Quando si chiude l interruttore nel punto A, il condensatore inizia a caricarsi seguendo la legge

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1 Esercizio 1 Il circuito in figura è costituito da un generatore di f.e.m Ɛ=10 V, una resistenza R= 10 kω e tre condensatori C 1 = 10 pf, C 2 = 20 pf e C 3. Il condensatore C 3 è a facce piane e parallele di superficie S= 10 cm 2 e poste a distanza d= 5 mm ed è riempito da due diversi dielettrici, ε 1=12 e ε 2=3, occupanti le due metà della superficie delle sue facce. Inizialmente tutti i condensatori sono scarichi. Al tempo t=0, l interruttore viene chiuso sul punto A e lasciato in queste condizioni fino al tempo t 1=50 ns. Calcolare la carica sul condensatore C 1 nell istante t 1. Al tempo t=t 1 l interruttore viene spostato nel punto B. Calcolare la carica a regime sui tre condensatori. Ɛ R A B C 1 C 2 C 3 La capacità del condensatore C 3 è data dal parallelo dei condensatori relativi ai due dielettrici con metà della superficie delle armature S S c 3 = ε 0 ε 2 1 d + ε 2 0ε 2 d = ε 0 S 2d (ε 1 + ε 2 ) Quando si chiude l interruttore nel punto A, il condensatore inizia a caricarsi seguendo la legge con τ = RC 1 al tempo t=t 1, la carica sul condensatore vale Q(t) = C 1 V(1 e t τ) Q(t 1 ) = C 1 V (1 e t 1 RC1 ) = 39.3 pc Quando l interruttore viene spostato sul punto B, questa carica si ripartisce sui 3 condensatori collegati in parallelo. Il sistema dei tre condensatori avrà ai capi un potenziale Pertanto le cariche sui tre condensatori sono V = Q(t 1) Q(t 1 ) = = 0.91 V C eq C 1 + C 2 + C 3 Q 1 = C 1 V = 9.1 pf, Q 2 = C 2 V = 18.2 pf, Q 3 = C 3 V = 12 pf

2 Esercizio 2 Si consideri il circuito mostrato in figura con Ɛ=10V, C= 1 nf, R 1=10 kω, R 2=20 kω, R 3=30 kω. Calcolare: A R 1 1) La corrente che scorre nel circuito non appena viene chiuso l interruttore sul punto A e in regime stazionario. 2) La carica Q 0 sul condensatore C quando si è raggiunta la situazione di regime stazionario. Ɛ B C R 2 L interruttore viene poi spostato sul terminare B. Calcolare dopo quanto tempo la carica sul condensatore è pari a Q 0/10. R 3 All istante iniziale in cui l interruttore viene chiuso sul punto A, il condensatore è un corto circuito e quindi si ha I 0 = R 1 + R 3 = 0.25 ma A regime la corrente che scorre sulla maglia esterna, è calcolabile considerando che il condensatore è un aperto e quindi la corrente scorre anche sulla resistenza R 2 I = R 1 + = 0.17 ma La carica sulle armature dei condensatori è calcolabile con prodotto tra capacità del condensatore e d.d.p. applicata al condensatore che equivale alla caduta di tensione sulla resistenza R 2 R 2 Q 0 = CI R 2 = C = 3.4 nc R 1 + Quando l interruttore si sposta su B, il condensatore si scarica sulla resistenza equivalente e quindi sul parallelo di R 2 con la serie delle due resistenze R 1 e R 3 La costante del circuito è R eq = R 2(R 1 + R 3 ) R 1 + τ = R eq C La carica si riduce seguendo la legge Q(t) = Q o e t τ t = τ ln(10) = 30.6 μs

