ESERCIZI svolti e non

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1 ESERCIZI svolti e non Qualche ragionamento non ti convince? Qualche calcolo non torna? Consultami all indirizzo: sendtowally@virgilioit pag 1 di 7

2 Settore e I circuiti elettrici in corrente continua e con elementi capacitivi [ 1 ] Ricavate la resistenza equivalente tra i punti e y per ciascuno dei circuiti riportato in figura: i dati relativi alle resistenze sono riportati all interno della grafica per ciascuno dei tre casi [ ] Nel circuito riportato in figura, calcolate le correnti nei tre rami e differenza di potenziale ai capi di R 3 : si ipotizzi che sia: ε1 = 18 V, ε = 1 V R = 330 Ω, R = 0 Ω, R = 180Ω 1 3 [ 3 ] Facendo riferimento alla prima delle due figure: [a] Dite quanti sono i nodi presenti nel circuito e quali sono quelli indipendenti, assegnando loro una lettera maiuscola identificatrice nella figura ricostruita sul vostro foglio [b] Risolvere il circuito significa determinare la corrente in tutti i rami: quante sono le correnti da identificare? Segnalatele sul vs circuito Di quante equazioni alle maglie avete bisogno? [c] Pensando di identificare la corrente principale, si potrebbe identificare un unica resistenza equivalente: ricostruitene il valore e collocatela nel circuito così semplificato [d] Imponete ora le equazioni alle maglie e ai nodi [e] Risolvete il circuito [f] Guardate ora alla seconda delle figure, nella quale le resistenze in parallelo di destra sono state sostituite da un condensatore di capacità di valore riportato Qual è la costante di tempo del circuito RC così creato? [g] Nell istante in cui la carica sulle armature del condensatore sarà arrivata alla metà del valore di regime, quali saranno la corrente nei due rami resistivi del parallelo? RISOLUZIONE [a] I nodi sono quelli segnati col cerchietto e sono in tutto 4 (A, B, C e D), dei quali solo sono indipendenti (ad es A e C) visto che gli altri segnano una ripetizione delle equazioni ai nodi Infatti: nodo C : i1 = i + i3 nodo D : i + i3 = i1 nodo A: i1 = i4 + i5 nodo B : i4 + i5 = i1 [b] Le correnti da determinare sono quelle individuate nel disegno e già citate: i 1, i, i 3, i 4 e i 5 Attenzione che i 1 va considerata sopra e sotto, in quanto corrente che circola nella maglia principale Considerando poi che le incognite nella risoluzione del circuito sono proprio le correnti e sono in tutto 5, avendo già a disposizione equazioni indipendenti ai nodi, avremo bisogno di sole 3 equazioni pag di 7

3 alle maglie per risolvere il circuito: una scelta possibile è di prendere la maglia principale e le due maglie dei paralleli [c] Alla determinazione della corrente principale si arriverà considerando la resistenza equivalente che sostituisce la serie del parallelo di sinistra, della resistenza alta e del parallelo di destra, secondo REQ = R s + RALTA + R d = la: ; = = 0 + = Ω la corrente principale si otterrà con la prima legge di Ohm applicata alla grande maglia: ε 3 i1 = = = A R 40 0 /3 40 EQ [d+e] Determinata la corrente principale e già utilizzata nella forma che abbiamo già visto la maglia principale, sono sufficienti quattro equazioni, di cui già viste al primo punto e da ottenere sulle maglie dei paralleli: i1 = i + i3 = 3/ 40 A 3 i = 3/ 40 i = 1/ 40 A e i3 = 1/ 0 A i1 = i4 + i5 = 3/40 A i4 = 3/40 i4 = 3/80 A = i5 0 i4 00 i5 = 0 i4 = i5 00 i 00 i3 = 0 i = i3 Le risultanze sulle correnti sono tutte positive e i versi scelti per la corrente si rivelano a posteriori tutti appropriati fisicamente La scelta sulla percorrenza dei paralleli è chiara [f] Per ottenere una descrizione standard del nuovo circuito è sufficiente sostituire alle resistenze presenti quella equivalente, già in parte determinata al punto [c]: 1 1 REQ RC = R s + RALTA = = 0 Ω 0 0 Il circuito sarà allora del tipo: R C EQ RC 6 4 e la costante di tempo: τ = REQ RC C = 0 = s [g] Il tempo t * necessario per raggiungere il valore mediano del potenziale sarà ottenibile dalla t qt () τ dalla : V ( t) = = ε 1 e e VMAX = ε, si può ottenere : C t* t* t* ε 1 1 τ τ τ Vt (*) = = ε 1 e 1 e e equazione: = = t * = ln = ln t* = τ ln = ln 1,386 s τ anche se tale calcolo non è necessario, come vedremo Noto ciò e nota l espressione di riferimento per la corrente in circuito RC, è sufficiente ricordare che nel parallelo di sinistra con due resistenze uguali, la corrente primaria si dimezza e sarà: t* ε 1 1 it (*) = e τ = = A R 0 0 EQ RC Questo per la corrente primaria Per ciascuno dei rami del parallelo sarà invece: i( t* ) 1 ipar ( t* ) = = A 40 pag 3 di 7

