Esame Scritto Fisica Generale T-B

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Bernardo Campo
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1 Esame Scritto Fisica Generale T-B (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli III Appello - 12/02/2013 Soluzioni Esercizi - Compito A Ex. 1 Si consideri un sistema costituito da tre conduttori sferici concentrici. Il primo è una sfera piena di raggio R 0 = 4 cm; il secondo è un guscio di raggio interno 2R 0 e spessore R 0 /2; il terzo è un guscio di raggio interno 4R 0 e spessore R 0. Una carica = 20 nc è depositata sulla sfera più interna. Determinare la differenza di potenziale tra la sfera ed il guscio più esterno; verificare che tale risultato potrebbe essere ottenuto schematizzando il sistema come un unico condensatore, equivalente alla serie di due condensatori sferici concentrici. Sol. 1 Posta la carica sulla sfera più interna, per induzione elettrostatica completa sulla superficie interna dei due gusci sferici si dispone una carica. Data la neutralità complessiva dei due gusci, che sono scarichi, sulla superficie esterna si dispone una carica (schermo elettrostatico). Si calcola il campo elettrostatico tramite la legge di Gauss, sfruttando la simmetria sferica della configurazione. Il campo E è radiale e dipende solo da r, la distanza dal centro della sfera: E = E(r)ˆr. Applicando la legge di Gauss ad una superficie sferica concentrica al sistema, e considerando la carica interna ad essa nelle diverse regioni di spazio, si ottiene l andamento del campo tra 0 e 5R 0 : E(r) = 0 (r < R 0 ) 4πε 0 r 2 (R 0 < r < 2R 0 ) 0 (2R 0 < r < 5R 0 /2) 4πε 0 r 2 (5R 0 /2 < r < 4R 0 ) 0 (4R 0 < r < 5R 0 ) 4πε 0 r 2 (r > 5R 0 ) 1

2 La d.d.p. tra la sfera interna e il guscio più esterno sarà quindi pari a: 4R0 V = E d r = R 0 = [( 1 1 ) + 4πε 0 R 0 2R 0 2R0 R 0 ( 2 5R 0 1 4R 0 dr 4πε 0 r 2 + )] 4R0 5R 0 /2 dr 4πε 0 r 2 = = 13 80πε 0 R 0 = 2925 V Il sistema di conduttori può essere visto come la serie di due condensatori sferici: infatti la d.d.p. totale è pari alla somma delle d.d.p. ai capi dei due condensatori, il primo dei quali, C 1, è formato dalla sfera interna e dal guscio intermedio (sup. intern, il secondo dei quali, C 2, è formato dal guscio intermedio (sup. estern e dal guscio esterno. Si può dunque ricavare la d.d.p. del sistema dei due condensatori in serie: V = C 1 + C 2 = C T OT dove la capacità equivalente alla serie di due condensatori è data da: C T OT = C 1C 2 C 1 + C 2 Ricordando l espressione della capacità di un condensatore sferico: C = 4πε 0 R 2 R 2 si ottiene il valore della capacità equivalente: C T OT = 80πε 0 R 0 13 = 6.84 pf Dalla definizione V = /C T OT, si ricava il risultato per la d.d.p. complessiva, in accordo con quanto determinato nel punto : Ex. 2 V = 13 80πε 0 R 0 = 2925 V Al morsetto di uscita A del circuito mostrato in figura è presente una d.d.p. V A misurata rispetto alla massa. Sapendo che valgono le relazioni R 2 = 2, R 3 = 3 e E 1 = 2 E 2 : determinare il valore di V A in funzione della f.e.m. E 2 e della resistenza. 2

3 Si sostituisce la resistenza R 3 con una resistenza variabile R var. Calcolare i valori della d.d.p. V A in funzione di R var, ottenibili variando R var tra zero (cortocircuito) ed infinito (circuito aperto). R 2 E 1 E 2 A R 3 Sol. 2 Per calcolare la d.d.p. V A si procede risolvendo l equazione della maglia. Assumendo che la corrente circoli in senso orario, si applica la legge delle maglie e si uguaglia la somma delle cadute di potenziale sulle resistenze alla somma algebrica delle f.e.m. dei generatori con i rispettivi segni: E 1 E 2 = i (R eq + R 2 + R 3 ) dove R eq è la resistenza equivalente al sistema di resistenze. Per calcolare R eq, si considera il parallelo delle tre resistenze, 2 (serie di due ) e 2 (serie di due ). La resistenza equivalente è pari al reciproco della somma dei reciproci delle singole resistenze: R eq = ( ) 1 = Si ottiene quindi il valore dell intensità di corrente: i = E 1 E 2 /2 + R 2 + R 3 = 2E 2 11 da cui si ricava la d.d.p. V A, equivalente alla caduta di potenziale sulla resistenza R 3 : V A = ir 3 = 6E