3 Esercizio 3 A B R 2 D Il circuito in figura è costituito da Ɛ=80V, C= 1 µf, R 1=R 2=R 3= 4 kω. Il circuito è da molto tempo nella configurazione a T aperto. Assumendo trascurabile la resistenza interna del generatore, calcolare: a) Le correnti nelle resistenze b) La carica sul condensatore Ɛ R 1 T C R 3 Se T viene chiuso, determinare dopo quanto tempo la carica si riduce di metà. F E T aperto Il potenziale di B coincide con quello di A e il potenziale di E con quello di F, la corrente in A si suddivide nel ramo AF attraversando R 1 e in BDE attraversando la serie di R 2 e R 3 La d.d.p. ai capi di C è Quindi la carica sul condensatore C è T chiuso i 1 = R 1 = 20 A, i 2 = = 10 A V E V D = R 3 i 2 = R 3 = 40V Q = C(V E V D ) = 40μC B coincide con E e i poli del generatore sono circuitati. Quindi il condensatore si scarica sul parallelo di R 2 e R 3 La costante del circuito è La carica si riduce seguendo la legge R eq = R 2R 3 τ = R eq C Q(t) = Q o e t τ Q o 2 = Q oe t τ t = τ ln(2) = 1.39 ms

4 Esercizio 4 Il condensatore C del circuito in figura è un condensatore piano (superficie S=8 cm 2 e distanza d=0.05 cm) riempito lungo il suo spessore da due dielettrici diversi ε 1=15 e ε 2=20, in parti uguali. Il generatore di f.e.m è pari a Ɛ=15V e le resistenze sono R 1=10 Ω R 2=20 Ω er 3=30 Ω. Inizialmente i due interruttori sono aperti e a t=0 si chiude T 1. Calcolare la corrente che esce dalla batteria a t=0. Dopo molto tempo si chiude anche T 2 calcolare la corrente che esce dal generatore nell istante in cui si chiude T 2. Dopo molto tempo si apre nuovamente T 1. Calcolare il tempo necessario affinché la corrente su R 2 sia pari alla metà del suo valore massimo dalla chiusura di T 2. Ɛ R 1 T 1 R 2 B T 2 R 3 C La corrente che esce dal generatore con T 1 chiuso è i = R 1 +R 2 = 0.5 A Appena chiuso T 2, la corrente si ripartisce tra i rami R 2 e il ramo C-R 3 quindi la resistenza equivalente è la serie tra R 1 e il parallelo tra R 2 e R 3 R eq = R 1 + R 2R 3 i = R eq = 0.68 A Appena si apre T 1 il condensatore si scarica su R 2 e R 3. Quindi la corrente Dove la costante di tempo è τ = ( )C i(t) = dq(t) dt = Q o τ e t τ La capacità C del condensatore si calcola dalla serie di due condensatori riempiti di dielettrici ε 1 e ε 2 e distanza d/2 C = 2ε 1ε 2 ε o S (ε 1 + ε 2 )d Se la corrente deve valere la metà della corrente massima che scorre appena si chiude l interruttore, imponiamo che i(t ) = Q o 2τ = Q o τ e t τ t = τ ln(2) = 8.31 ns

5 Esercizio 5 Un circuito elettrico è costituito da quattro resistori (R 1=10 Ω, R 2=40 Ω, R 3=20 Ω e R 4=50 Ω) e due condensatori C 1=1 µf, C 2=3 µf) collegati come in figura ad un generatore di f.e.m. reale f=12 V di resistenza interna pari a r= 5 Ω. Calcolare: 1) le correnti che circolano nel circuito non appena viene chiuso l interruttore T e in condizioni stazionarie 2) la potenza massima e minima erogata dal generatore 3) l energia elettrostatica dei due condensatori. 1) Non appena viene chiuso l interruttore, i rami contenenti i condensatori sono visti come dei corto circuiti, di conseguenza la corrente circola solo attraverso la resistenza R 4 ed r. f = (R 4 + r)i in i in = f = 0.22 A R 4 + r In condizione di regime stazionario, i rami contenenti i condensatori sono visti come dei circuiti aperti, di conseguenza la corrente circola sulla serie delle resistenze R 1, R 4 ed r con il parallelo di R 2 e R 3 f = (R 1 + R 4 + r + R 2R 3 ) i fin i fin = 2) Le potenze dissipate nel circuito sono P max = fi in = 2.4 W, P min = fi fin = 1.8 W f R 1 + R 4 + r + R 2R 3 = 0.15 A 3) Per calcolare l energia elettrostatica sui condensatori devo calcolare la differenza di potenziale ai loro capi V C1 = R 1 i fin = 15 V Pertanto V C2 = R 2R 3 i fin = 2 V U C1 = 1 2 C 1V C1 2 = J U C2 = 1 2 C 2V C2 2 = J

