LEZIONE 4 L AMPLIFICATORE OPERAZIONALE LA RETROAZIONE RETROAZIONE NEGATIVA R 2 R 1. I 2 V out _ + I 1. V in. + V out =EV d IDEALE

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1 LZION 4 LZION DI OGGI DOMANI Amplificatore operazionale Retroazione Stabilità Tabella 1: Caratteristiche dell amplificatore operazionale ideale Nome Simbolo Valore Guadagno di tensione = Vout Resistenza di uscita R out 0 Resistenza di ingresso R in Banda passante B Terra virtuale Amplificatore invertente e non invertente L AMPLIFICATOR OPRAZIONAL L amplificatore operazionale è un elemento circuitale largamente utilizzato nei circuiti elettronici che elaborano grandezze analogiche. Dapprima viene illustrato il concetto di amplificatore operazionale ideale; successivamente vengono descritti alcuni circuiti che ne fanno uso. L AMPLIFICATOR IDAL OPRAZIONAL L amplificatore operazionale è un generatore di tensione controllato in tensione, che presenta un guadagno di tensione infinito: = = (V V ) con L amplificatore operazionale amplifica la differenza di tensione tra i due segnali di ingresso V e V. Il terminale di ingresso con il segno è detto ingresso non invertente, mentre quello con il segno è detto ingresso invertente. La Tabella 1 riassume i parametri fondamentali dell amplificatore operazionale ideale. V - =V -V - V - = Figura 1: Amplificatore operazionale ideale I 1 _ I 2 Figura 2: Amplificatore operazionale con retroazione negativa LA RTROAZION Di solito l amplificatore operazionale è utilizzato in configurazione retroazionata: il segnale in uscita all amplificatore è riportato all ingresso mediante una rete di retroazione ( feedback ) costituita da elementi passivi (ad esempio, da resistori). Quando il segnale di uscita è riportato all ingresso invertente da una rete passiva abbiamo la retroazione negativa. Quando il segnale di uscita è riportato all ingresso non invertente da una rete passiva abbiamo la retroazione positiva. RTROAZION NGATIVA La Figura 2 illustra uno dei più semplici circuiti con retroazione negativa: il segnale di uscita è riportato all ingresso invertente attraverso un partitore resistivo costituito dalle resistenze e. Il circuito in Figura 2 può essere descritto con il sistema di equazioni: V = I 1 V = I 2 I 1 = I 2 = = V Osserviamo che l ultima equazione del sistema = = V è risolvibile solo se = V V = 0: in questo caso, il prodotto assume la forma indeterminata 0, che può avere un valore finito. 1

2 I 1 _ I 2 0 x Figura 4: Paragone meccanico: equilibrio stabile e instabile 0 x Figura 3: Amplificatore operazionale con retroazione positiva Se avessimo = V V = 0, allora V = 0, e dalla KCL I 1 = I 2, otterremmo facilmente la soluzione: = che ci dice che nel circuito con amplificatore operazionale retroazionato il guadagno dipende solo dal rapporto tra le due resistenze. RTROAZION POSITIVA La Figura 3 illustra il circuito che si ottiene scambiando i due terminali di ingresso () e ( ). Anche in questo caso, possiamo scrivere il sistema di equazioni: V = I 1 V = I 2 I 1 = I 2 = = V Procedendo come nel caso precedente, se = V V = 0, si ottiene: = come per il circuito con retroazione negativa! Ovviamente, non è possibile che i due ingressi () e ( ) siano intercambiabili: se così fosse, non avrebbe senso distinguerli con un segno. Almeno uno dei due risultati ottenuti deve essere sbagliato. Questo fa capire che occorre fare attenzione nell analizzare i circuiti con amplificatori operazionali retroazionati. In particolare, è importante saper distinguere in quali casi è nulla, e in quali casi non lo è. STABILITÀ DI CIRCUITI RTROA- ZIONATI I due circuiti illustrati nelle Figure 2 e 3 si comportano in modo diverso: il circuito con retroazione negativa ha guadagno /, come è stato calcolato; il circuito con retroazione positiva è instabile. La differenza di comportamento non si nota dalla soluzione matematica. Occorre un nuovo concetto: la stabilità, che può essere facilmente compresa facendo un semplice paragone meccanico. I circuiti retroazionati hanno un comportamento simile a quello di una pallina appoggiata su una superficie curva (Figura 4). Se la curvatura della superficie è opposta al verso della gravità, allora la posizione x = 0 è un punto di equilibrio stabile: in seguito ad un piccolo spostamento, la pallina ritornerà spontaneamente nel punto di equilibrio; questa situazione è analoga alla retroazione negativa. Invece, se la curvatura della superficie è concorde con il verso della gravità, allora la posizione x = 0 è un punto di equilibrio instabile: un piccolo spostamento provoca l allontanamento definitivo della pallina dalla posizione di equilibrio, con uno spostamento verso x oppure verso x, e il segno dipende dal piccolo spostamento iniziale; questa situazione è analoga alla retroazione positiva. STUDIO DLLA STABILITÀ CON I GRAFI (opzionale per il corso) È possibile riconoscere se un circuito è retroazionato oppure no, e ricavare immediatamente il segno della retroazione, utilizzando il metodo dei diagrammi di flusso dei segnali (detti anche grafi di Mason). Occorre: 1. individuare il numero minimo di variabili (dipendenti e indipendenti) del sistema; per questo esempio prendiamo: (ingresso), V, V,, e (uscita). Le correnti I 1 e I 2 si ricavano usando la legge di Ohm; 2. individuare le grandezze di ingresso, quelle di uscita e quelle intermedie; 3. scrivere un sistema di equazioni in cui tutte le grandezze di uscita e intermedie compaiono in forma esplicita in una (e una sola) equazione; 4. ogni variabile corrisponde ad un nodo del grafo avente lo stesso nome; 5. per ogni equazione, si disegna un ramo orientato che parte dal nodo che compare a destra del segno uguale e arriva nel nodo a sinistra del segno uguale, e si associa al ramo un peso pari al coefficiente moltiplicativo. Se a destra del segno uguale c è la somma di più addendi, si disegna un ramo per ogni addendo. 2 L AMPLIFICATOR OPRAZIONAL

