noto il numero di elettroni liberi nel rame (vedi es. precedente), la velocità di deriva vale: J I vd = = = ne nea 10 C s 4 m = = elettroni C 5 10 m s 3 m Non sembra particolarmente elevata: ci vogliono circa sec per percorrere 1 metro (4 ore!!!).

8 Aspetti Microscopici la velocità media raggiunta in questo F = ma vd = tempo è [ ee=forza forza, forza/m = a, v=at ] la densità di corrente è J = nev d, quindi la corrente è proporzionale ad E che è proporzionale alla d.d.p. I J v E V V = I R V R = resistenza ( unità di misura ohm, Ω) 1Ω = I 1V 1A eeτ m In diversi casi R=cost al variare di V Legge di OHM Legge di OHM non è una legge fondamentale della natura! Piuttosto è una relazione empirica valida soltanto per certi materiali e/o dispositivi, in un campo limitato di condizioni! p.es. i semiconduttori, ed i dispositivi (diodo, transistor) sono non-ohmici

9 Validità della legge di Ohm Un materiale conduttore obbedisce alla legge di Ohm quando la resistività del materiale è indipendente dall intensità e direzione del campo elettrico applicato. ohmico non-ohmico Comunque, la resistività è, in generale, dipendente dalla temperatura. La dipendenza è all incirca lineare (per i metalli), i.e. ρ ρ αρ 0 = 0 T T0 ( ) coefficiente di temperatura della resistività, α I metalli obbediscono alla legge di Ohm solo quando la temperatura è mantenuta costante durante la misura.

10 Resistività e coefficienti termici della resistività per alcuni materiali:

11 Aspetti Microscopici (definizioni) Sulla base delle relazioni precedenti possiamo riscrivere la legge di OHM in forma microscopica (prescindendo dalla forma e dimensioni del conduttore): 2 ne τ J = E ovvero J = σ E m Conducibilità 2 ne τ σ = m Resistività 1 ρ = E = ρj σ

12 I R Resistenza I V Resistenza La resistenza è definita come il rapporto tra la d.d.p. applicata e la corrente che la attraversa. R V I Unità: OHM = Ω Effetto delle dimensioni L ρ A All aumentare della lunghezza, il flusso di elettroni è limitato All aumentare dell area della sezione il flusso è favorito R Analogia (macroscopica) con il flusso di acqua in una conduttura = j A L E

13 Aspetti Macroscopici Le proprietà di un materiale dipendono dalle sue proprietà microscopiche Se il materiale è uniforme: j I A = V = EL j A L E I ρl V = E L = ρ jl = ρ L = I A A L R= ρ A V = I R con Legge di Ohm (R=cost.)

14 Aspetti Macroscopici (riassumendo...) V = IR con L R= ρ A E Legge di Ohm: è indipendente dalla forma del resistore. j A L La formula per R NON E la legge di Ohm, ed è valida per conduttori di sezione arbitraria, MA SOLO SE la sezione è la stessa per tutta la lunghezza.

15 Esempio #1 Due resistori cilindrici sono realizzati con lo stesso materiale, e sono di lunghezza eguale. Il primo resistore ha diametro d, ed il secondo resistore ha diametro 2d. Confrontare la resistenza dei due cilindri. a) R 1 > R 2 b) R 1 = R 2 c) R 1 < R 2

16 Esempio #2 Due resistori cilindrici sono realizzati con lo stesso materiale, e sono di lunghezza eguale. Il primo resistore ha diametro d, ed il secondo resistore ha diametro 2d. Se la stessa corrente fluisce attraverso entrambi i resistori, confrontare le velocità di deriva medie degli elettroni nei due resistori: a) v 1 > v 2 b) v 1 = v 2 c) v 1 < v 2

17 Superconduttori Per una classe di metalli e composti noti come superconduttori la resistenza diventa zero al di sotto di una particolare temperatura critica T c. Levitazione di un magnete permanente su un disco superconduttore alla temperatura dell azoto liquido -196 ºC (77 K).

