Appunti di Elettronica I Lezione 4 Stella e triangolo; generatori controllati; generatore equivalente; principio di sovrapposizione degli effetti

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1 ppunti di Elettronica I Lezione 4 Stella e triangolo; generatori controllati; generatore equivalente; principio di sovrapposizione degli effetti Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali@dti.unimi.it liberali 10 marzo 2008 Questi appunti sono un complemento didattico del materiale presentato nelle lezioni di Elettronica I, e riassunto in modo molto schematico nelle diapositive messe a disposizione. lcune parti di questi appunti, contraddistinte da un asterisco (*), costituiscono un approfondimento degli argomenti trattati a lezione e non fanno parte del programma d esame.

2 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 1 4 Stella e triangolo; generatori controllati; generatore equivalente; principio di sovrapposizione degli effetti 4.1 Collegamento a stella e triangolo di resistenze lcune configurazioni di resistenze non sono immediatamente riconducibili ai collegamenti in serie e in parallelo visti in precedenza. Fra queste configurazioni, le più importanti sono il collegamento a stella (o a Y) e il. collegamento a triangolo (o a ) illustrati nella Fig R ab R R R C R ac R bc C (a) C (b) Figura 4.1: Collegamenti a stella o a Y (a) e a triangolo o a (b). È possibile trasformare un collegamento a stella in uno equivalente a triangolo, e viceversa. Consideriamo il circuito in Fig. 4.2, in cui ad una stella di resistenze sono collegati il generatore di tensione V 1 tra i nodi e C, e il generatore di tensione V 2 tra i nodi e C. I 1 I I R R V 1 I C V 2 R C C Figura 4.2: Rete a stella con due generatori di tensione. Dalla KCL al nodo centrale e al nodo si ottengono le relazioni: I C = I I (4.1) e I 1 = I, (4.2) mentre dalla KVL alle due maglie a sinistra a sinistra e a destra si ha: V 1 R I R C I C = 0 (4.3) e V 2 R I R C I C = 0. (4.4)

3 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 2 Risolvendo il sistema di equazioni ottenuto, si ricava la corrente I 1 : I 1 = V 2 R C R R C V 1 (4.5) R R R R C R R C R R R R C R R C I ab R ab I 1 I ac V 1 R ac R bc V 2 C Figura 4.3: Rete a triangolo con due generatori di tensione. Per il collegamento a triangolo in Fig. 4.3, come per il collegamento a stella, applichiamo il generatore di tensione V 1 tra i nodi e C, il generatore di tensione V 2 tra i nodi e C, e ricaviamo la corrente I 1, ottenendo: I 1 = I ac I ab = V 1 R ac V 1 V 2 R ab = V 2 ( 1 1 V 1 1 ) R ab R ac R ab I collegamenti a stella e a triangolo sono equivalenti se la corrente I 1 è la stessa nei due casi, per qualsiasi valore di V 1 e V 2. Uguagliando la corrente I 1 nelle (4.5) e (4.6), otteniamo le relazioni: (4.6) e R C R R R R C R R C = 1 R ab (4.7) R R C = 1 1. (4.8) R R R R C R R C R ac R ab Risolvendo la (4.7) rispetto a R ab, si ricava le corrispondenza: che, sostituita nella (4.8), permette di ricavare anche R ac : R ab = R R R R C R R C R C, (4.9) R ac = R R R R C R R C R. (4.10) Collegando i generatori di tensione V 1 e V 2 in modo diverso (ad esempio, V 1 tra e e V 2 tra C e ), e ripetendo il procedimento appena visto, si calcola facilmente anche R bc : R bc = R R R R C R R C R. (4.11) Le tre relazioni (4.9), (4.10) e (4.11) permettono di calcolare in modo semplice il collegamento a triangolo equivalente ad un collegamento a stella assegnato. Per ricavare il collegamento a stella equivalente ad un triangolo, consideriamo il circuito in Fig. 4.4, in cui ad un triangolo di resistenze sono collegati il generatore di corrente I 1 tra i nodi e C, e il generatore di corrente I 2 tra i nodi e C.

