Lezione 5: Elettrostatica. Seminario didattico

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1 Lezione 5: Elettrostatica Seminario didattico

2 Esercizio n 1 Ai vertici di un quadrato di lato 2 l sono poste 4 cariche uguali Q. Determinare : a) Il campo elettrico in un punto P dell'asse; b) il campo al centro del quadrato; c) il punto dell'asse in cui il campo elettrico è massimo; d) il potenziale elettrostatico in un punto P dell'asse; e) se una carica q 0 è nel centro qual'è la sua energia potenziale elettrostatica e quanto vale il lavoro W necessario per portare q 0 ad una distanza infinita; f) quale carica q va inserita nel centro affinché la forza sulle cariche degli estremi sia nulla. p DATI: Lato = 2 l Cariche = Q 2

3 Svolgimento esercizio 1 (1) a) Per calcolare il campo elettrico nel punto P considero il piano passante per P e 2 cariche uguali, le denomino Q 1 e Q 2. Q 1 l 2 Q 2 R r E 2 P E 1 α E 2 E 2 E 1 E 1 L'ultima uguaglianza la abbiamo poiché la distanza dalle 2 cariche è identica e Q 1 =Q 2. Possiamo scomporre i campi elettrici generati dalle due cariche in una componente parallela all'asse e una perpendicolare ad esso. E 1 = E cos2 = E cos E= E 1 = E sin2 = E sin Il campo elettrico generato da una carica puntiforme ad una distanza r risulta: Q r 4 0 r 2 r E = E 1 = E 2 E 2 = E cos E 2 = E sin La componente parallela all'asse è identica in entrambi i casi, mentre la componente perpendicolare ha verso opposto. Il campo risultante avrà solo componente parallela all'asse x 3

4 Svolgimento esercizio 1 (2) Una analisi analoga a quella precedente sulle altre 2 cariche consente di scrivere il campo risultante come somma delle 4 componenti parallele all'asse. E tot = u x E tot = u x E cos= u x 4 Q 4 0 r 2 cos Riscriviamo il modulo di questo vettore in funzione della distanza R dal centro e del lato 2 l del quadrato. Utilizziamo le seguenti relazioni geometriche: l 2 R r α P α r= R 2 2l 2 R=rcos cos= R r = R R 2 2l 2 4

5 Svolgimento esercizio 1 (3) Sostituendo le relazioni precedenti otteniamo: E tot = 4 Q 4 0 r cos= Q R 2 0 R 2 2l b)il campo elettrico nel centro del quadrato lo possiamo ottenere valutando a R=0 la formula generale, ottenendo che il campo è nullo: E R=0=0 c) Per calcolare il punto in cui il campo elettrico è massimo, lungo l'asse, è necessario fare la derivata in funzione di R dell'equazione precedente ed uguagliarla a zero: de tot dr = Q 0 [ 3 ] R2 2l 2 2 3R 2 R 2 2l 2 R 2 2l =0 5

6 Svolgimento esercizio 1 (4) R 2 2l 2 2 3R 2 R 2 2l 2 2 =R 2 2l 2 2 3R 2 1 R 2 2l 2 d) Il potenziale elettrostatico generato da un sistema di cariche puntiformi è uguale alla somma dei potenziali generati singolarmente dalle cariche, ad una distanza R dal centro del quadrato: V P = 4 Q 4 0 r = Q 0 R 2 2l 2 Data tale formula è possibile riottenere il campo elettrico utilizzando la relazione: E= V = u x Q 0 =0 3R2 =R 2 2l 2 R=l d dr R2 2l = u x Q 0 2 3R 1 R 2 2l 2 R R 2 2l 2 =

7 Svolgimento esercizio 1 (5) e) L'energia potenziale elettrostatica del sistema formato dalle 4 cariche risulta: U e sistema=u 12 U 13 U 14 U 23 U 24 U 34 2 l Q 4 Q 1 q 0 Q 3 Q 2 Poiché le cariche agli angoli sono tutte uguali valgono le seguenti relazioni: U 12 =U 14 =U 23 =U 34 = U 13 =U 24 = Q l 2 Da cui si ottiene : U e sistema= Q2 0 2l Q l Q2 4 0 l 2 L'energia potenziale della carica q 0 risulta: U e q 0 =4 Qq l 2 7

