1. Serie, parallelo e partitori. ES Calcolare la

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1 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Serie, parallelo e partitori S - alcolare la vista ai morsetti - e quella vista ai morsetti -D S alcolare la resistenza uivalente vista ai capi del generatore Ω Ω Ω Ω isultato: 7 Ω, 00 Ω D D Ω Ω Ω Ω Ω Utilizzando l uivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi: Ω // Ω Ω S - alcolare la isultato: 07 Ω, Ω D vista ai morsetti - e quella vista ai morsetti -D D Ω Ω Ω Ω S alcolare la resistenza uivalente vista dal generatore S - alcolare il valore di tale che ai morsetti - si abbia Ω Ω Ω / Utilizzando l uivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi: 7 Ω 87 Ω 87 Ω 9 Ω isultato: S - alcolare la isultato: 07 mω, mω D vista ai morsetti - e quella vista ai morsetti -D D mω mω, mω mω, 8 mω

2 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S 7 - alcolare la tensione v usando il partitore di tensione S 9 - alcolare la potenza ata dal generatore e quella assorbita dal resistore v V Ω 0 Ω i i V Ω Ω Ω Ω Ω Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da: Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmente ricondursi alla rete uivalente seguente: pplicando ora il partitore di tensione si ha: v V v // Ω P i, P i La i si valuta a partire dal calcolo della resistenza uivalente vista ai capi del generatore: i da cui si ricava: P 880 W // // Nota la corrente i, si può ricavare la i applicando due volte il partitore di corrente Dapprima ricaviamo i dalla rete uivalente seguente Ω i 88 S 8 - alcolare la corrente i usando il partitore di corrente i m µω µω i quindi ricaviamo i ripartendo i tra i resistori ed : i i i Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla rete uivalente seguente: pplicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi): i 8 m i 8 µ Ω i i 09 P 70 mw S 0 - alcolare la potenza ata dal generatore e quella assorbita dal resistore isultato: P W, P 7W Ω Ω Ω

3 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S - alcolare la potenza ata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore Verificare la conservazione delle potenze isultato: P 88 kw, P 0 kw, P 00 kw, P kw, P Ω Ω Ω Ω kw Sovrapposizione degli effetti S - alcolare la potenza totale ata dai generatori V Ω Ω Ω S - alcolare la corrente i cc che circola nel corto-circuito isultato: i 87 cc i cc V Ω Ω kω kω dottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza ata da ciascuno di essi sarà data da:, P v P i La tensione v e la corrente i si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti, risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso: v v i v i i S - alcolare la tensione v 0 sul circuito aperto in figura isultato: v 0 V S - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura isultato: P P, P 0 W v 0 Ω Ω Ω V Ω 0 Ω Ω Ω Ω Ω on riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo v è ottenuto valutando la resistenza uivalente vista dal generatore: // ) // 79 Ω v 80 ( V Per valutare i si può utilizzare la tensione v sul parallelo // : v v v i (nell ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su ) Nel secondo circuito ausiliario, il contributo i è ottenuto valutando la resistenza uivalente vista dal generatore: ) // 0 Ω i / ( Per valutare v è utile passare attraverso il calcolo della corrente i della serie : Se ne conclude che: i i v i V P i ( i i ) 770 W, P v ( v v ) 7 kw (Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva)

4 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S - alcolare la potenza totale ata dai generatori S - Determinare la potenza ata dal generatore V, Ω, V Ω V, Ω,, Ω, Ω isultato: P 7 W, P kw S - alcolare la potenza totale ata dai generatori isultato: P 0 W isultato: P 09 kw, P kw V Ω Ω Ω S 7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v v V, m kω, kω, kω S - alcolare la tensione v e la corrente i isultato: v V isultato: v 0 V, i 90 v i V, V Ω S 8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e la potenza assorbita da i V, m kω, kω, kω isultato: i 7 m, P 7mW S - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann v v S 9 - Valutare la corrente i e la potenza ata dal generatore i isultato: i 8, 8W P V, Ω, V Ω, Ω 7 8

5 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Generatori uivalenti di Thévenin e di Norton S - alcolare l uivalente di Thévenin visto ai capi dei morsetti a-b La resistenza uivalente si ottiene spegnendo l unico generatore, quindi studiando la rete seguente La tensione a vuoto 0 si ottiene valutando la tensione tra i morsetti aperti Tenuto conto che in queste condizioni non circola corrente sul resistore è evidente che la 0 è anche la tensione su Poiché ed sono in serie, la tensione 0 si può ricavare da un semplice partitore di tensione: i a b a b a b // I cc (si noti che ed sono cortocircuitate) Il contributo I cc dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto In questo circuito I cc è proprio la corrente che circola nel generatore di tensione (si noti che su tale generatore è fatta la convenzione dell'utilizzatore): I cc, dove ( ) // Ω Pertanto la I cc sarà I cc I cc Icc S - Utilizzando l'uivalente di Norton calcolare la corrente che circola in iducendo la rete vista ai capi di con il teorema di Norton, si ottiene la rete seguente, dalla quale si evince che i I cc i V Ω Ω I cc Ω i S - alcolare l uivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b a V Ω b Ω I circuiti per valutare i parametri di Norton sono riportati di seguito: I cc I cc La resistenza uivalente si ottiene spegnendo i generatori: //[ //( )] Ω La corrente I cc è la corrente che circola da a a b quando i due morsetti sono in corto-circuito pplicando il principio di sovrapposizione degli effetti, il contributo I cc dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente: Si avrà allora // 0 Ω La corrente I cc si può valutare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti Il contributo I cc dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente: 9 0

