Conduzione e Corrente Elettrica

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1 Conduzione e Corrente Elettrica I conduttori (metallici) sono solidi costituiti da atomi disposti in maniera ordinata nello spazio, che hanno perso uno o più elettroni (negativi) che sono liberi dimuoversinello spazio tra gli ioni positivi. N A m -3,N e =1 4 N A m -3 =1 4 x cm -3 In un corpo in equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni avviene ad elevatissima velocità ma in maniera caotica: v med =0. med In presenza di un campo elettrico gli elettroni acquistano una piccola velocità nella direzione opposta al campo elettrico, v med 0. Questomotodichiama corrente elettrica. 1

2 In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che, quindi, si muovono nel verso del campo elettrico. La corrente può essere istantanea (es: tra due corpi a diverso potenziale messi a contatto), oppure stazionaria. La corrente (stazionaria) deve circolare in un circuito, percorso chiuso costituito i da più conduttori collegati. Per ottenerla è necessario un generatore, dispositivo in grado di mantenere una d.d.p. (e quindi un campo elettrico) costante nel tempo. Simbolo circuitale di un generatore (in continua) 2

3 Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo! Quindi è un Campo elettromotore che genera una forza elettromotrice (f.e.m.). Es. Pila,accumulatore, lt dinamo,alternatore, t Oltre ai conduttori metallici, esistono conduttori gassosi, elettrolitici e semi- conduttori! Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza, dovuta agli urti contro vari ostacoli. Modellosemplice li dll dellaconduzioned elettrica ltti (di Drude) Hp: n portatori di carica per unità di volume che, con E = 0, si muovono con velocità termica media v t (random). 3

4 In presenza di un campo elettrico E, all interno del conduttore, prodotto da un generatore, su ogni carica, tra due urti successivi, agisce una forza F = e E eun accelerazione a = e E/m, lungo una distanza fra i due urti l eperuntempoτ =l/v Dato che la media delle velocità termiche è zero, a ogni elettrone resta solo la velocità di deriva (drift) = μ E μ si chiama mobilità del materiale. unità di misura: μ =v d /E = m/s m/v = m 2 / V s 4

5 Se consideriamo i il numero di elettroni che attraversano una sezione dσ di un conduttore nell unità di tempo, esso sarà (v. def. di flusso): ndφ (v d )= n v d dσ cosθ con θ l angolo tra v d e u n, normale a dσ, Il flusso di carica (per unità di tempo) attraverso dσ, indichiamolo con di, sarà quindi: di = q n v d dσ cosθ =nqv d u n dσ Se chiamiamo il vettore j = nqv d densità di corrente Allora si ha di = j u n dσ 5

6 Chiamiamo corrente, i, la carica che, nell unità di tempo, attraversa tutta la sezione Σ del conduttore; si ha: j u n se j e costante su tutta Σ e parallelo a u n i=jσ e j=i/σ Unità di misura: i = C/s = A, Ampere j=i/σ =A/m 2 6

7 N.B. I portatori veri sono elettroni di carica q = - e, ma la loro velocità è opposta al campo elettrico. Quindi sono concordi. j + = n + e v d e j - = n - (-e) (-)v d Ni Nei semiconduttori ienegli elettrolitici li i ici sono portatori +e- quindi j tot = j + + j - = n + e v d + n - (-e) (-)v d 7

8 In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è costante (Condizione di stazionarietà della corrente). Quindi : j è solenoidale, non ci sono né pozzi né sorgenti Ma se 0 q è la quantità iàdi carica dentro Σ Equazione di continuità della corrente (o della carica (!)) 8

9 Applichiamo il teo. della divergenza inoltre Quindi l equazione di continuità diventa da cui Forma locale dell equazione di continuità 9

10 Ma per la legge di Gauss per cui in forma locale la legge di Gauss è: per cui stazionarietà: non stazionarietà: 10

11 Leggi di Ohm Ohm ha verificato che per una certa categoria di conduttori, detti metallici, i il rapporto tra la tensione ai capi del conduttore, V elacorrentechescorre in esso, i, è una costante, indicata con R, Resistenza del conduttore. V/ i = R (I Legge ) 11

