V - + V o. = E V d. V d = V + - V - (E ) V +

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1 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 40 4 L'amplificatore operazionale (ultimo aggiornamento: 9 Marzo 2001) L'amplificatore operazionale e un elemento circuitale largamente utilizzato nei circuiti elettronici che elaborano grandezze analogiche. Data la sua importanza e diffusione, esso viene trattato come un blocco fondamentale. 4.1 Caratteristiche dell'amplificatore operazionale ideale L'amplificatore operazionale ideale e un generatore di tensione controllato in tensione, che presenta un guadagno di tensione infinito. La Fig. 4.1 illustra il simbolo circuitale dell'amplificatore operazionale. Facendo riferimento ai simboli in figura, l'amplificatore operazionale e descritto dall'equazione: con E!1. V o = EV d = E(V V ) (4.1) V - V d = V - V - V - V o = E V d (E ) Figura 4.1: Amplificatore operazionale. Essendo un generatore di tensione controllato in tensione, l'amplificatore operazionale presenta resistenza di uscita nulla. Inoltre, esso non assorbe corrente agli ingressi, o, in altre parole, la resistenza di ingresso e infinita. Le caratteristiche dell'amplificatore operazionale ideale sono indipendenti dalla frequenza del segnale di ingresso: ci o equivale a dire che la banda passante e infinita. Questi parametri sono riassunti nella Tabella 4.1. Tabella 4.1: Parametri dell'amplificatore operazionale ideale Nome Simbolo Valore Guadagno di tensione a E = Vo V d 1 Resistenza di uscita R o 0 Resistenza di ingresso R i 1 Banda passante B 1 a Il guadagno di tensione viene indicato in molti testi con il simbolo A; qui si preferisce indicarlo con E per conformit a con la notazione usata dal simulatore SPICE.

2 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 41 L'amplificatore operazionale amplifica la differenza dei due segnali di ingresso V e V. Il terminale di ingresso contrassegnato con il segno " e detto ingresso non invertente", mentre quello contrassegnato con il segno " e detto ingresso invertente". Si veda anche [1, pagina 72]. 4.2 Amplificatore retroazionato L'amplificatore operazionale e solitamente utilizzato in configurazione retroazionata, cio e il segnale in uscita all'amplificatore e riportato all'ingresso mediante una rete di retroazione ( feedback"). Occorre distinguere due casi: il caso in cui il segnale in uscita viene riportato all'ingresso invertente, e quello in cui il segnale in uscita viene riportato all'ingresso non invertente. Nel primo caso si ha una retroazione negativa, mentre nel secondo caso si ha una retroazione positiva. Come si vedr a, i due tipi di retroazione hanno effetti diversi sulla stabilit a del circuito. 4.3 Amplificatore con retroazione negativa Il pi u semplice circuito con retroazione negativa e illustrato nella Fig v in _ Figura 4.2: Circuito con amplificatore operazionale retroazionato negativamente. Per risolvere questo circuito e sufficiente applicare le leggi di Ohm e di Kirchhoff, insieme con la (4.1). Si ottiene il sistema lineare: 8 >< >: v in V = i 1 V = i 2 (4.2) i 1 = i 2 = EV d = EV dove la terza equazione e la conseguenza del fatto che non entra corrente nell'amplificatore operazionale. Nel sistema (4.2), l'ultima equazione contiene il guadagno E dell'amplificatore; poiché, come si e gi a detto, E!1, ne risulta che la tensione di uscita ha un valore finito solo se V d = V V =0: in questo caso, il prodotto EV d assume la forma indeterminata 1 0, che pu o avere un valore finito. Per poter risolvere il sistema (4.2), quindi, assumiamo che V d = V V =0 (4.3) Questa equazione esprime matematicamente il principio della terra virtuale: i due terminali di ingresso dell'amplificatore operazionale sono alla stessa tensione, benché la corrente di ingresso sia nulla.

