Induzione Magnetica Legge di Faraday

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1 nduzione Magnetica egge di Faraday ezione 8 (oltre i campi elettrostatico, magnetostatico, e le correnti stazionarie) Variazione nel tempo del campo : Muovendo un magnete vicino a una spira connessa ad un amperometro si osserva il passaggio di corrente nel circuito! Corrente indotta: solo con magnete in movimento generazione di corrente indotta in circuiti secondari Chiudendo l interruttore, la corrente nel circuito primario cresce nel tempo fino al suo valore stazionario (Ohm); solo in questo intervallo di tempo si osserva il passaggio di corrente nel circuito secondario! Corrente indotta Campo del magnete Circuito secondario Campo creato dalla corrente nel circuito primario

2 egge di Faraday: variazione nel tempo di generazione di forza elettromotrice indotta (f.e.m.), o di campo elettrico indotto, anche nel vuoto corrente indotta in circuiti (Ohm etc.) Formulazione matematica (di Maxwell) Derivata temporale totale del flusso del campo magnetico su Forza elettromotrice sul circuito C dφ Φ egno negativo! (egge di enz; anche connessione alla regola della mano destra) r n r ds circuito C circuito C ds n r r Flusso di attraverso una qualunque superficie concatenata al circuito C ( numero linee di forza) n r n r r uperficie qualsiasi che ha per bordo C

3 Forza elettromotrice indotta: integrale del campo elettrico indotto su circuito chiuso qualunque, anche nel vuoto (circuitazione di E ) Campo elettrico indotto Circuito C (secondario) A l campo elettrico indotto (dalla variazione di ) non è conservativo! l lavoro del campo su circuito chiuso è diverso da zero! E dl C Esempio: spira aperta Flusso di variabile nel tempo olo il campo elettrostatico è conservativo (derivabile da un potenziale) ( ) f.e.m. di un generatore differenza di potenziale (lavoro del campo elettrostatico E s ) V A V A A E s dl E s (interno) Campo elettrostatico su circuito chiuso: C E s dl Campo conservativo circuitazione nulla!

4 egge di enz: (il segno negativo) Campo creato dalla corrente indotta l verso della f.e.m. indotta è tale da produrre una corrente che, a sua volta, crea un campo che si oppone alla variazione del flusso di concatenato col circuito Campo del magnete m Esempio: il magnete si muove verso la spira; il flusso di attraverso la superficie concatenata a C aumenta (entrano più linee di forza); si produce la corrente indotta, diretta come in figura, che crea un campo secondo il teorema di Ampere. Questo campo è diretto opposto al precedente e tende quindi a contrastare l aumento del flusso. e il magnete si allontana dalla spira C: la corrente indotta ha direzione opposta al caso precedente, quindi a legge di enz è connessa alla conservazione dell energia: se valesse il segno positivo, forza elettromotrice e campo magnetico si alimenterebbero a vicenda crescendo senza limiti, e creando energia dal nulla.

5 pira piana con campo magnetico uniforme Flusso concatenato f.e.m. indotta Φ n ds cosθ ds cosθ dφ d ( cosθ ) spira n r ds corrente indotta θ r Quindi in un circuito la forza elettromotrice può essere indotta: a) variando nel tempo il campo magnetico (t) b) variando la superficie del circuito (t) c) variando l angolo tra e la normale alla superficie del circuito θ(t) (rotazione spira) Analisi dimensionale (unità di misura): per il flusso del campo magnetico (campo superficie) si usa spesso il Weber: Weber T m [ ] [ f.e.m. ] V (volt) dφ flusso Weber T m Ns m J V tempo s s Cm s C a legge di Faraday non necessita di costante dimensionale (ma di costante numerica?. a dopo!)