4 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 3 I ab R ab I ac I bc I 1 V 1 R ac R bc V 2 I 2 C Figura 4.4: Rete a triangolo con due generatori di corrente. e Dalla KCL al nodi e si ottengono le relazioni: mentre dalla KVL alle due maglie a sinistra a sinistra e a destra si ha: e infine, applicando la KVL alla maglia esterna, si può scrivere: Risolvendo il sistema di equazioni, si ricava la tensione V 1 : V 1 = I 2 I 1 I ab I ac = 0 (4.12) I 2 I ab I bc = 0, (4.13) V 1 = R ac I ac (4.14) V 2 = R bc I bc ; (4.15) V 1 V 2 = R ab I ab. (4.16) R ac R bc R ab R ac R bc I 1 RabR ac R ac R bc R ab R ac R bc (4.17) I I I 1 R R I C R C V 1 V 2 I 2 C Figura 4.5: Rete a stella con due generatori di corrente. Per il collegamento a stella in Fig. 4.5, effettuiamo le stesse connessioni del collegamento a triangolo, e ricaviamo la tensione V 1 : V 1 = R C (I 1 I 2 ) R I 1 = I 2 R C I 1 (R R C ) (4.18)

5 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 4 e Uguagliando la tensione V 1 nelle (4.17) e (4.18), otteniamo le relazioni: R C = R ac R bc R ab R ac R bc (4.19) R ab R ac R =. (4.20) R ab R ac R bc La terza relazione, che si ottiene in modo analogo collegando in modo diverso i generatori di corrente, è: R = R ab R bc R ab R ac R bc. (4.21) Le tre relazioni (4.19), (4.20) e (4.21) permettono di calcolare in modo semplice il collegamento a stella equivalente ad un collegamento a triangolo assegnato. 4.2 Generatori dipendenti Un generatore (di tensione o di corrente) si dice dipendente (o controllato) quando il suo valore è funzione di un altra grandezza elettrica presente nel circuito. Consideriamo il caso più semplice, in cui la grandezza elettrica fornita dal generatore dipendente è proporzionale alla grandezza elettrica di controllo. Poiché ci sono due grandezze elettriche (tensione e corrente), possiamo avere quattro tipi di generatori dipendenti. Indichiamo con V o (I o ) la tensione (corrente) generata dal generatore dipendente, e con V i (I i ) la tensione (corrente) di controllo. I quattro tipi di generatori dipendenti sono: generatore di tensione controllato in tensione, detto anche VCVS ( voltagecontrolled voltage source ), illustrato nella Fig. 4.6(a): V o = EV i ; generatore di corrente controllato in corrente, detto anche CCCS ( currentcontrolled current source ), illustrato nella Fig. 4.6(b): I o = FI i ; generatore di corrente controllato in tensione, detto anche VCCS ( voltagecontrolled current source ), illustrato nella Fig. 4.6(c): I o = GV i ; generatore di tensione controllato in corrente, detto anche CCVS ( currentcontrolled voltage source ), illustrato nella Fig. 4.6(d): V o = HI i. V i V o = E V i I i I o = F I i V i I o = G V i I i V o = H I i (a) (b) (c) (d) Figura 4.6: I quattro tipi di generatori dipendenti. Si noti che quando la grandezza di controllo è una tensione (V i ), essa viene letta a circuito aperto; invece, quando la grandezza di controllo è una corrente (I i ), essa viene letta con un cortocircuito. Inoltre, si osservi che E e F sono numeri puri; G ha le dimensioni di una conduttanza e quindi si misura in siemens, mentre H ha le dimensioni di una resistenza e quindi si misura in ohm. L uso delle lettere E, F, G e H per designare questi generatori è conforme alla convenzione sui nomi degli elementi circuitali usata nel simulatore SPICE.

6 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE Strumenti di misura: voltmetro e amperometro (*) Per misurare una tensione si usa un voltmetro, che può essere considerato come un amplificatore controllato in tensione in cui l uscita, invece di essere una grandezza elettrica, è un display analogico oppure digitale (Fig. 4.7). Il voltmetro ideale legge la tensione a circuito aperto, e deve essere collegato in parallelo tra i due nodi in cui si vuole misurare la tensione. V V in V in V (a) (b) Figura 4.7: Voltmetro: (a) analogico; (b) digitale. Per misurare una corrente si usa un amperometro, che può essere considerato come un amplificatore controllato in corrente in cui l uscita, invece di essere una grandezza elettrica, è un display analogico oppure digitale (Fig. 4.8). L amperometro ideale legge la corrente attraverso un cortocircuito, e deve essere collegato in serie all elemento di cui si vuole misurare la corrente. I in I in (a) (b) Figura 4.8: mperometro: (a) analogico; (b) digitale. 4.4 Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton In tutti i casi in cui non occorre ricavare tutte le grandezze elettriche di un circuito, ma occorre soltanto calcolare le grandezze a due terminali (i terminali di uscita), è possibile semplificare i calcoli facendo uso di uno dei due teoremi del generatore equivalente. Dal punto di vista di due terminali di uscita e, il comportamento di una qualsiasi rete elettrica contenente generatori e resistenze è equivalente a quello di un generatore di tensione V eq in serie ad una resistenza R eq, come illustrato in Fig Questo circuito equivalente prende il nome di generatore equivalente di Thévenin 1, benché la prima formulazione del teorema del generatore equivalente sia dovuta a Helmholtz 2. 1 Léon Thévenin, Ingegnere francese, docente presso l Ecole Supérieure de Télégraphie, studiò le reti elettriche e nel 1883 formulò il teorema del generatore equivalente. 2 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, Fisico tedesco, formulò il principio di conservazione dell energia, introducendo il concetto di energia potenziale. Nel 1853 pubblicò il teorema del generatore equivalente in un libro sull elettricità negli organismi animali; tuttavia la sua opera rimase sconosciuta agli ingegneri delle telecomunicazioni, e il teorema prese il