3 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 42 E importante notare che la (4.3) non rappresenta una caratteristica fondamentale dell'amplificatore operazionale, ma e una conseguenza dell'impiego dell'amplificatore in configurazione retroazionata. In assenza di retroazione, la (4.3) non e valida. Applicando il principio della terra virtuale al circuito della Fig. 4.2, si ottiene V =0e il sistema (4.2) si riduce a ρ v in = i (4.4) = i dove si e posto i 1 = i 2 = i. Eliminando la corrente i dalle due equazioni (4.4), si ottiene la soluzione: = v in (4.5) Come si pu o notare dalla (4.5), il circuito con retroazione negativa presenta un guadagno che dipende soltanto dal rapporto tra le due resistenze e. Ne consegue che, utilizzando un amplificatore operazionale e dei resistori, e possibile realizzare circuiti che presentano un guadagno qualsiasi (maggiore o minore di uno). 4.4 Amplificatore con retroazione positiva Modifichiamo ora il circuito della Fig. 4.2, scambiando fra loro i due ingressi dell'amplificatore operazionale. Otteniamo il circuito illustrato in Fig. 4.3, che, come si e detto, presenta una retroazione positiva. v in _ Figura 4.3: Circuito con amplificatore operazionale retroazionato positivamente. Procedendo in modo analogo al circuito precedente, e applicando il principio della terra virtuale, si ottiene V =0. La soluzione e datada: che e del tutto identica alla (4.5). = v in (4.6) 4.5 Stabilit a del circuito con amplificatore retroazionato Benché l'analisi dei due circuiti presentati nei paragrafi 4.3 e 4.4 abbia portato allo stesso risultato, i due circuiti in realt a si comportano in modo molto diverso. Questa differenza di comportamento, che non si nota dalla soluzione matematica e neppure dalla simulazione circuitale mediante SPICE, richiede di introdurre un nuovo concetto: quello della stabilit a. Facendo un paragone meccanico, le soluzioni trovate per i due circuiti sono analoghe al posizionamento di una pallina su una superficie curva (Fig. 4.4). Nel primo caso, la posizione della

4 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 43 pallina in x =0 e stabile, perché per effetto della gravit a la pallina tende a riportarsi in questa posizione in seguito ad ogni piccolo spostamento. Nel secondo caso, invece, la posizione della pallina in x = 0 e instabile, perché basta un minimo spostamento per provocare un allontanamento dalla posizione iniziale senza possibilit a che la pallina vi ritorni spontaneamente. 0 x 0 x Figura 4.4: Esempio meccanico del concetto di stabilit a. Per illustrare in modo semplice la stabilit a, rappresentiamo i due circuiti delle Fig. 4.2 e 4.3 mediante grafi, nei quali i nodi corrispondono alle grandezze elettriche e i rami indicano le relazioni tra queste grandezze. Quando in un nodo entrano due o pi u rami, significa che la variabile elettrica di quel nodo risulta dalla somma algebrica delle grandezze entranti, ciascuna moltiplicata per il coefficiente associato al rispettivo ramo. Il grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.2 e illustrato nella Fig Come si pu o facilmente notare, si ha v = v in (4.7) in quanto la corrente in ingresso all'amplificatore operazionale e nulla. Le altre relazioni discendono direttamente dalla (4.1). v - R v 2 in -1 E v = 0 1 v d Figura 4.5: Grafo corrispondente al circuito della Fig Il grafo della Fig. 4.5 evidenzia bene la presenza del percorso di retroazione: esso e l'anello comprendente i nodi (v, v d, ). Inoltre, il grafo permette di osservare facilmente che la retroazione e negativa, perché e negativo il segno del prodotto di tutti i coefficienti che si incontrano lungo l'anello di retroazione. Ovviamente, risolvendo il grafo per E!1, si ottiene ancora la soluzione = v in. Per analizzare il circuito dal punto di vista della stabilit a, consideriamo l'effetto di una piccola variazione v introdotta in uno dei nodi dell'anello di retroazione, e vediamo quali variazioni vengono prodotte sugli altri nodi. Ad esempio, supponendo di avere una variazione v positiva