6 Caso b): conduttori in movimento in campo magnetico e bilancio energetico a spira rettangolare (di resistenza ) si muove con velocità di modulo v dx/ costante uscendo dalla regione limitata di spazio in cui è presente il campo Flusso del campo, in diminuzione nel tempo: Φ x Modulo della f.e.m indotta: dφ v a corrente indotta è diretta come in figura (legge di enz) per contrastare la diminuzione di Φ, e vale v F ext F l campo agisce sui conduttori con forze date dalla legge di aplace F l F ; F x F x nelle direzioni specificate dal prodotto vettore (vedi figura) ; 3 F e F 3 si equilibrano; la forza F si oppone alla forza applicata esterna F ext ; se v costante è F F ext v Potenza della forza esterna (lavoro fatto da F ext nell unità di tempo): Pext Fext v v v Potenza dissipata nella resistenza: P uguale alla precedente! Trasformazione energia meccanica energia termica per mezzo di legge di Faraday (correnti di Foucault o correnti parassite riscaldamento per induzione etc.)

7 nduttanza (di una spira, di un circuito, di una bobina): rapporto tra il flusso di concatenato al circuito, e la corrente che genera. E una proprietà geometrica del circuito. (nduttanza: accumulo flusso di campo ) Φ Analogia con la definizione di capacità (anche essa proprietà geometrica): Q C V Capacità: accumulo cariche Unità di misura: Henry (H) H Weber A T m A nduttanza di un solenoide olenoide di lunghezza l, con N spire circolari di raggio r, percorse da corrente Flusso di concatenato al solenoide nduttanza del solenoide circolare: Φ ( Ω s) µ n n N π r µ π r µ r π l N N l N l r r l

8 (t) f.e.m. autoindotta Per la legge di Faraday - enz, se la corrente varia nel tempo, si genera un campo (t) all interno dell induttanza, Φ /, il quale a sua volta genera una f.e.m (t) che si oppone alla variazione di corrente: Circuito (t) Costante di tempo del circuito : τ / dφ d d t (t) (t) Chiudendo l interruttore al tempo iniziale t : equazione della maglia d ( t) ( t) (equazione differenziale per (t) analoga a quella per il circuito C) oluzione con condizione iniziale () : ( t) t / ( e ) t /τ ( e ) corrente stazionaria /

9 Energia immagazzinata in una induttanza Moltiplicando per l equazione della maglia, e utilizzando la conservazione dell energia: P d Energia totale immagazzinata nell induttanza (dalla chiusura del circuito ): proporzionale alla corrente stazionaria finale al quadrato! Potenza accumulata nell induttanza (per la creazione del campo ) E d Potenza sviluppata dal generatore Potenza dissipata nella resistenza t t d P d Energia magnetica accumulata nell induttanza, ovvero lavoro necessario per creare il campo magnetico nell induttanza (o induttore): E Densità di energia del campo magnetico n un solenoide (di volume Vol π r l) è praticamente confinato all interno, quindi la densità dell energia magnetica è: u E Vol Vol µ π r N l π r l µ n µ u µ n parallelo alle formule analoghe per l energia accumulata nel condensatore e la densità di energia del campo elettrico u E

10 nduttanze in serie e in parallelo ezione 9 serie parallelo induttanza equivalente eq d d eq d eq d eq ( ) d ( ) eq

11 Moto di una carica in campo magnetico: forza di orentz F l Tratto di conduttore percorso da corrente, e immerso in ; su di esso agisce la forza F F l l v d l Forza di orentz a corrente è costituita da N cariche q per unità di volume in moto con velocità di deriva v d (ez. 4) Forza sulla singola particella carica: r F r q v r È la forza esercitata dal campo magnetico su cariche elettriche in movimento (N.. se v, la forza è nulla!) avoro della forza di orentz, o lavoro del campo magnetico su particelle carica; poichè F è sempre perpendicolare a v : Q F ds F P Q P ( v ) l lavoro delle forze magnetiche è sempre nullo! energia cinetica delle particelle cariche si conserva. F F Fl /( N l) v N F q v d v ( modulo F q v senθ )