6 Esercizio 6 Un circuito elettrico è costituito da quattro resistori (R 1=10 Ω, R 2=40 Ω, R 3=80 Ω, R 4=20 Ω) e un condensatore di capacità C=2 µf collegati come in figura ad un generatore di f.e.m. f=25 V di resistenza interna r=4 Ω. Calcolare: C 1) la potenza dissipata nel generatore 2) la d.d.p tra i punti A e B del circuito. Se si sconnette il generatore, dopo quanto tempo d.d.p tra i punti A e B del circuito si riduce ad 1/5 di quella iniziale. D 1) Il ramo in cui è presente il condensatore è un circuito aperto, pertanto la resistenza equivalente del circuito è la serie tra la resistenza interna del generatore r e il parallelo tra le serie di R 1, R 2 ed R 3, R 4 La corrente che circola nel circuito è i = f R eq = 0.67 A R eq = r + (R 1+R 2 )(R 3 +R 4 ) (R 1 +R 2 ) + (R 3 +R 4 ) = 37.3 Ω La potenza dissipata nella resistenza interna nel generatore è P = ri 2 = 1.79 W 2) Per la prima equazione di Kirchhoff i i 1 i 2 = 0 E la differenza di potenziale tra i punti C e D è pari a (R 1 +R 2 )i 1 = (R 3 +R 4 )i 2 Combinando le equazioni precedenti si ottiene che i 1 = (R 3+R 4 ) (i i (R 1 +R 2 ) 1) i 1 = 0.45 A Ed i 2 = i i 1 = 0.22 A V A V B = (V A V C ) + (V C V B ) = R 1 i 1 + R 3 i 2 = 13.1 V 3) Se si disconnette il generatore, il condensatore si scarica sul parallelo tra le serie di R 1, R 2 ed R 3, R 4, quindi la costante di tempo della scarica è τ = (R 1+R 3 )(R 2 +R 4 ) C = 72 μs (R 1 +R 3 )+(R 2 +R 4 ) La differenza di potenziale ai capi di C diminuisce secondo la legge V C = (V A V B )e t τ 1 5 = e t τ t = τ ln(5) = μs

7 Esercizio 7 Un circuito elettrico è costituito da tre resistori (R 1=100 Ω, R 2=400 Ω er 3=500 Ω) e due condensatori C 1=200 nf, C 2=1 µf) collegati come in figura ad un generatore di differenza f di potenziale f=10 V. Quanto vale la corrente erogata dal generatore in condizioni stazionarie? Quanto vale l energia elettrostatica nei due condensatori in condizioni stazionarie? La resistenza R 3 viene scollegata dal circuito. Dopo aver atteso un tempo sufficientemente lungo affinché sia raggiunta una nuova condizione stazionaria, quanto vale la carica accumulata nel condensatore C 2? In condizioni stazionarie le capacità si comportano come due circuiti aperti, quindi la corrente scorre sulla serie delle tre resistenze i = f R 1 + = 10 ma Chiamiamo con V 1 e V 2 le tensioni applicate ai due capacitori. Per la legge di Ohm generalizzata possiamo calcolare che L energia elettrostatica nei due condensatori sono V 1 f = R 1 i V 1 = f R 1 i V 2 f = (R 1 + R 2 )i V 2 = f (R 1 + R 2 )i U e = 1 2 C 1 V C 1 V 2 2 = J Non c è flusso di corrente nel circuito, per cui non c è alcuna caduta di tensione nelle resistenze e la differenza di potenziale ai capi di C 2 uguaglia la f.e.m. del generatore f Q 2 = C 2 f = 10 5 C