5 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 44 al nodo v (ingresso invertente), si ha v d = v (con segno negativo) e quindi dovr a essere negativa anch'essa. Ma, poiché v dipende a sua volta da, il risultato finale e che la variazione positiva introdotta sul nodo v viene bilanciata da una variazione negativa attraverso l'anello di retroazione. Per questo motivo, si dice che la soluzione trovata e stabile, in quanto il circuito tende spontaneamente a compensare ogni scostamento dal punto di lavoro trovato. Consideriamo ora il grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.3, illustrato nella Fig v R v 2 in 1 E v - = 0-1 v d Figura 4.6: Grafo corrispondente al circuito della Fig Qui la retroazione e positiva, perché il prodotto di tutti fattori che si incontrano lungo l'anello di retroazione ha segno positivo. Consideriamo ora l'effetto di una piccola variazione v positiva introdotta al nodo v (ingresso non invertente). Si ha v d = v (con segno positivo); quindi dovr a essere positiva anch'essa, e, poiché v dipende a sua volta da, la variazione positiva introdotta sul nodo v produce una ulteriore variazione positiva attraverso l'anello di retroazione. Di conseguenza, la tensione ai nodi lungo il percorso di retroazione continua a crescere indefinitamente, fino al valore massimo raggiungibile (di solito, fino a che la tensione di uscita raggiunge il valore della tensione di alimentazione positiva dell'amplificatore operazionale). Considerando invece una piccola variazione v negativa, si trova che le tensioni continuano adiminuire fino a che l'uscita si porta al valore pi u negativoche il circuito pu o raggiungere. Quindi la soluzione ricavata e instabile, in quanto basta una minima variazione per far allontanare il circuito dal punto di lavoro trovato. Le considerazioni fatte in questo paragrafo spiegano la differenza di comportamento tra i due circuiti che si osserva in pratica. Nell'esempio illustrato nella Fig. 4.2, la retroazione negativa rende stabile il circuito: pertanto, anche se inizialmente (per esempio, al momento dell'accensione) la condizione di funzionamento e diversa da quella della soluzione trovata, per effetto della retroazione il circuito si porta in un tempo brevissimo a funzionare con v = v (terra virtuale) e = v in. Invece, nell'esempio della Fig. 4.3, la retroazione positiva rende instabile il circuito, il quale di conseguenza ha una probabilit a nulla di funzionare con v = v. Come si e detto, qualsiasi piccolo scostamento dalla condizione di equilibrio instabile viene amplificato dall'anello di retroazione; l'uscita raggiunge il valore massimo (positivo o negativo) che pu o raggiungere, e v 6= v. Per questo motivo, il principio della terra virtuale si applica solo quando l'amplificatore operazionale fa parte di un circuito in cui e presente una retroazione negativa.

6 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE Diagrammi di flusso Qualsiasi circuito lineare pu o essere analizzato mediante il metodo descritto nel paragrafo precedente. I grafi vengono comunemente chiamati diagrammi di flusso (in inglese signal flow graphs") [4] o grafi di Mason. 4.7 Esempi di circuiti con amplificatori operazionali Oltre all'amplificatore invertente (paragrafo 4.3), altri esempi di circuiti frequentemente usati sono: ffl l'amplificatore non invertente [1, pagina 75]; ffl l'inseguitore di tensione ( voltage follower") [1, pagina 75]; ffl il sommatore [1, pagina 77]; ffl l'amplificatore della differenza [1, pagina 78]. Gli ultimi due circuiti possono essere facilmente analizzati applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. 4.8 Circuito integratore Vedere [1, pagine ]. Per il circuito illustrato sul libro di testo, la soluzione nella sua forma pi u generale e: v o (t) = 1 RC Z t dove RC = fi e la costante di tempo dell'integratore. v(t) (4.8) Circuito derivatore Vedere [1, pagine ]. Per il circuito illustrato sul libro, la soluzione nella forma generale e: v o (t) = RC dv(t) (4.9) dove RC = fi e la costante di tempo del derivatore. Esercizio 4.1. Il circuito illustrato in figura e realizzato con un amplificatore operazionale ideale, mentre icomponenti passivi hanno i valori: = 220 kω, =330kΩ, C 1 =1nF, C 2 = 200 pf. La tensione all'ingresso varia nel tempo secondo la legge: v IN (t) =V A (1 sin 2ßf 0 t), con V A =1Ve f 0 = 1 MHz. Si ricavi la tensione di uscita v OUT (t). Soluzione. Anzitutto, osserviamo che l'amplificatore operazionale e impiegato in configurazione con retroazione negativa, per cui si applica il principio della terra virtuale. Indicando con i R1, i C1, i R2 e i C2 le correnti nei quattro componenti passivi, econ i 1 e i 2 le correnti nei due paralleli RC, tutte con verso da sinistra verso destra, possiamo scrivere: i 1 = i R1 i C1 = v IN C 1 dv IN

7 4 L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE 46 C 2 C 1 v IN (t) _ v OUT (t) e i 2 = i R2 i C2 = v OUT C 2 dv OUT Poiché l'amplificatore operazionale ha una resistenza d'ingresso infinita, applicando la KCL all'ingresso invertente si ottiene i 2 = i 1,cio e: v OUT C 2 dv OUT = v IN C 1 dv IN Questa e un'equazione differenziale del primo ordine non omogenea, in cui v OUT (t) e l'incognita, mentre v IN (t) e nota e la sua derivata dvin(t) pu o essere calcolata facilmente. La soluzione di questa equazione differenziale rappresenta l'uscita del circuito nel dominio del tempo. Nel capitolo successivo sivedr a come e possibile ricavare la soluzione di questo esercizio senza dover risolvere l'equazione differenziale Problemi Problema 4.1. Risolvere l'equazione differenziale ottenuta nell'esercizio 4.1 a pag. 45.