12 Riprendiamo j = nqv d = nqμ E = σ E con σ = nqμ σ, si chiama conduttività/conducibilità del materiale La relazione j=σ E èlaleggediohmper la conduttività (Legge di Ohm microscopica, locale) Se chiamiamo ρ = 1/σ allora resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore) j = σ E = E / ρ E = j / σ = j ρ ρ = E / j (R = V/I) 12

13 Per un conduttore di forma irregolare, in un tratto dh di sezione Σ, siha E = ρ j con Questa è una definizione più generale di R, resistenza del conduttore. Infatti 13

14 Se il conduttore di lunghezza h, ha sezione Σ e resistività ρ può scrivere come costanti la resistenza R si II legge di Ohm. 14

15 Unità di misura R = V/ i Volt/Ampere V/A = Ohm Ω G = Conduttanza = 1/ R Ω -1 (Mho) Siemens S ρ = Ohm cm 2 /cm Ωcm σ =1/ρ ( Ω cm) -1 =S/cm ρ varia con la temperatura: ρ = ρ 0 (1+α Δ t) α = coefficiente termico 15

16 Effetto Joule Se una carica dq si muove nel conduttore sotto l azione di un campo elettrico, in presenza di resistenza al moto, il campo compie il lavoro dw = dq V = V i dt producendo una potenza P =dw/dt= iv = i 2 R = V 2 /R Dopo un tempo t è stato prodotto il lavoro P Se i è costante nel tempo: W=i 2 Rt 16

17 Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi, mentre si trascura quella del resto del circuito (fili di collegamento, ecc.) Questi elementi si chiamano Resistori i (Resistors), ognuno caratterizzato t dalla sua resistenza R. Simbolo circuitale di un resistore (resistenza!) 17

18 Più resistori possono essere collegati tra loro per ottenere valori di resistenza diversi da quella dei singoli resistori. Due modalità: In serie, in parallelo. Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi: Resistori in serie Nei resistori in serie passa in tutti la stessa corrente,lad.d.p. dipende dalla R Dobbiamo trovare la resistenza equivalente alla serie di R 1 e R 2 : R eq R eq = R 1 + R 2 18

19 Per n resistori in serie R eq = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R n N.B. R eq > Max{ R i } La potenza totale spesa dal generatore vale : P =(V A V C )i = (R 1 + R 2 )i 2 =R 1 i 2 + R 2 i 2 = P 1 +P 2 19

20 Resistori iin parallelo l Nei resistori in parallelo, c è la stessa d.d.p. d V ai capi di tutti. La corrente si divide. In condizioni stazionarie: i=i 1 +i 2 Per n resistori in parallelo: 20

21 N.B.: R eq < min { R i } Quanto valgono le due correnti i 1 e i 2? La potenza spesa dal generatore: 21

22 Forza elettromotrice ltt ti Per la I legge di Ohm la d.d.p. ai capi di un conduttore di resistenza R è: Se il circuito è costituito dal solo conduttore l integrale circuitale diviene e rappresenta la Forza Elettromotrice (f.e.m.) che fa circolare la corrente, prodotta dal generatore, nella resistenza totale R T 22

23 Se l integrale circuitale non è 0, il campo E non può essere elettrostatico e conservativo! All interno del generatore ci sono forze di natura non elettrostatica che provocano il moto delle cariche. Tali forze possono essere di varia natura: chimica, elettromagnetica, Ovviamente nel generatore è presente anche un campo elettrostatico E el che, però, farebbe muovere le cariche in senso opposto al campo E*, ed e minore di E*. 23

24 E* è presente solo nel generatore, quindi E Il generatore possiede anche una sua resistenza interna r, della quale si dovrebbe sempre tener conto. Quindi per il semplice circuito in figura si ha: E = (r+r) i E E e può disegnare l andamento a fianco: 24