3 V =0 1 V =0 1 Figura 5: Grafo di Mason per l amplificatore con retroazione negativa Figura 7: Guadagno dell anello di retroazione V =0 1 Figura 6: Guadagno di andata GRAFO DI MASON PR IL CIRCUITO CON RTROAZION NGATIVA (opzionale per il corso) Per il circuito in Figura 2, scriviamo il sistema di equazioni (in forma esplicita): = = V V V = V = 0 Dal sistema, ricaviamo il grafo in Figura 5. Il ramo corrispondente all ingresso () è in colore grigio perché V = 0 (e quindi questo ramo può essere omesso perché non contribuisce al segnale di uscita). Dal grafo di Mason, individuiamo anzitutto il guadagno di andata, evidenziando il percorso (o i percorsi) che vanno dall ingresso all uscita, come in Figura 6. I rami sono tutti orientati e possono essere percorsi solo in una direzione. Il guadagno di andata A è dato dal prodotto di tutti i coefficienti lungo il percorso di andata: A = Se ci sono più percorsi, si fa la somma dei guadagni per ogni percorso. Poi individuiamo l anello di retroazione, che è un percorso chiuso (Figura 7), e calcoliamo il guadagno dell anello di retroazione ( loop gain ) G L : G L = Il guadagno di anello negativo indica che la retroazione è negativa. V =0 1 Figura 8: Fattore di retroazione Infine, determiniamo il fattore di retroazione, prendendo la parte di anello non compresa nel guadagno di andata (Figura 8). Il fattore di retroazione B è: B = STABILITÀ DL CIRCUITO CON RTROAZIO- N NGATIVA A questo punto, usiamo i risultati del paragrafo precedente per analizzare la stabilità. Il circuito è stabile se in assenza di segnale di ingresso l uscita non tende spontaneamente a infinito. Quindi poniamo = 0 e verifichiamo se è possibile o no che (con segno oppure ). Cominciamo ipotizzando che. Il fattore di retroazione B che abbiamo calcolato è positivo e finito (0 < B 1); quindi se anche V. Procedendo lungo l anello, ricaviamo e infine, che contraddice l ipotesi di partenza. Abbiamo così dimostrato che non può tendere a. In modo analogo, ipotizzando che, si arriva ad una cotraddizione che dimostra non può tendere a. Quindi deve avere un valore finito, e l unica possibilità è sia il risultato di una forma indeterminata = 0; questo richiede che sia = 0. Abbiamo dimostrato che il calcolo effettuato nel paragrafo, ponendo = 0, era corretto. Un modo alternativo di procedere è questo: si considera l effetto di una piccola variazione (o disturbo ) v introdotta in uno dei nodi dell anello di retroazione, e si analizza l efetto lungo l anello. Stabilità dei circuiti retroazionati 3