4 [ 4 ] Facendo riferimento alla prima delle due figure: [a] Dite quanti sono i nodi presenti nel circuito e quali sono quelli indipendenti, assegnando loro una lettera maiuscola identificatrice nella figura ricostruita sul vostro foglio [b] Risolvere il circuito significa determinare la corrente in tutti i rami: quante sono le correnti da identificare? Segnalatele sul vs circuito Di quante equazioni alle maglie avete bisogno? [c] E necessario identificare delle resistenze equivalenti da qualche parte: dite dove e individuatele sul vs circuito e ricostruitene il valore [d] Imponete le equazioni alle maglie e ai nodi (costruite il sistema risolvente) [e] Risolvete il circuito [f] Guardate ora la seconda delle figure, nella quale la resistenza di destra ( R 3 ) è stata sostituita da un condensatore di capacità di valore riportato: qual è la costante di tempo del circuito RC così creato? [g] In quale istante la carica sulle armature del condensatore arriverà alla metà del valore di regime? [h] Quale sarà la corrente nel circuito nel medesimo istante? [ 5 ] Facendo riferimento alla prima delle due figure: [a] Dite quanti sono i nodi presenti nel circuito e quali sono quelli indipendenti, assegnando loro una lettera maiuscola identificatrice nella figura ricostruita sul vostro foglio [b] Quante sono le correnti da identificare? Segnalatele sul vs circuito Quante sono le possibili equazioni alle maglie che potete imporre? Di quante ne avete bisogno? [c] Imponete le equazioni alle maglie e ai nodi (costruite il sistema risolvente) [d] Risolvete il circuito [e] Determinate, quando passa la corrente, la differenza di potenziale ai capi della resistenza più vicina al generatore e ai capi di quella collocata sul ramo obliquo Guardate ora la seconda delle figure, nella quale le resistenze di destra sono state sostituite da un condensatore (circuito RC) [f] Se con la medesima fem di 1 V la differenza di potenziale 6 ai capi del condensatore sale a 8V dopo t = 30 sec, dite quanto valga la costante di tempo τ e quanto la capacità C del condensatore [g] Quale sarà la corrente nel circuito nel medesimo istante? [h] Se l incertezza sul t fosse stata di circa il %, e cioè avesse potuto essere: 6 6 t 3, 0 sec;3,3 sec, di quanto sarebbe stata incerta la misura della capacità del condensatore? pag 4 di 7

