4 Luglio 2012 Esame di Teoria dei Circuiti V 1 V 2. I R1 = 1 R 1 + R 2 (1 α) + R 3 V 1. I 2 = I R3 = 1 α 1 + β I R1 = V α

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "4 Luglio 2012 Esame di Teoria dei Circuiti V 1 V 2. I R1 = 1 R 1 + R 2 (1 α) + R 3 V 1. I 2 = I R3 = 1 α 1 + β I R1 = V α"

Emanuele Quaranta
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Esame di Teoria dei Circuiti 4 Luglio 202 () Esercizio I R R I R3 R 3 I 2 V αi R V 4 I 4 βi R3 Con riferimento al circuito di figura si assumano ( i seguenti ) valori: 0 Ω R R 3 kω, 5 kω,, α /2, β 2, V 2 kω 3 V 4 5 V, 4 m, I 4 2,5 m. Determinare: la descrizione del doppio bipolo evidenziato in figura tramite matrice conduttanza ; se esiste, ed eventualmente calcolare, una rappresentazione del due porte sopra calcolato tramite matrice delle resistenze R partendo dalla rappresentazione calcolato. È possibile ottenere tale rappresentazione in un circuito composto da sole tre resistenze? la potenza P, P V 4, P I3 e P I4 dei quattro generatori ideali, rispettivamente,, V 4, e I 4, qualora si assuma di connettere alla porta di sinistra del doppio bipolo sopra calcolato i generatori e e la resistenza, e alla porta di destra i generatori V 4 e I 4 e il doppio bipolo, come mostrato in figura. Per determinare la descrizione tramite matrice conduttanza del circuito in esame si supponga di collegare al doppio bipolo i due generatori ideali di tensione V e e calcolarne le correnti e I 2. Si definisca inoltre un verso arbitrario per la corrente I R2. I R R () I R2 I R3 R 3 I 2 V αi βi V 2 R R3 (a) Dal bilancio delle correnti al nodo () si ha () : I R αi R I R2, I R2 ( α) I R mentre dal bilancio delle correnti al nodo indicato con si ha : I R2 I R3 β I R3 0, I R3 I R2 β α β I R La corrente incognita I R può essere ricavata dal bilancio delle tensioni alla maglia (a) (a) : V R I R I R2 R 3 I R3 0 V V R I R ( α) I R R 3 α β I R 0 V

2 4 Luglio 202 Esame di Teoria dei Circuiti Segue che I R α β I R α R ( α) R 3 β 3/5 mω α R ( α) R 3 β La soluzione cercata è /0 mω V R ( α) R 3 α β V I 2 I R3 α β I R V α β α R ( α) R 3 β 2 3/5 mω α R ( α) R 3 β 3 5 mω 0 2 /0 mω Nel secondo punto dell esercizio si chiede di calcolare la descrizione dello stesso doppio bipolo tramite matrice R, data da R. Tuttavia, poiché det µω2 la rappresentazione del doppio bipolo tramite matrice R non esiste, ovvero il circuito non è un doppio bipolo controllabile in corrente. Per quanto riguarda la seconda domanda, ovvero se sia possibile ottenere un circuito descritto dalla stessa matrice, la risposta è no. Una matrice composta da soli componenti passivi deve essere simmetrica e semidefinita positiva. Non essendo la matrice simmetrica, non è possibile ottenerla con sole resistenze. Per l ultimo punto dell esercizio si consideri il seguente circuito, dove sono state indicate con V () e I() tensione e corrente alla porta di, con V e I tensione e corrente alla porta 2 di, con V () e I() tensione e corrente alla porta di, ed infine con V e I tensione e corrente alla porta 2 di, con V V () V 4 e I I 4. I R4 I V3 () I () I I V4 I () I V I3 (a) () V V I 4 V 4 () V V V I4 Si noti che le equazioni costitutive di sono quelle dimensionalmente compatibili con la matrice, ovvero I () V () 2I V 2V () 22I 2