7 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 6 V, I, R, E, F, G, H V eq R eq Figura 4.9: Generatore equivalente di Thévenin. In base al principio di dualità, possiamo anche dire che il circuito è equivalente ad un generatore di corrente I eq in parallelo ad una resistenza R eq, come illustrato in Fig. 4.10; questo è il generatore equivalente di Norton 3. V, I, R, E, F, G, H I eq R eq Figura 4.10: Generatore equivalente di Norton. La resistenza R eq ha lo stesso valore per entrambi i circuiti equivalenti; inoltre la tensione del generatore di Thévenin V eq e la corrente del generatore di Norton I eq sono legate dalla relazione: V eq = R eq I eq. (4.22) La tensione V eq è la tensione di circuito aperto presente tra e ; mentre la corrente I eq è la corrente di corto circuito che scorre da verso quando questi nodi vengono cortocircuitati. Il valore della resistenza equivalente R eq è dato dalla resistenza tra e calcolata spegnendo tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito. Se non ci sono generatori dipendenti, il calcolo della resistenza equivalente si effettua semplicemente spegnendo tutti i generatori (V = 0 per i generatori di tensione, I= 0 per i generatori di corrente) e calcolando la resistenza R con le formule per la connessione in serie e in parallelo di resistenze. Se nel circuito sono presenti anche generatori dipendenti, bisogna spegnere solo i generatori indipendenti lasciando al loro posto i generatori dipendenti, collegare tra e un generatore di corrente I x come illustrato nella Fig. 4.11, trovare la tensione V x, e calcolare la resistenza R eq : R eq = V x I x. (4.23) Si osservi che bisogna applicare la convenzione degli utilizzatori al circuito di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente, e non al generatore I x. nome da Thévenin, che lo riscoprì 30 anni dopo. 3 Edward L. Norton. Ingegnere statunitense, lavorò presso i ell Laboratories, occupandosi del progetto del primo apparecchio elettrico per la registrazione fonografica; nel 1926 formulò il duale del teorema di Thévenin nel corso della sua attività di progettista, in cui sfruttava l elaborazione dei segnali di corrente.

8 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 7 R, E, F, G, H V x I x Figura 4.11: Circuito per il calcolo della resistenza equivalente. 4.5 Massimo trasferimento di potenza Consideriamo il circuito illustrato in Fig. 4.12, costituito da un generatore di Thévenin a cui è collegato un carico resistivo R L. Vogliamo trovare il valore della resistenza di carico R L che assorbe la massima potenza dal generatore. R eq V eq I R L Figura 4.12: Generatore di Thévenin con resistenza di carico R L. Indicando con I la corrente nell unica maglia, possiamo scrivere l equazione: da cui otteniamo La potenza dissipata dal carico è: il cui valore massimo si ottiene calcolando il massimo della funzione: V eq = R eq I R L I (4.24) I= V eq R eq R L (4.25) R L P=R L I 2 = Veq 2 (R eq R L ) 2 (4.26) y= R L (R eq R L ) 2 (4.27) rispetto alla variabile R L. Poiché le resistenze non possono essere negative, osserviamo che y è sempre positiva, tranne che per R L = 0 e R L, per cui si ha y=0. Ricordando che nei massimi e minimi di una funzione la derivata prima si annulla, possiamo concludere che il valore cercato è la soluzione dell equazione: dy dr L = (R eq R L ) 2 2(R eq R L )R L (R eq R L ) 4 = 0 (4.28)