8 Esercizio 8 Un sistema di due condensatori uguali C=3 µf e posti in parallelo viene caricato ad una differenza di potenziale V 0=100 V. Poi viene isolato. Ad un certo istante uno dei condensati dimezza il valore della sua capacità C. Determinare: a) la carica iniziale depositata sui condensatori b) la carica depositata sui condensatori dopo che la capacità dei uno dei due condensatori sia dimezzata c) la variazione di energia elettrostatica immagazzinata nei condensatori. a) Su ogni condensatore c è una carica q 0 = CV 0 = 300 μc b) Per la conservazione della carica abbiamo 2q 0 = q 1 + q 2 con q 1 = CV e q 2 = C 2 V Si ottiene quindi che q 1 = 4 3 q 0 = 400 μc e q 2 = 2 3 q 0 = 200 μc c) La variazione dell energia elettrostatica è U = ( q ) = 0.01 J + q 2 2 2C ) C 2(CV 0 2

9 Esercizio 9 L interruttore S del circuito mostrato in figura è chiuso da molto tempo e il condensatore è carico. Si calcoli la corrente stazionaria che circola in ciascuna resistenza e la carica sul condensatore. Ad un certo istante l interruttore viene aperto, si scriva in funzione del tempo la corrente che circola in R 2 Dati Ɛ=9 V, R 1=12 kω, R 2=15kΩ, R 3=3 kω, C= 10 µf. Con l interruttore chiuso a regime la corrente scorre solo sulla serie delle resistenze R 1 e R 2, infatti il ramo dove si trova la resistenza R 3 risulta aperto grazie alla presenza della capacità i 1 = i 2 = R 1 + R 2 = 0.33 ma, i 3 = 0 La tensione ai capi della capacità è la stessa ai capi della resistenza R 2 V = R 2 i 2 = R 2 R 1 + R 2 Pertanto la carica sul condensatore è Q o = CV = CR 2 R 1 +R 2 Quando l interruttore viene aperto, la carica sul condensatore segue l equazione con τ = (R 3 + R 2 )C Di conseguenza la corrente i(t) = dq(t) dt Q(t) = Q o e t τ = Q o (R 3 + R 2 )C e t τ

10 Esercizio 10 Due condensatori di capacità C 1 = 1.5 µf e C 2 = 3 µf sono connessi in serie ad un generatore di f.e.m. Ɛ=500 V, Successivamente essi vengono disconnessi dal generatore e riempiti con dielettrici di costante dielettrica ε 1=3 e ε 2=5 rispettivamente, Ad un certo istante vengono connessi in serie ad una resistenza R=0.1 MΩ. Calcolare a) La differenza di potenziale applicata a R b) Dopo quanto tempo la corrente che attraversa R sarà pari a 1 ma. Essendo i condensatori collegati in serie, la carica su di essi è la stessa: Q o = C eq = C 1C 2 C 1 + C 2 = 500 μc Quando vengono inseriti i dielettrici, i condensatori sono scollegati dalla batteria quindi la carica rimante invariata sui condensatori, ma la capacità diventa Quindi la d.d.p. applicata alla resistenza R sarà La corrente di scarica dei condensatori è Per i(t ) = 1mA si ricava che il tempo è C eq = ε 1ε 2 C 1 C 2 ε 1 C 1 + ε 2 C 2 V = Q o C eq = ε 1C 1 + ε 2 C 2 ε 1 ε 2 C 1 + ε 1 ε 2 C 2 = 144 V i(t) = V R e t τ Ri(t ) t = τln ( ) = 126 ms V

11 Esercizio 11 Due generatori uguali di f.e.m costanti Ɛ e resistenze interne r 1 = 5 Ω e r 2 con r 2= 8 Ω, sono collegati in serie con polarità concorde ed in serie ad una resistenza R che chiude il circuito. Ricavare R per il quale si annulla la d.d.p. ai capi di uno dei due generatori. La corrente che circola nel circuito è calcolabile con la I equazione di Kirchhoff 2 = (r 1 + r 2 + R)i i = 2 r 1 + r 2 + R Applicando la legge di ohm generalizzata ai capi dei due generatori otteniamo V A V B + = r 1 i V A V B = + r 1 i = (r 1 r 2 R) r 1 +r 2 +R V B V C + = r 2 i V A V C = + r 2 i = (r 2 r 1 R) r 1 +r 2 +R Nel primo caso se V A V B = 0 allora R = r 1 r 2 impossibile perché r 2 > r 1 Mentre se V B V C = 0 allora R = r 2 r 1 = 3 Ω

