Esame Scritto Fisica Generale T-B/T-2

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Angela Gallo
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1 Esame Scritto Fisica Generale T-B/T- (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K] Prof. M. Sioli II Appello A.A /01/01 Soluzioni Esercizi Ex. 1 Sulla superficie della Terra, in condizioni di bel tempo, è presente un campo elettrostatico E T diretto verso il basso con modulo pari a E T = 100 V/m. Si può schematizzare il sistema con una carica negativa distribuita uniformemente sulla superficie terrestre con densità σ T, tale che E T = σ T ε0 ˆr. Dato che la Terra è globalmente neutra, una carica uguale e contraria è contenuta nell atmosfera fino ad una quota h = 10 km, con densità volumetrica uniforme nella calotta sferica considerata. Dato il raggio della Terra R T = 6350 km: a calcolare la carica negativa distribuita sulla superficie della Terra; b determinare il campo elettrico in un punto dell atmosfera entro la quota h; c calcolare la d.d.p. tra il punto a quota h e la superficie terrestre. Sol. 1 a Per il teorema di Coulomb, il campo in prossimità di una distribuzione superficiale di carica è: E = σ ˆn come esplicitato nel testo dell esercizio. Si ricava dunque il valore della densità σ T : σ T = E T = C/m e della carica totale distribuita sulla superficie terrestre: Q T = σ T πr T = C 1

2 b La densità di carica distribuita nel guscio sferico dell atmosfera è: Q T ρ T = 3 π((r T + h 3 RT 3 Dato che lo spessore h dell atmosfera in cui è distribuita la carica positiva è piccolo rispetto al raggio della Terra, si può approssimare il volume della calotta sferica con πrt h. La densità volumetrica ivi contenuta è dunque ρ T Q T πr T h. Per determinare il campo elettrico in atmosfera si applica la legge di Gauss, scegliendo una superficie sferica concentrica alla Terra di raggio r compreso tra R T e R T + h. Φ( E = E πr = Q T ε ( 0 1 = Q T + ρ T (r 3 R 3 T ((R T + h 3 R 3 T 3 π (r3 RT 3 = Q T ( 1 3R T z 3R T h Q T Q T (r 3 RT 3 ((R T +h 3 RT 3 = = Q T (1 z h Nell approssimazione dell ultimo passaggio r è stato espresso come r = R T + z, dove z è la quota del punto in atmosfera (compresa tra 0 e h, z << R T. Il campo elettrico quindi risulta: E = Q ( T π r 1 (r 3 RT 3 (R T + h 3 RT 3 ˆr Q T (1 π r z ˆr h c Si ricava la d.d.p. tra il punto a quota h e la superficie terrestre integrando il campo elettrico lungo ˆr: RT +h V h = Q T h E d r R T 8π RT = V Osservazioni: I valori forniti provengono da misurazioni effettuate sulla superficie terrestre ed in atmosfera. La differenza di potenziale pari all altezza media di un uomo è circa 00 V. Come mai non siamo attraversati da corrente, data la differenza di potenziale in aria tra la quota dei nostri capelli e la quota dei nostri piedi? Ex. Sia dato il circuito mostrato in figura, di cui sono note la f.e.m. del generatore E = 1 V, le resistenze R 1 = 50 Ω, R = 150 Ω, R 3 = 100 Ω e la capacità del condensatore C = 150 nf. Si calcolino: a la corrente circolante nel circuito;

3 E R 1 R C R 3 b la d.d.p. ai capi del condensatore in regime stazionario; c la potenza dissipata dal generatore; d l energia immagazzinata nel condensatore. Sol. a Quando il circuito è in regime stazionario, la corrente circola sulle resistenze R 1 e R e non nel ramo che contiene il condensatore. La corrente che circola a regime sulla maglia è ottenuta applicando la prima legge di Kirchhoff: E = i (R 1 + R i = E R 1 + R = 0.06 A b La d.d.p. ai capi del condensatore, dato che su R 3 non circola corrente, è pari alla caduta di potenziale sulla resistenza R : V = i R = E R R 1 + R = 9 V c La potenza dissipata dal generatore si trasforma in potenza termica (effetto Joule sulle resistenze attraversate da corrente: W = i (R 1 + R = 0.7 W d L energia immagazzinata nel condensatore corrisponde all energia fornita per caricarlo: U E = C V = C (i R = µj 3

4 Ex. 3 Un solenoide infinito ha raggio a = 15 cm e numero di spire per unità di lunghezza n = 100 spire/m. a Determinare la corrente i che circola nelle spire del solenoide, dato il campo magnetico B = 0. T generato al suo interno. All interno del solenoide è disposta una spira conduttrice quadrata, di lato L = 5 cm e resistenza R = Ω, inizialmente disposta in un piano ortogonale all asse del solenoide. b Calcolare il coefficiente di mutua induzione solenoide-spira. Successivamente la spira è collegata ad una centrale idroelettrica, il cui flusso d acqua mantiene la spira in rotazione con velocità angolare ω costante attorno al suo asse, perpendicolare all asse del solenoide. È nota la potenza media fornita dal flusso d acqua W = 0.1 W, che trascurando gli attriti si trasforma completamente in potenza elettrica. c Calcolare la velocità angolare di rotazione ω. Sol. 3 a Il campo magnetico in un solenoide infinito è noto (applicando la legge di Ampère, da cui si ricava la corrente che lo attraversa: B = µ 0 n i i = B µ 0 n = 65 A b Si calcola il coefficiente di mutua induzione M calcolando il flusso del campo magnetico generato dal solenoide attraverso la spira, diviso per la corrente del solenoide: Φ spira ( B sol = BL = µ 0 n i sol L M = Φ spira( B sol i sol = µ 0 n L = 3.77 µh c Il flusso del campo magnetico generato dal solenoide attraverso la spira, mantenuta in rotazione costante, varia nel tempo con il cos ωt: Φ( B = BL cos ωt E ind = dφ( B dt = ωbl sin ωt La corrente indotta varia sinusoidalmente: i ind = E ind /R. La potenza elettrica dissipata nella spira è W = E ind R = ω B L sin ωt R

5 Ricordando che il valor medio di sin α è pari a 1/, la potenza elettrica media è W el = ω B L R Dato che la potenza della centrale idroelettrica, grazie alla quale la spira è mantenuta in rotazione, si trasforma completamente in potenza elettrica: W el = W idro, è possibile ricavare la velocità angolare di rotazione ω: R Widro ω = BL = 63 rad/s 5

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