4 Variando il valore di R 3, varia la corrente che attraversa il circuito: i = E 1 E 2 /2 + R 2 + R var = e dunque la d.d.p. misurata dal morsetto A: E 2 5/2 + R var R var V A = ir var = E 2 5/2 + R var Per il caso limite di cortocircuito, non si ha caduta di potenziale tra il morsetto A e la massa, quindi: V A = 0 ed il valore del potenziale nel punto A è proprio V A = 0 V (connesso alla mass. Per il caso limite di circuito aperto (R var ), non si ha passaggio di corrente tra il morsetto A e la massa, quindi: Ex. 3 V A = E 2 Su un piano inclinato di un angolo α = 30 sono poste due rotaie parallele, distanti l = 10 cm, di resistenza elettrica trascurabile e connesse elettricamente tra loro alla sommità. Su di esse può scorrere senza attrito una sbarra conduttrice, di massa m = 10 g e resistenza elettrica R = 0.1 Ω. Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme e costante, diretto verticalmente, di modulo B = 0.5 T. Ad un certo istante la sbarra viene lasciata libera di scivolare lungo il piano inclinato. Trascurando gli effetti dell autoinduzione: calcolare la forza elettromotrice indotta nella sbarra; determinare modulo e verso della corrente indotta nella spira individuata dal sistema rotaie-sbarra, in funzione della velocità della sbarra; c) calcolare la velocità limite (se esiste) della sbarra nel suo moto di scivolamento. Sol. 3 Il moto di discesa della sbarra determina una variazione di flusso del campo magnetico attraverso la spira, e quindi una f.e.m. indotta. 4

5 m=10g e resistenza elettrica R=0.1Ω. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante, diretto verticalmente, di modulo B=0.5T. Ad un certo istante la sbarretta ab viene lasciata libera di scivolare lungo il piano inclinato. Calcolare: 1. La forza elettromotrice indotta nella sbarretta ab, e a corrente indotta nella spira individuata dal sistema rotaie-sbarretta, in funzione della velocità della sbarretta. 2. La velocità limite (se esiste) della sbarretta nel suo moto di scivolamento. B v ab α Soluzione: Nel calcolo del flusso occorre osservare che il campo magnetico non è Il moto normale di discesa al piano della della sbarretta spira: determina una variazione di flusso del campo magnetico attraverso la spira, e quindi una FEM indotta. Nel calcolo del flusso occorre osservare che il campo magnetico non è normale al piano della spira: Φ( B) = lbx cos α φ B = lbxcosα FEM = dφ B = lbvcosα = 3 v = v[V ] (21.1) La f.e.m. indotta nella sbarra è dt generata dalla variazione 40 nel tempo del flusso La del corrente campo indotta B: (si trascurano come usuale gli effetti di autoinduzione) è pertanto: i = FEM R = 3 v[a] (21.2) E 4 La velocità limite si ind = dφ( B) = lbv cos α = v [V] otterrà quando dt la componente lungo il piano della forza di frenamento elettromagnetico bilancerà la componente lungo il piano della forza peso: ma = mg sinα + ilbcosα = 0 mg sinα = l 2 B 2 v lim cos 2 α R Il flusso di B attraverso v lim = gmr la spira aumenta con il tempo, la corrente(21.3) indotta sinα circola in modo da generare l 2 B 2 cos 2 α = 2.62m un campo s che si opponga a tale variazione. La corrente indotta circola quindi in senso orario e l intensità di corrente risulta: i = E ind 3 R = 4 v [A] c) La velocità limite è raggiunta quando la componente lungo il piano della forza di frenamento elettromagnetico bilancia la componente lungo il piano della forza peso: ma = mg sin α ilb cos α = 0 Andando a sostituire l espressione della corrente, si ricava mg sin α = l2 B 2 cos 2 α v lim R mgr sin α = v lim = l 2 B 2 cos 2 = 2.62 m/s α 5

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