8 Svolgimento esercizio 1 (6) L'energia potenziale complessiva è la somma di quella del sistema e quella della carica q 0 : U e =U e sistemau e q 0 Il lavoro per portare q 0 sino ad infinito lo si ottiene considerando la variazione dell'energia potenziale ( all'infinito quella del sistema non muta mentre U e (q 0 )=0): f) per valutare la carica necessaria affinché la forza sulle cariche degli estremi sia nulla, consideriamo una delle cariche agli angoli del quadrato e valutiamo le singole forze che vi agiscono. La risultante delle forze dovute alle cariche agli angoli del quadrato risulta: 2 l W = U e = U e q 0 =U e q 0 = q 0Q 0 2l Q 4 Q 1 q F 32 Q 3 Q 2 F 42 F 12 R= F 12 F 32 F 42 F 12 = F 32 = F 42 = Q 2 Q l l 2 8

9 Svolgimento esercizio 1 (7) Le componenti perpendicolari alla diagonale delle forze F 12 e F 32 sono uguali ed opposte e si elidono. Le uniche componenti la cui somma è non nulla sono quelle parallele alla diagonale e quindi a F 42. La risultante delle forze dovute alle altre 3 cariche agli angoli risulta: R = F 12 cos 4 F 32 cos 4 F 14 = R = 2Q l 2 Q 2 2cos 4 Q l 2 Q l l 2 Affinche la forza totale sia nulla, quando viene aggiunta una carica al centro la seguente relazione deve essere verificata (f q è la forza dovuta alla carica posta nel centro): f q = R Q q 4 0 2l = Q l q= Q

10 Esercizio n 2 Un corpo sferico di raggio R = 10 cm è uniformemente carico con densità di carica ρ =10-6 C/m 3 in tutto il volume, tranne in una cavità interna sferica di raggio r 1 = R/2. Il centro della cavità si trova a distanza d= r 1 dal centro del corpo sferico. Determinare: a) la carica totale Q sul corpo; b) l'espressione del campo elettrostatico in tutti i punti dello spazio (0 r< ) c) Il valore del campo e del potenziale elettrostatico nei punti A e B B O A x DATI: R = 10 cm = 0.1 m ρ =10-6 C/m 3 r 1 = R/2 Q=? E(r)=? E(A),V(A),E(B),V(B)=? 10

11 Svolgimento esercizio 2 (1) a) La carica totale la si può calcolare valutando il volume della sfera cava come differenza del volume della sfera meno quello della cavità: Q=V sfera V cavità = 4 3 R3 r 1 3 = 4 3 R3 7 8 = C b) Per calcolare il campo elettrico della sfera cava con la cavità decentrata possiamo immaginare che la cavità sia composta sia da cariche negative che da cariche positive in egual numero. In tal modo il sistema è composto da una sfera S di raggio R, carica positiva Q S e centro in O ed una sfera più piccola di raggio r 1 di carica negativa Q C centrata in O'. Q S =V S = 4 3 R3 Q C = V C = 4 3 r 3 1 Il campo elettrostatico in ogni punto lo possiamo calcolare con la sovrapposizione dei campi dovuti alle 2 sfere. 11

12 Svolgimento esercizio 2 (2) Il campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica di raggio R può essere ottenuto facilmente con il teorema di Gauss considerando come superficie una sfera concentrica. Da considerazioni geometriche si ha che il campo elettrostatico è radiale. Campo interno alla sfera carica (0 r<r): E R E = S E int ds=4 r 2 E int = 4 3 r3 0 E int r= r u 3 r 0 Campo esterno alla sfera carica (R<r): E = S E ext ds=4 r 2 E ext = 4 3 R3 0 E ext r= R3 3 0 r 2 u r 12

13 Svolgimento esercizio 2 (3) Calcoliamo il campo elettrostatico generto dal sistema in determinate parti: -Punto interno alla cavità B s P O' r O A x I vettori r e s indicano rispettivamente la posizione del punto P dal centro O della sfera S e dal centro O' della cavità C. Tra di essi intercorre la relazione: r = r 1 s In tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando i due campi interni: E P= E ints PE intc P= r u 3 r s u 0 3 s = r s EP= Il campo elettrico all'interno della cavità e r 3 1 costante ed è pari a quello che si 0 avrebbe in O' se la sfera S non fosse cava. 13