9 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 8 Moltiplicando per (R eq R L ) 4 e svolgendo i calcoli, si ottiene: eq R2 L = 0 (4.29) le cui soluzioni sono R L = R eq e R L = R eq. Scartando la soluzione negativa, che non è fisicamente realizzabile (e per cui si annullerebbe il denominatore della (4.28)), si ha l unica soluzione: R L = R eq (4.30) Possiamo quindi concludere che la potenza trasferita al carico è massima quando la resistenza di carico è uguale alla resistenza interna del generatore equivalente. Questo risultato è noto come teorema del massimo trasferimento di potenza. Quando la resistenza di carico è uguale alla resistenza interna del generatore, la tensione ai capi del carico è: V L = V eq (4.31) 2 e la potenza dissipata dal carico è: Si noti che una potenza uguale viene dissipata dalla resistenza interna R eq. 4.6 Principio di sovrapposizione degli effetti P= V2 eq 4R eq (4.32) In un circuito che contiene più generatori indipendenti di tensione e di corrente, come nel caso della Fig. 4.13, le grandezze elettriche dipendono da tutti i generatori. Se il circuito è lineare, per ogni grandezza elettrica che dipende linearmente dalle altre si può scrivere: f (V 1,V 2,...,V n, I 1,..., I m )= f (V 1,0,...,0) f (0,V 2,0,...,0)... f (0.,...,0, I m ). (4.33) Gli effetti dei generatori si sommano, e quindi si può calcolare separatamente l effetto prodotto da ogni generatore e poi calcolarne la somma. Questo è il principio di sovrapposizione degli effetti. V 1 V n I 1 R, E, F, G, H I m Figura 4.13: Esempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. In pratica, si procede nel modo seguente: 1. si spengono tutti i generatori indipendenti tranne uno; 2. si calcolano le tensioni e le correnti risultanti; 3. si ripetono i passi 1 e 2 per ciascuno dei generatori indipendenti;

10 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 9 4. si sommano i risultati parziali ottenuti. Si rammenti che il principio di sovrapposizione degli effetti si applica solo per circuiti lineari e solo per grandezze che dipendono linearmente. Inoltre, quando si applica questo principio, tutti i generatori dipendenti devono essere lasciati come sono, come per il calcolo della resistenza dei generatori equivalenti di Thévenin e di Norton. 4.7 Problemi risolti Problema 4.1. Gli elementi del circuito in figura 4.14 hanno i valori: = 8 kω, = 2 kω, = 1 kω, = 5 kω, I 0 == 5 m, = 9 V. Si determini il valore della resistenza di carico R L da inserire tra i nodi e, in modo da rendere massima la potenza erogata al carico, e si calcoli la potenza dissipata da R L. I 0 R L Figura 4.14: Problema 4.1 Soluzione. Possiamo risolvere questo problema facendo uso del circuito equivalente di Thévenin, di cui dobbiamo calcolare la tensione di circuito aperto V eq e la resistenza equivalente R eq tra i nodi e. Possiamo ricavare V eq usando il principio di sovrapposizione degli effetti. Calcoliamo anzitutto il contributo dovuto a I 0, ponendo = 0 (cortocircuito). La resistenza vista dal generatore I 0 è R = ( // )//( ), con // = 1.6 kω e = 6 kω; pertanto risulta R = 1.26 kω. La tensione ai capi del generatore I 0 è V I0 = R I 0 = 6.31 V; la tensione di circuito aperto tra e, calcolata con la formula del partitore di tensione, risulta essere: V = V eq = V I 0 = 5.26 V Calcoliamo poi il contributo dovuto a, ponendo I 0 = 0 (circuito aperto). Il circuito in questo caso può essere ridisegnato nel modo illustrato nella figura La resistenza tra i nodi C e è //( )=3.43 kω. Usando la formula del partitore di tensione si calcola la tensione tra C e : C = V //( ) 0 //( ) = 5.68 V V e quindi, applicando nuovamente la stessa formula al partitore costituito da e, si ottiene: V = V eq= V C = 4.74 V