4 V R V 2 in V - =0 1 Figura 9: Grafo di Mason per l amplificatore con retroazione positiva V R V 2 in V - =0 1 Figura 10: Guadagno dell anello di retroazione per l amplificatore con retroazione positiva Ad esempio: supponiamo che ci sia una variazione v positiva al nodo v (ingresso invertente). Allora v d = v che ha segno negativo; di conseguenza anche v out è negativa. Ma v dipende da v out, quindi la variazione positiva introdotta sul nodo v viene bilanciata da una variazione negativa attraverso l anello di retroazione. La soluzione trovata è stabile, perché il circuito tende spontaneamente a compensare ogni scostamento dal punto di lavoro. GRAFO DI MASON PR IL CIRCUITO CON RTROAZION POSITIVA (opzionale per il corso) La Figura 9 illustra il grafo corrispondente al circuito con retroazione positiva di Figura 3. Procedendo come nel caso precedente, troviamo il guadagno dell anello di retroazione dalla Figura 10: G L = Il guadagno di anello positivo dimostra che la retroazione è positiva. STABILITÀ DL CIRCUITO CON RTROAZIO- N POSITIVA Anche per questo circuito, verifichiamo se in assenza di segnale di ingresso l uscita può tendere spontaneamente all infinito. Se ipotizziamo, procedendo lungo l anello, ricaviamo V, e infine, che conferma l ipotesi. Abbiamo così dimostrato che può tendere a. In modo analogo, ipotizzando che, si dimostra può tendere a. Quindi l uscita può tendere spontaneamente ad un valore infinito, anche in assenza di segnale di ingresso. Il calcolo effettuato nel paragrafo era sbagliato, perché per questo circuito non è vero che = 0. Anche per questo circuito possiamo procedere in un altro modo, considerando l effetto di una piccola variazione (o disturbo ) v introdotta in uno dei nodi dell anello di retroazione. Una variazione v positiva al nodo v (ingresso non invertente) provoca v d = v (con segno positivo); quindi anche v out è positiva, e poichè v dipende da v out, allora alla variazione positiva introdotta sul nodo v si aggiunge una variazione positiva ancora maggiore, perché il guadagno dell anello di retroazione è positivo e maggiore di uno. La soluzione trovata è instabile: se il circuito si discosta anche di poco dal punto di lavoro ideale, il suo modo di funzionamento cambia. PRINCIPIO DI TRRA VIR TUAL Per un amplificatore operazionale ideale con retroazione negativa abbiamo dimostrato che deve essere = V V = 0 Questo è il principio della terra virtuale: i due terminali di ingresso dell amplificatore operazionale ideale sono alla stessa tensione, benché la corrente di ingresso sia nulla. Attenzione: bisogna ricordare che il principio di terra virtuale vale solo se l amplificatore è retroazionato negativamente! SMPI DI CIRCUITI CON RTROA- ZION NGATIVA Per tutti i circuiti con amplificatori operazionali, occorre dapprima verificare il segno della retroazione. In un circuito contenente un solo elemento attivo (amplificatore operazionale) e componenti passivi, il segno della retroazione è determinato dal segno del terminale a cui viene riportato il segnale di uscita. Per circuiti con in solo anello di retroazione e più amplificatori, bisogna determinare i segni di ciascuno stadio di amplificazione lungo l anello, e fare il prodotto dei segni. Per circuiti con più anelli di retroazione, in generale bisogna usare il metodo dei grafi di Mason; solo in pochi casi è possibile determinare il segno della retroazione in modo immediato. Una volta verificato che il circuito è retroazionato negativamente, si applica il principio di terra virtuale: V V = 0 4 L AMPLIFICATOR OPRAZIONAL

5 v OUT v OUT Figura 11: Amplificatore invertente Figura 12: circuito) v OUT Amplificatore non invertente (primo e si scrivono le KCL ai nodi () e ( ), ricordando che: I = I = 0 Quest ultima relazione vale sempre, anche quando il principio di terra virtuale non vale. AMPLIFICATOR INVR TNT La Figura 11 illustra un circuito con un solo amplificatore operazionale ideale, rete di retroazione passiva tra uscita e segnale applicato al ramo dell ingresso invertente. La retroazione è negativa, quindi possiamo applicare il principio di terra virtuale. Scriviamo anzitutto le relazioni: V = V = 0 e I = I = 0 Il circuito si risolve facilmente applicando la KCL all ingresso invertente ( ). Prendendo il verso delle correnti da sinistra verso destra, si ha: da cui di ricava: I 1 = I 2 = v OUT v OUT = AMPLIFICATOR NON INVR TNT - PRIMO SMPIO Per il circuito in Figura 12, la rete di retroazione è identica al caso dell amplificatore invertente; la retroazione è negativa e possiamo applicare il principio di terra virtuale. V = V = e I = I = 0 Figura 13: Amplificatore non invertente (secondo circuito) Procedendo come nel caso precedente, dalla KCL I 1 = I 2 si ricava: e il risultato finale è: v OUT = = v OUT ( 1 R ) 2 AMPLIFICATOR NON INVR TNT - S- CONDO SMPIO Anche per il circuito in Figura 13, la retroazione è negativa. Partiamo dalle relazioni: V = V e I = I = 0 Siccome in questo circuito nessuno dei due ingressi () e ( ) dell amplificatore è collegato alla tensione di ingresso o ad una tensione costante, bisogna calcolare la corrente nella maglia di ingresso: i IN = Per il principio di terra vitruale: V = V = Dalla KCL all ingresso ( ), si ricava: 1 = 1 ( ) vin v OUT e si ottiene il risultato: v OUT = sempi di circuiti con retroazione negativa 5

6 SRCIZI 1. Realizzare l amplificatore invertente e non invertente; 2. Misurare fase e ampiezza al variare delle frequenza; 3. Utilizzare le misure per costruire i diagrammi di Bode. 4. (opzionale) Ripetere l esercizio per diversi valori di resistenza. 6 L AMPLIFICATOR OPRAZIONAL