! B. Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a II Compitino - 1 Dicembre Esercizio 1

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2 Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a II Compitino - 1 Dicembre 2006 In un cavo coassiale, la cui sezione trasversa e' mostrata in figura, scorre una corrente i =15 A. Il raggio del conduttore interno e' a = 2.5 mm e il raggio interno ed esterno del conduttore esterno sono rispettivamente b = 5 mm e c = 6 mm. La suscettività magnetica del conduttore e' uguale a quella del vuoto, µ 0 = 4! x 10-7 N/A 2. Si determini: a) il valore della densità di corrente J, supponendo che sia costante all'interno di ogni conduttore; b) il campo magnetico in tutto lo spazio e il valore massimo in particolare. a b c Dei protoni, con velocità' iniziale trascurabile, vengono accelerati nel campo elettrico di un condensatore a facce piane e parallele, entrano in una regione con un un campo magnetico costante B = 700 G (vedi figura) e vengono rivelati nel punto P. La massa del protone e' m p = 1.67 x kg. a) Sapendo che d = 2 cm determinare la differenza di potenziale ai capi del condensatore. b) Se la direzione del fascio di protoni non e' perfettamente ortogonale al campo magnetico, ma forma un angolo " = 0.12 rad rispetto al piano ortogonale al campo magnetico, quanto vale d? c) Se al posto dei protoni si usa un fascio di ioni He +, quanto vale d (massa atomica N = 4)? d P! B

3 Corso di Laurea in Fisica CAMPI ELETTROMAGNETICI STAZIONARI e ONDE ELETTROMAGNETICHE Compito Generale 25 Settembre 2006 PARTE I Una sfera metallica di raggio R 1 = 1 m e carica Q = 1 nc viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R 2 = 0.3 m inizialmente scarica. a) Quali cariche q 1 e q 2 possiedono le due sfere a collegamento avvenuto? Si verifichi che le densità superficiali soddisfano la relazione! 1!! 2 = R 2/ R 1. b) Quanto valgono l'energia elettrostatica iniziale U 1 della prima sfera e l'energia U del sistema a collegamento avvenuto? Come si e' dissipata l'energia U 1 - U? Una spira circolare di raggio r=10 cm, percorsa da una corrente continua di intensita' i = 1.5 A, si trova in un campo magnetico uniforme di induzione B = 1 kg; la direzione di B e' parallela al piano della spira. Sia A 1 A 2 il diametro della spira perpendicolare a B; si calcoli: a) il modulo della risultante delle forze magnetiche agenti sopra meta' della spira avente i punti A 1 e A 2 come estremi; b) il momento assiale rispetto alla retta A 1 A 2 delle forze agenti sopra l'intera spira. A1 B i A2

4 Campi Elettromagnetici Stazionari e Onde Elettromagnetiche aa Compito Generale - 8 Gennaio Parte I Quattro particelle con la stessa carica q=10-9 C si trovano ai vertici di un quadrato di lato L = 12 cm. Si calcoli: (a) l'intensita' E del campo elettrico nel centro O del quadrato e nel punto medio M di un lato; (b) la d.d.p.!v tra i punti O e M; (c) il lavoro che si deve compiere per avvicinare le cariche e disporle ai vertici di un quadrato di lato L/2.. M. O Un sottile nastro metallico, rettilineo, indefinito e di larghezza a, e' percorso secondo la sua lunghezza da una corrente continua, distribuita uniformemente, di intensita' totale i. Si calcoli l'indzione magnetica B: a) in un punto P 1 giacente nel piano del nastro e distante b della retta mediana del nastro; b) in un punto P 2 distante b dal piano del nastro e situato nel piano perpendicolare al nastro e passante per la sua retta mediana. c) A quale valore si puo' approssimare B quando b >> a?

