Soluzioni del compitino del 21 Maggio 2008

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Italo Piccinini
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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria CdL Ing. Industriale Fisica generale II a.a. 2007/2008 Prato, 21 Maggio 2008 Prima prova: Elettrostatica e Correnti stazionarie 1) Un filo sottile di materiale isolante di lunghezza 2l, parallelo all'asse x, è globalmente neutro, ma la carica è distribuita in modo che la metà sinistra del filo ha carica q e quella destra q (l = 1 m, q = 50 nc). Determinare il campo elettrostatico in un punto P dell'asse del filo distante y dal centro O. Considerando ora il filo in approssimazione di dipolo (cioè come due cariche +q e q poste nei baricentri delle distribuzioni di carica positiva e negativ, il campo di dipolo elettrostatico con quale approssimazione relativa si discosta da quello esatto per y=1 m e per y=10 m? 2) E' dato un cilindro di base circolare di raggio R = 25 cm infinitamente esteso, che porta una carica = 3 nc/m per unita di lunghezza. Sapendo che la densità volumetrica di carica è costante dentro il cilindro, calcolare Il campo elettrico E(d) in funzione della distanza d dall'asse del cilindro. La differenza di potenziale tra due punti A e B distanti d A =10 cm e d B =20 cm dall'asse del cilindro. 3) Per portare un corpo conduttore cavo al potenziale V = 1500 V un generatore deve fornire un'energia L = 3 µj, oltre quella dissipata per effetto Joule. Determinare la capacità del conduttore. Si introduce all interno della cavità del conduttore, portato a potenziale V e successivamente isolato, una carica elettrica Q* e si osserva che esso viene a trovarsi a un potenziale V * = 2.4 KV; determinare il valore di Q*. c) Il conduttore, con al suo interno la carica Q* come considerato in, viene adesso collegato a terra e ad esso, al suo esterno, viene avvicinata una carica q=12 nc. Determinare la forza complessiva che si esercita sulla carica Q* e come varia il campo elettrico agente su di essa in funzione della distanza fra le cariche.

2 4) In un partitore di tensione si pone una capacità C come in figura; inizialmente l interruttore T è aperto. (V = 96 V, C = 60 nf, R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 =R = 50 Ω). Determinare la carica presente inizialmente sulle armature del condensatore e quella che si ha a regime dopo la chiusura di T. Determinare la costante di tempo del transitorio di corrente fra la situazione iniziale e quella finale. c) Determinare l energia complessiva scambiata dal generatore, in aggiunta a quella che va dissipata per effetto Joule, durante il transitorio. 5) Data la rete in figura (E 1 = E 2 = 10 V, E 3 = 8 V, R 1 = 9, R 2 = 10, R 3 =3, R 4 = 6 ), determinare: La potenza dissipata sulle resistenze della rete. La differenza di potenziale tra i nodi A e B.

3 Soluzioni del compitino del 21 Maggio l θ y x dq + dq l λ ± = ± q l d E = dq ± = λ ± dx + + = i Il campo E(y) risultante è parallelo all asse x e per la simmetria del sistema è pari al doppio della proiezione orizzontale del contributo di una sola delle due metà del filo: = 2 dq sin θ dove sin θ = x 4πɛ 0 r 2 r e r = x 2 + y 2 quindi E(y) = 2λ 4πɛ 0 l 0 ( ) x 2λ 1 dx = (x 2 + y 2 ) 3/2 4πɛ 0 y 1 y2 + l 2 Notiamo innanzi tutto che il dipolo equivalente ha le cariche q e q disposte rispettivamente nei punti di coordinate ( l/2, 0) e (l/2, 0). Scrivendo λ = q/l e definendo l intensità del dipolo elettrico p = ql, il campo elettrico si può riscrivere nel seguente modo, E(y) = p 2 4πɛ 0 l 2 ( ) 1 y 1 y2 + l 2 Il campo di un dipolo di coordinate ( l/2, 0) e (l/2, 0) è E d (y) = p 1 4πɛ 0 y, 3 che è esattamente i limite di E(y) per y l. L approssimazione relativa è δe = E(y) E d (y) E(y), che vale circa il 70% per y = 1 m, mentre si riduce a 0.75% per y = 10 m..

4 Il cilindro è uniformemente carico, si definisce quindi una densità volometrica di carica ρ = Q/(πR 2 h) = λ/(πr 2 ), dove h è un altezza generica di un tratto di cilindro. Data la simmetria assiale del sistema, le linee di campo saranno radiali e uscenti dall asse del cilindro. Si applica quindi il teorema di Gauss prendendo una superficie cilindrica di raggio d e altezza h coassiale al cilindro carico: d R d < R V A V B = E2πdh = λh ɛ 0 = E(d) = λ 2πɛ 0 d ; E2πdh = λh ɛ 0 πd 2 πr 2 = E(d) = λ d 2πɛ 0 R 2 ; db d A E(x)dx = λ 2πɛ 0 1 2R 2 ( 1 d 2 B L = 1 2 CV 2 = C = 2L = 2.67 pf V 2 1 ) = 13 V. d 2 A La carica prima dell introduzione di Q è Q 0 = CV, dopo diventa c) Q 0 + Q = CV = Q = C(V V ) = 2.4 nc. Il conduttore cavo funge da schermo elettrostatico e il suo potenziale è nullo perché è collegato a terra, quindi all interno dove si trova la carica Q risulta E = F = 0. Quando T è aperto i = 0 e quindi Q 1 = CV = 5.76 µc. Quando T è

5 chiuso il circuito funziona da partitore di tensione e ai capi di ogni R c è una caduta di V/5, quindi Q 2 = 2CV/5 = 2.30 µc τ = CR eq, dove R eq è la resistenza vista dal condensatore, quindi R eq = 3R//2R = 6 5 R = τ = 6 RC = 3.6µs 5 c) L L J = U e = Q2 2 2C Q2 1 2C = 1 ( ) 4 2 CV = 232 µj 5. Per risolvere questo esercizio si applica le leggi di Kirkhhoff. Si può preliminarmente semplificare il circuito sostituendo al posto della maglia di destra la resistenza R 34 = R 3 //R 4 = R 3 R 4 /(R 3 + R 4 ). Percorrendo le due maglie in senso antiorario, la corrente i 1 verso il basso e i 2 e i 34 verso l alto, si ottiene il seguente sistema: i 1 i 2 i 34 = 0 i 1 R 1 + i 2 R 2 = E 1 i 2 R 2 + i 34 R 34 = E 3 E 2 Risolvendolo si trova Quindi i 1 = A i 2 = 19 i 34 = A 64 A P = i 2 1R 1 + i 2 2R 2 + i 2 34R 34 = i 1 E 1 + i 34 (E 3 E 2 ). V A V B = i 34 R 34 E 3 = i 2 R 2 E 2 ).

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