18 Energia e Potenza nei circuiti elettrici V Supponiamo che la corrente nel circuito in fig. sia i, fluendo attraverso la d.d.p. V. In un intervallo di tempo dt, la quantità di carica che si muove da a a b è quindi dq = idt. La variazione nell energia potenziale associata con questa carica è Pertanto, la potenza associata con il trasferimento di carica è Per un dispositivo di resistenza R, la dissipazione di potenza è du = dq V = idt V Rammentiamo: Potenza = (Energia)/(intervallo di Tempo) P P du = = iv dt = i R = 2 V 2 R Tre modi per scrivere P.

19 Generatore di forza elettromotrice f.e.m. Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale tra una coppia di terminali batterie generatori elettrici celle solari termopile celle a combustibile L energia si conserva! Un dispositivo f.e.m. converte semplicemente altre forme di energia (p.es., chimica, meccanica, solare, termica, e così via) in energia elettrica.

20 F.E.M. Forza Elettromotrice All interno di un dispositivo f.e.m., i portatori di carica positiva si muovono dal terminale a potenziale più basso (cioè, il terminale negativo) a quello a potenziale più alto (cioè, il terminale positivo). Quindi del lavoro deve essere svolto nel processo. La f.e.m. del dispositivo è definita come lavoro per unità di carica: ε dw dq unità SI: volt (V) 1 J/C = 1 V

21 Dispositivi f.e.m. ideali e reali Dispositivo f.e.m. ideale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica non subiscono alcun effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è eguale alla f.e.m. del dispositivo. Dispositivo f.e.m. reale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica subiscono un effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è più piccola della f.e.m. del dispositivo, a causa della dissipazione di energia interna. Ci riferiamo a questo fenomeno come caduta di tensione Ohmica.

22 Conservazione dell energia Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale (B) con f.e.m. ε, un resistore R, e due fili di connessione (con resistenza trascurabile). Conservazione Energia: l energia dissipata nel resistore deve eguagliare il lavoro fatto dalla batteria Durante un intervallo di tempo dt, il lavoro svolto dalla batteria è dw = ε dq = ε i dt, e l energia dissipata nel resistore è de = i 2 R dt. Eguagliando le due relazioni si ha i = ε/ R.

23 Generatore di f.e.m. reale V = ε I r poichè V = I R ε I = = I R + batt ε R + r I r 2 2 P = I = I R + I r ε la resistenza interna del generatore deve essere trascurabile rispetto a quella del carico per avere un efficiente trasferimento di energia!

24 Resistori in serie Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine con resistenze R 1 e R 2. deve essere I = cost per cui V = V = V + V = IR + IR eq eq 1 2 eq ac ab bc quindi V = IR = IR + IR R = R + R in generale R = R + R + R La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse

25 Resistori in parallelo Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine collegate in parallelo con resistenze R 1 e R 2. V V 1 1 V deve essere V = cost I = I1 + I2 = + = V + = R1 R2 R1 R2 Req quindi = + in generale = R R R R R R R eq 1 2 eq L inverso della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo è uguale alla somma dell inverso delle singole resistenze ed è sempre minore del più piccolo resistore

26 Esempio Le lampadine collegate al generatore in questo modo, sono tutte eguali: 1) quale sarà, nell ordine, la loro luminosità? 2) cosa succede se si interrompe A ( si brucia)? 3) se si interrompe C? 4) se si interrompe D? 1.in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà più luminosa di A o B, che hanno la stessa luminosità; D non si accenderà mai (ha i terminali in corto-circuito) 2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta 3. A e B più luminose, D sempre spenta 4. ininfluente

27 Esempio a) trovare la resistenza equivalente della rete di resistori in grafico b) qual è la corrente in ciascun resistore se la d.d.p. tra a e c vale V ac =42V Applicando le relazioni per collegamento in serie e parallelo di resistenze R = 14Ω eq La corrente nelle resistenze da 8Ω e 4Ω è = cost usando V = IR si ha Vac 42V I = = = 3 A Ai capi b e c V = cost quindi R 14Ω eq 6Ω I = 3Ω I da cui I = 2 I, inoltre I + I = I = 3 A I = 1A e I = 2 A