25 Partitore resistivo Se ci sono n resistori in serie, ai capi di ognuno si ha la d.d.p., V i : ma V AB = E - ri <E 25

26 Carica di un condensatore attraverso un resistore (Circuito RC) Per t < 0, circuito aperto, non circola corrente, V C =0 A t = 0, il tasto T viene chiuso, inizia a circolare corrente. Applichiamo la Legge di Ohm: 26

27 27

28 τ = 28

29 Scarica di un condensatore (carico) resistore attraverso un Per t < 0, C carico, < T aperto, non scorre corrente At=0, si chiude T, inizia a scorrere corrente da + a q: carica sul condensatore 29

30 30

31 Corrente di spostamento Durantelacaricaoscaricadelcondensatorenel circuito scorre corrente anche se il condensatore è una interruzione del circuito. Ogni +dq che si accumula sulla faccia sup. di C induce una carica dq sulla faccia inferiore, che allontana una carica +dq efaproseguireilmoto di cariche. Chiamiamo questa corrente fittizia tra le armature del condensatore Corrente di Spostamento, i s 31

32 Per un C.f.p.p. p La corrente di spostamento dipende dalla variazione nel tempo del flusso di E. C è finche Φ(E)varia. Definiamo densità di CdS: In un circuito RC durante la carica o la scarica la corrente è formata da due componeneti 32

33 i c e j c : nei conduttori fra learmature dlc del C.f.p.p. Se nel condensatore c è un dielettrico moltiplica ε 0 per k. di cost. diel. realtiva k si 33

34 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche Reti elettriche: circuiti più complessi. Contengono nodi, rami e maglie Nodo: puntonel quale convergono almeno tre conduttori Ramo: tratto di circuito tra due nodi. (Può contenere elementi attivi o passivi) Maglia: cammino chiuso di più rami. N.B. Un ramo può appartenere a più maglie. 34

35 L analisi i delle reti può essere molto complessa. (V. Corso di Elettrotecnica). Si usano le due Leggi di Kirchhoff. I) (Legge dei Nodi): La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo deve essere nulla Σ k i k = 0 II) (Legge delle maglie): La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia deve essere uguale alla somma dei prodotti R k i k Σ k R k i k = Σ k E k 35

36 Isegni delle f.e.m. e dei prodotti R k i k (d.d.p.) si ricavano dalle seguenti regole: 1) Si fissa arbitrariamente i t comepositivo un verso di percorrenza della maglia. (es. orario). 2) se nel k-esimo ramo la corrente è concorde con il verso scelto, R k i k si prende positivo, altrimenti si prende negativo. 3) se una f.e.m. viene attraversata dalla corrente arbitraria dal al +, di prende positiva, altrimenti negativa. 36

37 Es.: V P + E 1 - R 1 i 1 +E 2 - R 2 i 2 - E 3 - R 3 i 3 E k - R 4 i 4 = V P E 1 +E 2 - E 3 -E k = R 1 i 1 + R 2 i 2 + R 3 i 3 + R 4 i 4 37

38 Strumenti di misura di I e V Per misurare la corrente si deve aprire il circuito e inserire uno strumento nel quale scorra la corrente da misurare. Amperometro, milli-, micro-, Galvanomtro Anche l amperometro ha una sua resistenza interna! Ideale: r g =0! 38

39 La corrente misurata non è V/R ma V/(R+r g ) Shunt Se si mette in parallelo all amperometro amperometro una resistenza di shunt più piccola di r g (ades.1/9r g ), la maggior parte della corrente passa nello shunt t(9/10) e 1/10 nell Amperometro. Così si può aumentare di 10 volte la massima corrente che si può misurare.

40 Misure di d.d.p. d Per misurare la d.d.p. d tra due punti di un circuito si deve sfrutta la misura di i elasi moltiplica per R. Si deve mettere lo strumento (Voltmetro, milli-, micro-,, Elettrometro) in parallelo l al circuito i tra i due punti. La resistenza interna del voltmetro deve essere molto alta così che ci passi pochissima corrente. Ma la corrente che ora scorre nel circuito i è > della precedente i eil prodotto i R ir.