3 Esame di Teoria dei Circuiti 4 Luglio 202 Dalla maglia (a) si ha (a) : I R4 V (), I R4 V () che, grazie alla prima equazione costitutiva di e dal bilancio delle correnti al nodo indicato con (), porta a () : I R4 I da cui Le potenze P e P I3 sono date da V () V () 2V 4 V () 2 V 4 0 V V () P I I R4 5 mw P I3 V I3 V () 0 W mentre per quanto riguarda P V 4 si ha, sfruttando il bilancio delle correnti al nodo P V 4 V 4 I V 4 V 4 ( I ) ( I() V 4 V () 2V 4 V () ) 2I 4 5 mw e per P I4 P I4 V I4I 4 V I 4 ( 2 V 4 22 I 4 ) I 4 0 mw Esercizio 2 I 2 I R R () I R2 I R3 R 3 I R4 V () I 2 I (3) () V V I R5 R 5 I (4) Con riferimento al circuito di ( figura si assumano ) i seguenti valori: 3/5 2/5 R...R 5 kω, mω 2/5 3/5, 5 m, I 2 4 m, m. Si supponga inoltre che gli amplificatori operazionali siano ideali e che lavorino sempre nella zona ad alto guadagno. Determinare le tre correnti I, I2 e I3 di uscita degli amplificatori operazionali. 3

4 4 Luglio 202 Esame di Teoria dei Circuiti Si considerino i versi delle tensioni e delle correnti come indicato in figura. Si consideri inoltre che per tutti gli amplificatori operazionali la corrente agli ingressi sia nulla e che la tensione ai due ingressi sia uguale per via del corto circuito virtuale. Per l operazionale, si ha V V 0 V. Inoltre, I R, da cui V V R I R R I R 5 V Dagli ingressi dell operazionale 2 si ha V2 V, da cui I R2 0. questo punto la corrente I può essere ricavata dal bilancio delle correnti al nodo () () : I 2 I R2 I I R 0, I I R I 2 I R2 m Inoltre, I R3 I R2 0, da cui V 2 V 2 R 3I R3 V 5 V Per l operazionale 3, V3 0 V; inoltre dal nodo : I R5 I 2, V 3 V 3 I R4 V 3 I R5 (I 2 ) 5 V Ora, osservando che V () V 2 e V delle correnti ai nodi (3) e (4), le correnti I2 e I3., è possibile ricavare, attraverso il bilanco (3) : I2 I () I R3 V2 2 V3 I R3 m (3) : I 3 I R4 I, I 3 I R4 I I 2 2 V 2 2 2V 3 5 m Esercizio 3 R R R R R V (a) (b) (c) (d) Si consideri il generatore ideale di corrente V, a cui vengono collegati uno alla volta i bipoli indicati con (a), (b), (c) e (d), con V 2 V, V. Restano ignoti i valori delle resistenze R e. Si determini: la corrente (in funzione dei valori di R e ) nel caso in cui sia collegato il bipolo (a); se nei casi (b), (c) e (d) il valore di tale correnti aumenti, diminuisca oppure se rimanga costante rispetto al caso precedente. 4

5 Esame di Teoria dei Circuiti 4 Luglio 202 R V Si consideri il caso (a). Tutti i bipoli sono collegati in serie e quindi attraversati dalla stessa corrente. Considerando il bilancio delle tensioni all unica maglia si ha V R 0 da cui V R V R R (eq) R R V V (eq) V V R (eq) (b) (c) (d) Nel caso (b) la resistenza R è stata sostituita dal parallelo di due resistenze uguali alla R. Tale parallelo si può considerare equivalente ad una sola resistenza di valore R (eq) R /2. La corrente del circuito in questo caso si può esprimere come e, poiché R /2 < R, si ha I (b) V R /2 I (b) > V R /2 Nel caso (c) il generatore ideale di tensione è sostituito dal parallelo di due generatori ideali di tensione. Sebbene nel caso generale il parallelo di più generatori non sia possibile, in questo caso il fatto che entrambi i generatori abbiano la stessa tensione rende il parallelo possibile, ed al parallelo si può sostituire un unico generatore V (eq). La corrente del circuito diventa I (c) e, poiché V V (eq) V, si ha V V (eq) R I (c) V R /2 Infine, nel caso (d) è la resistenza ad essere sostituita dal parallelo di due resistenze uguali. Il parallelo può essere considerato equivalente ad una sola resistenza di valore R (eq) /2. La corrente del circuito è e, poiché R /2 < R, si ha I (d) V R /2 I (d) > V R /2 5

Documenti analoghi

Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 2011 (Soluzione)

Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 20 Soluzione) Esercizio I I R R I R2 R 2 V 3 I 3 V V 2 αi R βi R2 V I Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: R = kω, R 2 = kω, = 2