5 [ 6 ] Il circuito elettrico illustrato all interno della figura, è dotato di un generatore di tensione continua con ε = V e di più resistenze R = 4Ω [a] Qual è la corrente che circola sul ramo principale, e cioè quello con il generatore? [b] Qual è la corrente che circola nei rami del parallelo? Si inserisca successivamente una resistenza R in serie come in fig B: [c] Che valore dovrà avere in modo da ridurre del 50 % il valore della corrente nel parallelo? Si passi ora a considerare il nuovo circuito in fig C, nel quale è stato inserito un ulteriore generatore di tensione costante di forza elettromotrice ε =± 15 V, rispettivamente concorde e discorde rispetto a ε [d] Qual è l effetto di questi due generatori sulle correnti sul ramo principale e sul parallelo? ε 15 [e] Qual è la differenza di potenziale ai capi del parallelo, e cioè tra i punti H e K, quando = V? [ 7 ] [a] Considerate un condensatore piano di capacità C allacciato ad una batteria di forza elettromotrice ε Grazie a valutazioni adattate al caso in questione e motivando opportunamente, stimate il lavoro che è necessario imporre dall esterno per caricare lo stesso fino a fargli addensare su ciascuna delle armature una carica Q Si consideri poi il fatto che per caricare le armature è necessario che fluisca carica dagli elettrodi della batteria verso le armature stesse [b] Si valuti dunque, prima in modo discusso e poi in modo analitico, seppur qualitativo, l andamento della corrente nel tempo, quando nel circuito si intenda presente anche la resistenza r del filo che collega la batteria al condensatore [ 8 ] Una resistenza R 1 = 15 kω ed un condensatore sono collegati in serie e improvvisamente viene applicata grazie ad un generatore una differenza di potenziale ε = 1 V ai loro capi La differenza di potenziale nel condensatore aumenta fino a V = 5 V in un t = µ s [a] Calcolate costante di tempo del circuito e capacità del condensatore Si supponga lasciare poi caricare il condensatore completamente e, a questo punto, staccare il generatore lasciando in serie condensatore e R 1 e di aggiungere in parallelo una resistenza R = 5 kω [b] Si determini l andamento della corrente nel tempo nei due rami del parallelo pag 5 di 7

6 [ 9 ] Con l'obiettivo di risolvere il circuito riportato in figura all'interno del quale è ε = 0 V, R1 = R = 0 Ω, R3 = 30 Ω e R4 = 50 Ω, si parta con l'analisi calcolando: [a] col metodo delle resistenze equivalenti e cioè senza proporre un sistema di equazioni, la corrente primaria e cioè quella che passa sulla resistenza R 1; [b] successivamente si analizzi l'intero circuito, ricorrendo ai principi di Kirchhoff e individuandone nodi e maglie, introducendo e risolvendo il sistema completo di equazioni; [c] si determini il valore della differenza di potenziale: VAC [ ] Facendo riferimento alla figura che illustra una batteria collegata ad una resistenza uniforme R Ricordando che la resistenza è o direttamente proporzionale alla sua lunghezza, un contatto scorrevole può muoversi lungo la resistenza da = 0 a = cm ; Si determini l'espressione per la potenza dissipata nella resistenza R in funzione di, nella situazione in cui valgano i seguenti dati: ε = 50 V, R= 000 Ω e R o = 0 Ω RISOLUZIONE L analisi può partire dai circuiti resistivi che si possono individuare all interno della figura, premettendo con una relazione l andamento della resistenza in funzione della lunghezza e considerando che sia la lunghezza a sinistra di R e corrispondentemente cm quella di destra; la quantità o di resistenza relativa sarà allora: RSX = 0 Ω e RDX = 0 Ω Assegnate le relazioni, il problema è ora quello di ricostruire il valore della corrente che passa su R, dato che l espressione per la potenza dissipata sulla resistenza (Effetto Joule) è: P = V i = R i i = R i ( ) La resistenza equivalente del parallelo in serie con R DX sarà: RPAR = + = + = + R R SX R 000 R o = = La corrente primaria che ne esce è: ε 50 5 ( ) i = = = RPAR + RDX (0 0 ) ( ) ( 00 +) ( + 00) = = = ( ) (00 + ) (50 )( + 40) Lavoro di calcolo sensibile anche per andare a determinare la corrente sul ramo alto del parallelo, dove vale la relazione: pag 6 di 7

7 R i R i = 0 = R i R ( i i ) R SX SX R SX R essendo: i R + i SX = i Con i valori, la relazione diventa: R ir = RSX ( i ir) ir ( R+ RSX) = RSX i 0 RSX i ir = = i = i R+ R SX e tenendo conto dell espressione della corrente primaria i: 5 ( + 00) i R = i = ( 50)( + 40) Arriviamo all espressione finale relativa alla potenza dissipata su R: 5 ( + 00) 500 ( + 00) P= R ir = 0 = + (50 )( + 40) (50 ) ( + 40) ( + ) con: 0 [ ], pag 7 di 7