12 Esercizio 12 Un condensatore piano è composto da due lamine metalliche quadrate di lato L= 100 cm poste a distanza 2h= 2 cm l una dall altra connesse ad un generatore che mantiene una d.d.p. V= 120 V. Tra le lamine sono disposte due dielettrici di spessore h e di costante dielettriche relative ε 1=1.5 e ε 2=2.5 come in figura. Calcolare: a) la capacità del condensatore, b) il campo elettrico nel dielettrico 1, c) la carica di polarizzazione del dielettrico 1 e d) il lavoro necessario per estrarre il dielettrico 1 dal condensatore. L ε 1 ε2 2h V a) Il condensatore viene visto come la serie di due condensatori riempiti di un materiale dielettrico differente L C 1 = ε 0 ε 2 1 = 1.33 h 10 9 L F ; C 2 = ε 0 ε 2 2 = 2.21 h 10 9 F Pertanto la capacità del sistema è C tot = C 1C 2 = ε 0ε 1 ε 2 L 2 C 1 + C 2 (ε 1 + ε 2 ) h = F b) I due condensatori hanno la stessa carica Q = C tot V = C Quindi la d.d.p ai capi del dielettrico 1 è V 1 = Q C 1 = 75 V Pertanto il campo elettrico nel dielettrico 1 è E 1 = V 1 h = 7.5 kv/m Più velocemente si può trovare il valore del campo elettrico passando per il vettore induzione D che è lo stesso nei due dielettrici e pari a: D = Q L 2 E 1 = D = Q = 7.5 kv ε 0 ε 1 ε 0 ε 1 L2 c) La carica di polarizzazione nel dielettrico 1 è ricavabile dal vettore di polarizzazione σ p1 = P = ε 0 (ε 1 1)E 1 = (ε 1 1) Q ε 1 L 2 Di conseguenza la carica di polarizzazione è Q 1 = σ p1 L 2 = C d) La capacità finale del condensatore quando è stato estratto il dielettrico 1 è C tot = ε 0ε 2 L 2 (1 + ε 2 ) h = F Il lavoro per estrarre il dielettrico, mantenendo la tensione applicata è calcolabile dalla variazione dell energia potenziale del condensatore W = U = 1 2 C totv C totv 2 = J

13 Esercizio 13 Si consideri il circuito mostrato in figura con l interruttore aperto. Il condensatore C 1 = 1µF è inizialmente carico e tra le sue armature vi è una d.d.p pari a V 0= 15 V, mentre il condensatore C 2 = 2µF è inizialmente scarico e la resistenza R è variabile. Al tempo t=0 si chiude l interruttore, calcolare a) il valore di R tale che la potenza massima dissipata sia pari a P= 9 W, e b) la tensione ai capi di C 2 a regime. a) Quando si chiude l interruttore le capacità sono due tratti di conduttori di resistenza nulla, quindi la corrente massima che scorre nel circuito è Imponendo che la potenza dissipata sia Ri 2 max = P max Si calcola che V 0 2 = P R max R = V 2 0 = 25 Ω P max i max = V 0 R b) La carica iniziale sul primo condensatore vale Q 10 = C 1 V 0 La carica totale si conserva per cui Q 10 = Q 1 + Q 2 La tensione ai capi dei condensatori è la stessa quindi Q 1 C 1 = Q 2 C 2 Combinando le due equazioni si può calcolare la carica sul condensatore 2 Pertanto la tensione ai capi del condensatore C 2 è C 1 V 0 = C 1 C 2 Q 2 + Q 2 Q 2 = C 2C 1 C 1 + C 2 V 0 V 2 = Q 2 C 2 = C 1 C 1 + C 2 V 0 = 5 V