11 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 10 C Figura 4.15: Circuito ottenuto spegnendo il generatore di corrente. Per calcolare il valore della resistenza equivalente R eq occorre spegnere entrambi i generatori. Risulta: Sommando i due contributi trovati, si ricava: V eq = V eq V eq= 10 V R eq = //( ( // ))=1.71 kω In base al teorema della massima potenza, possiamo affermare che la potenza trasmessa al carico è massima quando R L = R eq = 1.71 kω. La corrente I L nella resistenza di carico è: I L = V eq 10 V = = 2.92 m R eq R L kΩ e la potenza dissipata dal carico è P L = R L IL 2 = 14.5 mw. Problema 4.2. Gli elementi del circuito in figura 4.16 hanno i seguenti valori: = 7.5 V, I 0 = 1 m, = 1.2 kω, = 2.2 kω, = 3.3 kω, = 1.5 kω, = 1 kω, R 6 = 1.8 kω.. Ricavare il circuito equivalente di Norton ai terminali e.. Determinare il valore della resistenza di carico R L che, inserita tra i terminali e, assorbe la massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata. Soluzione. Ricaviamo la soluzione in forma simbolica. Il lettore è invitato a calcolare i valori numerici delle grandezze richieste.. La resistenza equivalente R eq si calcola spegnendo i generatori indipendenti (figura 4.17). Si ricava: R eq = ( )//( )//R 6 Per calcolare la tensione tra e, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Spegnendo I 0 (figura 4.18), si calcola il contributo dovuto a. La resistenza tra C e è: R C = (( )//( ))R 6

12 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 11 I 0 R 6 Figura 4.16: Problema 4.2 R 6 Figura 4.17: Circuito per il calcolo della resistenza equivalente (problema 4.2) e la tensione tra e è: V = R 6I 6 = R 6 (4.34) R C Spegnendo (figura 4.19), si calcola il contributo dovuto a I 0. La resistenza tra D e è: R D = //( (( )//R 6 )) e la tensione tra D e è: La tensione tra e risulta: V D = I 0 R D Sommando i risultati ottenuti, si ricava: (in cui il termine V ha segno negativo). V = V D ( )//R 6 (( )//R 6 ) V = V V

13 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 12 C R 6 Figura 4.18: Circuito ottenuto spegnendo I 0 (problema 4.2) D I 0 R 6 Figura 4.19: Circuito ottenuto spegnendo (problema 4.2) La corrente nel generatore equivalente di Norton è: I eq = V R eq. La potenza assorbita dal carico è massima per R L = R eq, e vale P L = R L I 2 L = R L ( Ieq 2 ) 2 = 1 4 R LI 2 eq Problema 4.3. Gli elementi del circuito in figura 4.20 hanno i seguenti valori: I 0 = 1 m, = 4.5 V, = 15 kω, = 27 kω, = 27 kω, = 27 kω, = 22 kω.. Ricavare il circuito equivalente di Norton ai terminali e.. Determinare il valore della resistenza di carico R L che, inserita tra i terminali e, assorbe la massima potenza, e calcolare il valore della potenza dissipata dal carico.

14 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 13 I 0 Figura 4.20: Problema 4.3 Soluzione. nche in questo caso, la soluzione presentata è solo in forma simbolica; sta al lettore sostituire i valori numerici.. Per ricavare il circuito equivalente di Norton, si può ricavare il circuito equivalente di Thévenin, da cui si ricava la corrente del generatore di Norton con la formula: I eq = V eq R eq Per determinare la resistenza equivalente, si spengono i due generatori (figura 4.21). Risulta: R eq = // e le altre resistenze non contribuiscono perché è in serie ad un circuito aperto mentre e sono in parallelo ad un corto circuito. Figura 4.21: Calcolo della resistenza equivalente per il problema 4.3 Per determinare la tensione equivalente di Thévenin si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si vede che il generatore di corrente I 0 non dà contributo in uscita, perché la corrente si chiude sul generatore che ha resistenza interna nulla. L unico contributo ai terminali e è dovuto a, e vale: V eq =. La resistenza di carico che assorbe la massima potenza ha il valore R L = R eq, e la sua potenza vale: P L = R L I 2 L Poiché la corrente nella resistenza di carico è I L = 1 2 I eq, la potenza nel carico risulta: P L = 1 4 R LI 2 eq