14 Svolgimento esercizio 2 (4) -Punto interno alla sfera ed esterno alla cavità B O' s O P r A x In tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando il campo elettrostatico interno della sfera e quello esterno della cavità: E P= E ints PE extc P= r u 3 r r s u s= r s r 1 s 3 14

15 Svolgimento esercizio 2 (5) -Punto esterno alla sfera ed alla cavità P B O' s O r A x In tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando il campo elettrostatico esterno della sfera e della cavità: EP= E exts P EP= 3 0 E extc P= R3 r R r 3 0 r u r r s r 3 1 s 3 0 s 2 u s 15

16 Svolgimento esercizio 2 (6) c) il campo elettrostatico nei punti A e B lo otteniamo utilizzando la formula per i punti esterni alla sfera. Nel punto A valgono le seguenti relazioni: B O' s A O r A A E A= 3 0 x r s r 1 r 1 R 3 u s = u r = u x r A =R u r =R u x s A =r 1 R u s = 3 2 R u x = 3 0 R u r u s E A= 3 0 R u r = u x V /m 3 R 8 9R

17 Svolgimento esercizio 2 (7) Nel punto B valgono le seguenti relazioni: u s = u r = u x r B =R u r = R u x B s B O' r B O A x s B =r 1 u s = 1 2 R u x EB= r s = R u r R 2 u s EB= 3 0 R u r 1 2 = u x V /m 17

18 Svolgimento esercizio 2 (8) I potenziali in A e B possiamo calcolarli usando la stessa assunzione utilizzata per valutare il campo elettrostatico. V A=V S AV C A= Q S 4 0 R Q C 4 0 Rr 1 V A= 4 3 R3 4 0 R 4 3 r 3 R Rr 1 = R R 3 2 = R =345.1V V B= V B=V S BV C B= 4 3 R3 4 0 R Q S 4 0 R Q C 4 0 r r 3 R 3 1 = R r R 1 2 = R =282.3V 18

19 Esercizio n 3 Una carica puntiforme q = C si trova nel piano mediano di una carica distribuita uniformemente con densità ρ = 10-8 C/m 3 tra due piani paralleli indefiniti distanti d = 2 cm. Determinare: a) L'espressione del campo elettrostatico in tutti i punti dell'asse x(asse mediano) in assenza della carica q; b) Il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico per trasportare la carica q in un punto P situato all'esterno della regione carica e distante h= 3cm dal piano più vicino. d h x P + + q DATI: q = C ρ = 10-8 C/m 3 d= 2 cm = 0.02 m h = 3 cm = 0.03 m E(x) =? L=? 19

20 Svolgimento esercizio 3 (1) Per valutare il campo elettrico dobbiamo fare alcune considerazioni di simmetria e poi applicare il teorema di Gauss su una superficie consona. Poiché la carica è uniformemente distribuita tra due piani paralleli infinitamente estesi si ha che: a) per ogni punto la componente parallela ai piani del campo elettrostatico è nulla; b) il campo elettrostatico nel piano mediano è nullo; c) il campo elettrostatico per i punti superiori al piano mediano è verso l'alto mentre per quelli inferiori è verso il basso. Come superficie a cui applicare il teorema di Gauss scegliamo una scatola cilindrica con le basi di area Σ parallele ai piani. In tal modo il flusso totale che attraversa la superficie è pari solo alla somma del flusso attraverso le due basi. Campo interno: La carica contenuta nella scatola cilindrica risulta ρσ2x con (x<d/2), per cui si ottiene: E int =2 E int = 2 x 0 E int = x 0 20

21 Svolgimento esercizio 3 (2) Campo esterno Applichiamo il teorema di Gauss alla stessa superficie. In tal caso le cariche contenute nel volume non dipendono da x ma sono Σρd. Il campo risulta: E ext =2 E = d 0 E ext = d 2 0 Il campo all'esterno è costante. La rappresentazione grafica del campo è la seguente: E E= d 2 0 -d/2 d/2 E= d 2 0 x Σ 2 E 2 21

22 Svolgimento esercizio 3 (3) b)per calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico per trasportare la carica q in un punto P situato all'esterno della regione carica e distante h dal piano più vicino valutiamo la differenza di potenziale tra i due punti: L= q V = qv P V O= q 0 d 2 E int d x d 2 h d 2 E ext d x d L= q 0 2 x dx d 0 2 h d 2 d 2 0 dx = q d2 8 0 d h 2 0 L= q 0 d2 8 hd 2 = J 22