5 Corso di Laurea in Fisica CAMPI ELETTROMAGNETICI STAZIONARI e ONDE ELETTROMAGNETICHE Compito Generale 8 Gennaio 2007 PARTE II In un condensatore piano, le cui armature hanno, ciascuna, superficie S = 10 cm 2 e sono poste a distanza relativa d = 1 cm, viene inserita parallelamente alle armature una lamina metallica di spessore! = 0.5 mm. Successivamente, una delle due zone in cui risulta diviso il condensatore viene riempita con olio di costante dielettrica relativa " r = La tensione ai capi del condensatore vale #V = 100 V, e la lamina interposta si trova ad una distanza a = 6 mm da una delle due armature (v. figura 1). Si calcoli: a) la capacita' del sistema; b) i moduli dei campi elettrici nella zona dove c'e' l'olio, in quella dove c'e' l'aria e nella lamina metallica; c) la forza risultante che agisce sopra la lamina. " 0 = 8.85 x F/m Tre solenoidi, ciascuno di N=1000 spire, sono avvolti su un unico anello toroidale di materiale ferromagnetico di permeabilita' magnetica relativa µ r = 800; l'anello ha sezione S=10 cm 2 e lunghezza media L=30 cm. Nel primo solenoide passa una corrente di intensita' variabile nel tempo secondo la legge i 1 (t) = I 1 sen $t, con I 1 = 1.2 A e $! 90 rad/s ; l'intensita' di corrente nel secondo solenoide e' invece i 2 (t) = I 2 cos $t, con I 2 = 0.8 A: se il terzo solenoide e' aperto, qual'e' la massima d.d.p. tra i suoi estremi? µ 0 = 4% x 10-7 N/A 2 Esercizio 3 Gli estremi P 1 e P 2 di una sbarretta di lunghezza d, possono scorrere con attrito trascurabile lungo due guide metalliche parallele, come e' indicato in figura 2; la sbarretta si muove verso sinistra con velocita' costante v. Il sistema si trova in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al piano delle guide e rivolto verso l'alto rispetto a chi osserva la figura. Si calcoli la d.d.p. V C - V D indotta tra i morsetti C e D nei casi seguenti: a) l'induzione magnetica ha valore costante B 0 ; b) l'induzione magnetica varia secondo la legge B = B 0 cos $t e all'istante t = 0 la sbarretta ha distanza nulla dalla retta CD.

6 d FIG 1 a P 1 v B C D FIG 2 P 2

7 Compito di Campi Elettromagnetici Stazionari e Onde Elettromagnetiche I appello estivo - 29 Giugno 2007 Parte I Tre particelle di carica q1 = q2 = 10-9 C e q3 = -2 x 10-9 C sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato L = 10 cm. Si calcoli: a) L'intensità del campo elettrico nel centro O del triangolo e nel punto medio M del lato opposto alla carica q3. b) La d.d.p. tra O e M c) Il momento di dipolo del sistema Un filo di rame di lunghezza L=0.5 m con sezione trasversale rettangolare di lati a = 3 mm e b = 6 mm, e! percorso da una corrente di intensita! costante i = 10 A distribuita uniformemente sulla sezione. a) Si calcoli la velosita! di insieme degli elettroni di conduzione ammettendo che al densita! di questi nel rame abbia il valore n = m -3. Si applica un campo magnetico, perpendicolare al filo ed al lato b, di induzione magnetica B = 0.4 Wb/m 2. b) Qual!e! la forza magnetica risentita dagli elettroni subito dopo l!applicazione del campo magnetico? c*) Sopra una faccia del filo si osserva un accumulo di elettroni di conduzione: l!accumulo di elettroni aumenta col passare del tempo o tende ad un valore limite?