15 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 14 Problema 4.4. Gli elementi del circuito in figura 4.22 hanno i seguenti valori: I = 3 m, I C = 2 m, V = 4.5 V, = 12 kω, = 18 kω, = 33 kω, 27 kω, = 12 kω. Calcolare il valore della potenza per la batteria V, specificando se si tratta di potenza erogata o assorbita. I C I V Figura 4.22: Problema 4.4 Soluzione. Poiché non è richiesta la risoluzione di tutto il circuito, ma si vuole solo calcolare la potenza per la batteria V, può essere vantaggioso utilizzare il teorema del generatore equivalente, come illustrato nella figura 4.23: si toglie il la batteria V, si ricava il generatore equivalente di Thévenin tra i terminali a, si riposiziona la batteria V e si calcola la corrente. I C I V = V eq R eq V Figura 4.23: Uso del generatore equivalente di Thévenin per la risoluzione del problema 4.4 La resistenza equivalente R eq si ricava spegnendo i generatori di corrente (figura 4.24): R eq = ( // ) ( e sono in serie ad un circuito aperto). Per calcolare la tensione V eq, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, calcolando separatemente il contributo di ciascuno dei due generatori di corrente I e I C. Il contributo dovuto solamente a I (spegnendo I C, come in figura 4.25) è: V eq = I ( // )

16 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 15 Figura 4.24: Calcolo della resistenza equivalente I Figura 4.25: Calcolo del contributo dovuto al generatore I Il contributo dovuto a a I C (spegnendo I, come in figura 4.26) è nullo, in quanto la corrente I C si chiude sulla maglia costituita dalla resistenza (le due resistenze e sono in parallelo ad un cortocircuito). Quindi: V eq = I ( // ) Considerando ora il circuito ottenuto aggiungendo la batteria V al generatore di Thévenin, possiamo calcolare la corrente assorbita dalla batteria: e infine la potenza: I = V eq V R eq P = V I Se la potenza risulta negativa, allora è erogata; se invece è positiva, come accade con i valori numerici assegnati, allora la batteria sta assorbendo potenza, cioè si sta ricaricando. 4.8 ltri problemi Problema 4.5. Due generatori di tensione controllati in tensione E 1 e E 2 sono connessi in cascata: l uscita del primo è collegata all ingresso del secondo, come illustrato nella figura Calcolare la tensione di uscita V o.

17 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 16 I C Figura 4.26: Calcolo del contributo dovuto al generatore I C v i v 1 = E 1 V i v o = E 2 V 1 Figura 4.27: Problema 4.5. Problema 4.6. Nel circuito illustrato in Fig. 4.28, gli elementi circuitali hanno i valori. = 9 V, = 100Ω, = 3.9 kω, = 250Ω. Il guadagno dell amplificatore ideale di corrente è F= 10.. Calcolare la potenza erogata dal generatore in assenza di carico tra e.. Ricavare il circuito equivalente di Thévenin ai terminali e. C. Determinare il valore della resistenza di carico R L che, inserita tra i terminali e, assorbe la massima potenza. D. Calcolare la potenza erogata dal generatore in presenza del carico R L tra e. Problema 4.7. Gli elementi del circuito in figura 4.29 hanno i seguenti valori: I = 5 m, I = 2 m, = 50Ω, = 150Ω, = 600Ω, = 400Ω, = 1 kω.. Ricavare il circuito equivalente di Thévenin ai terminali e.. Determinare il valore della resistenza di carico R L che, inserita tra i terminali e, assorbe la massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata. Problema 4.8. Gli elementi del circuito in figura 4.30 hanno i seguenti valori: = 5 V, I 0 = 8 m, = 1 kω, = 500Ω, = 500Ω, = 500Ω.. Ricavare il circuito equivalente di Norton ai terminali e.

18 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 17 F I I i o = F I i V Figura 4.28: Problema 4.6. I I Figura 4.29: Problema Determinare il valore della resistenza di carico R L che, inserita tra i terminali e, assorbe la massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata. Problema 4.9. Gli elementi del circuito in figura 4.31 hanno i seguenti valori: = 3 V, I 0 = 2 m, = 8 kω, = 4 kω, = 4 kω, = 1 kω, = 3 kω.. Ricavare il circuito equivalente di Thévenin ai terminali e.. Determinare il valore della resistenza di carico che, inserita tra e, assorbe la massima potenza, e calcolare il valore della potenza assorbita. Problema Gli elementi del circuito in figura 4.32 hanno i seguenti valori: = 5 V, I 0 = 1 m, = 50Ω, = 50Ω, = 150Ωe = 300Ω.

19 4 STELL E TRINGOLO; GENERTORI CONTROLLTI; GENERTORE EQUIVLENTE 18 I 0 Figura 4.30: Problema 4.8. I0 Figura 4.31: Problema Si trovi il valore della resistenza di carico R L che deve essere collegata tra i terminali e perchéé la potenza assorbita sia massima.. Si calcoli il valore della potenza dissipata dalla resistenza di carico R L ottenuta al punto precedente. I 0 Figura 4.32: Problema * * *