6 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 I cc // ) ( 0 Il contributo I cc dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto pplicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo p // e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in ) Si ottiene in definitiva v v p 7 p p Icc p I cc I cc Icc 87 i 000 S - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore isultato: P µw V µ MΩ 800 kω 0 kω S - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore S 7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da V m kω kω kω m m kω kω kω isultato: P 8W isultato: P 87 µw S - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente i i V kω kω kω S 8 - Verificare che il resistore non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la seguente relazione (ponte di Wheatstone): isultato: i 8 m (Suggerimento: applicare Norton ai capi di ed imporre che sia nulla la corrente I cc )

7 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Metodi generali per l analisi delle reti in regime stazionario S - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di uazioni di Kirchhoff indipendenti S - on riferimento alla seguenti reti: a) scrivere il sistema completo delle uazioni di Kirchhoff e delle uazioni caratteristiche (utilizzare grafo, albero e co-albero) b) scrivere il suddetto sistema in forma matriciale, individuando le matrici di incidenza ridotta e di maglia fondamentale (a) (b) ete (a) 7 Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l albero indicato, un possibile sistema completo di uazioni di Kirchhoff è dato da: LK i i i i i i i i i S - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore v v v LKT v v v v v v ete (b) i Ω Ω Ω Ω Ω Ω Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l albero indicato, un possibile sistema completo di di Kirchhoff è dato da: isultato: i LK LKT i i i i i i i i i v v v v v v v v v v S - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali modificato calcolare la potenza ata dai due generatori e la potenza assorbita dai resistori (verificare la conservazione delle potenze) V Ω 80 Ω 0 Ω Ω Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione isultato: P kw, P 80 kw, P kw, P kw, P 98 kw, P 7 kw

8 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la corrente in nalisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati i Ω Ω Ω S - nalizzando i seguenti doppi-bipoli: i i v v v i i v isultato: i S - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la potenza ata da ciascun generatore della rete isultato: P µ W, P 0 µ W, P µ W m, mv Ω Ω Ω Ω schema a T (stella) schema a Π (triangolo) a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice con le posizioni seguenti (formule di sintesi):, ; m, m m b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni seguenti (formule di sintesi): G G G G G G, G G ; m, m m c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre l uivalenza tra gli schemi a T e a Π): T Π Π T S - on riferimento alla seguente rete: a caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo; Ω V Ω isultato: a) G S, G S ; b) P W G m

9 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S - on riferimento alla seguente rete: a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo; isultato: a) H 909 Ω, H 07 S, H H 00 ; b) P kw 0 S - on riferimento al seguente doppio-bipolo: a) caratterizzarlo attraverso la matrice ; b) sintetizzare un doppio-bipolo uivalente con uno schema a T; V Ω Ω Ω S - Per il circuito in esame, determinare il valore di che rende massima la potenza assorbita dallo stesso resistore v La condizione di massimo trasferimento di potenza su si può trovare immediatamente una volta rappresentata tutta la rete vista ai capi di attraverso il generatore i uivalente di Thévenin: Il calcolo di può essere effettuato facilmente applicando V 0 v Kirchhoff: v v Ω i v v v V Ω i v i v Ω S 7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema uivalente di un amplificatore di tensione alcolare: a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti -' e -'; b) il guadagno di tensione v vu / vs c) i valori dei parametri in ed out per cui il guadagno v è massimo isultato: a) Ω, Ω, m 8 Ω ; b) Ω, Ω, 8 Ω S - Valutare l'uivalente di Thévenin ai capi dei morsetti -' isultato: V 0, β β i βi (t) i in S isultato: a) G / in, G, G α / out, G / out ; in U b) v α ; in S out U v max α per in, out c) 0 out v S v in in αv in (t) U v U 7 8

10 Maffucci: ircuiti in regime stazionario ver-00 S 8 - alcolare i potenziali di nodo del circuito seguente v α v Ω α Ω isultato: V V, V V S 9 - alcolare la potenza dissipata in i β i V Ω β Ω isultato: P W S 0 - on riferimento al seguente circuito, valutare l uivalente di Norton ai capi di e la corrente i circolante in tale resistenza i β i i isultato: I cc ( β),, i I cc β 9