12 a forza magnetica agisce come forza centripeta (perpendicolare alla velocità) quindi la particella percorre traiettorie circolari o elicoidali. Esempio: se la velocità della particella forma un angolo φ con la direzione z del campo, la forza ha modulo F q v senφ qv cioè dipende solo dalla componente di v perpendicolare a, e giace sul piano x-y. Quindi agisce da forza centripeta costringendo la particella a un moto circolare sul piano x-y, che si compone col moto rettilineo uniforme in direzione z (infatti la componente su z della velocità rimane invariata). i ha così un moto a elica, che si avvolge intorno a. Esempio: le particelle cariche che viaggiano verso la Terra vengono catturate dal campo magnetico e orbitano a spirale intorno alle linee di forza di, entrando nell atmosfera nei pressi del polo Nord (aurore boreali) x F z y Passo dell elica F pettrometro di massa: misura della massa di uno ione o ione di carica q e massa m viene accelerato da un campo elettrostatico fino alla velocità v, entra nella regione dove vi è il campo magnetico (perpendicolare) e percorre la traiettoria circolare di raggio r fino a colpire la lastra fotografica alla distanza xr dall ingresso. i determina quindi la sua massa. v v F m ac m q v m m r r q r v

13 elazione tra forza di orentz e legge di Faraday ) Azione della forza (cariche in movimento) Una sbarretta conduttrice di lunghezza l scorre con velocità v su due guide fisse; sulle cariche libere presenti in essa agisce la forza di orentz F q v e le cariche positive tendono ad accumularsi ad una estremità. i genera quindi un campo elettrico E (tratteggiato in figura) in direzione opposta alla forza. i avrà equilibrio quando la forza di orentz sarà uguale alla forza elettrica qe, cioè q E q v E v Alle estremità della sbarretta si ha una differenza di potenziale V E l l e le guide sono conduttrici e vi è una resistenza, la sbarretta funge da generatore per il passaggio di corrente nel circuito. ) egge di Faraday (flusso magnetico in movimento) a sbarretta conduttrice taglia il flusso del campo magnetico (che quindi aumenta nella superficie spazzata), quindi si genera una f.e.m. indotta di modulo dφ d d x ( l x) l l v che induce nel circuito una corrente diretta in modo da contrastare l aumento del flusso del campo magnetico. o stesso risultato vale se la sbarretta è ferma e a muoversi è il campo magnetico (verso sinistra). v F - E e due descrizioni sono diverse ma portano allo stesso risultato! C è quindi una relazione profonda tra le due leggi (si va verso il principio di relatività di Einstein) x V ( )

14 Magnetismo e materia Dipolo magnetico da moto orbitale m dell elettrone in un atomo: e si muove in orbita circolare intorno al nucleo: momento angolare, e momento magnetico m (l elettrone si può considerare come una corrente di cariche negative! e per il teorema di Ampere ) Dipolo magnetico o momento magnetico: rappresentato dal vettore m, genera un campo magnetico come in figura. m e Campo da moto orbitale materiali magnetici devono le loro proprietà al moto (orbitale o intrinseco) degli elettroni; infatti vi sono due contributi al loro momento magnetico (e quindi al campo interno associato) elettrone (come le altre particelle elementari) possiede un momento magnetico intrinseco m, associato s al momento angolare intrinseco detto spin (si può pensare all elettrone in rotazione attorno al proprio asse). m s Campo da momento magnetico intrinseco

15 Materiali diamagnetici (semplificando) n un atomo, il numero di elettroni che orbitano in un senso eguaglia quello degli elettroni che orbitano in senso opposto; il momento magnetico totale è nullo. Quando si applica un campo esterno, il moto elettronico varia e il materiale tende a respingere sviluppando un dipolo magnetico opposto. Materiali paramagnetici ext Atomi (o molecole) hanno un momento magnetico risultante non nullo, orientato casualmente. n presenza di campo esterno si ha tendenza all allineamento dei dipoli Orientamento casuale, magnetici, con un momento magnetico totale magnetizzazione nulla macroscopico. l materiale è detto magnetizzato (analogia con la polarizzazione elettrica) m Allineamento, magnetizzazione non nulla m Materiali ferromagnetici Allineamento spontaneo di dipoli magnetici atomici su grande scala (effetto quantistico); formazione di domini magnetici, generalmente cristalli microscopici. e i domini sono ben allineati (dipende dalla temperatura) si ha il ferromagnete o magnete permanente (calamita: ferro,nichel etc.) che possiede un campo magnetico proprio. Configurazione dei domini magnetici in Nickel n questo caso, in media, m