8 Compito di Campi Elettromagnetici Stazionari e Onde Elettromagnetiche I appello estivo - 29 Giugno 2007 Parte II Lo spazio compreso fra le armature di un condensatore piano poste a distanza d e aventi superficie S (!S >> d) e" riempito con un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica dipende dalla distanza z dall"armatura inferiore secondo la legge: #(z) = 2#0 + #0 z 2 /d 2. Fra le due armatire del condensatore viene applicata una d.d.p. V. Si calcoli: a) il campo elettrico in ogni punto e la densita" di cariche elettriche libere e di polarizzazione presenti nel volume e sulle superfici. b) L"energia elettrostatica immagazzinata nel sistema. Due solenoidi di resistenza trascurabile sono disposti come mostrato in figura a grande distanza l'uno dall"altro. Nel solenoide 2 viene fatta circolare una corrente i0 = 1.5 A per mezzo di un generatore di corrente, mentre il solenoide 1 e" chiuso in corto e non e" attraversato da corrente. Ad un dato istante il solenoide 1 viene inserito completamente all"interno del secondo solenoide in modo coassiale. Sapendo che le altezze dei solenoidi sono uguali a h = 20 cm, i numeri di spire per unita" di lunghezza sono uguali ad N = 1200 cm -1 e i raggi sono, rispettivamente, R1 = 2 cm ed R2 = 3.5 cm si trovino: a) la corrente i che circola nel solenoide 1 dopo l"inserimento e i campi magnetici nelle varie regioni. b) La variazione di energia magnetica dopo l"inserimento c*) La pressione esercitata dal campo magnetico sulla superficie laterale del solenoide 1 ad inserimento avvenuto. Quantita" utili: # = 8.85 $ F m -1 % = 4& $ 10-7 N A -2

9 Compito di Campi Elettromagnetici Stazionari e Onde Elettromagnetiche 3 Settembre 2007 Parte I Una distribuzione uniforme di carica e! disposta sulla semiretta x > 0, y=z=0, con una densita! lineare ". Si determini il campo elettrico nei punti: a) x=-a, y=z=0; b) x=z=0, y=b. c) Si risponda al punto b) nel caso in cui la densita! di carica si estende su tutto l!asse x, utilizzando il teorema di Gauss. Il risultato e! consistente con quanto ci si aspetta da quello ottenuto al punto b? Nel modello di Bohr dell!atomo di idrogeno, l!elettrone si muove intorno al protone su una traiettoria di raggio r = 5.3 x m alla velocita! v = 2.2 x 10 6 m/s. a) A quale corrente su una spira circolare corrisponde il moto dell!elettrone? b) Qual!e! il momento magnetico? c) Si determini modulo e direzione della forza che agisce sull!atomo di idrogeno se si trova in un campo B(z) = k B0 (1+z 2 /a 2 ) #3/2, ad una distanza d = a/2 dall!origine. Si assuma il momento magnetico allineato con il campo, B0 = 10 G e a = 5 cm.

10 Compito di Campi Elettromagnetici Stazionari e Onde Elettromagnetiche 3 Settembre 2007 Parte II Un condensatore cilindrico, le cui armature hanno raggi a e b e la cui lunghezza e! h, e! parzialmente riempito da un guscio di dielettrico di raggio minimo a, raggio massimo d < b e costante dielettrica relativa "r. Sulle armature del condensatore e! presente una carica Q. Si determini: a) La differenza di potenziale tra le due armature. b) La densita! delle cariche di polarizzazione dentro e sulle superfici del dielettrico. c) Il lavoro necessario per estrarre il guscio di dielettrico dalle armature del condensatore se il condensatore e! isolato. Come cambia la risposta se il condensatore e! collegato ad una d.d.p.? Un filo rettilineo infinito, percorso da una corrente i = 10 A e una spira quadrata di lato L = 9 cm giacciono nello stesso piano. La spira ha due lati paralleli al filo, il piu! vicino dei quali dista dal filo 1 cm. Si determini la differenza di potenziale tra i vertici della spira se la spira si muove con velocita! v = 10 m/s nei due casi in cui la velocita! e! a) parallela al filo; b) ortogonale al filo (nel piano della spira). c) Qual!e! la forza elettromotrice indotta nella spira nei due casi? Come si poteva ricavare in modo indipendente?