Elettrotecnica Problema di analisi n 1 Risoluzione di circuiti complessi

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Adelina Bassi
4 anni fa
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1 Determinare le correnti in intensità e verso in tutti i rami del circuito di figura. R 2 E 2 R 4 I 0 = 22 kω R 2 = 56 kω = 56 kω R 4 = 33 kω E 1 = 12 V E 2 = 5 V I 0 = 1 m E 1 1) Principi di KIRKHOFF. Si rende necessario scrivere un numero di equazioni pari al numero di incognite. Per fare ciò si identificano i nodi e le correnti così come riportato in figura. I versi delle correnti sono scelti arbitrariamente. I 3 2 I 2 R 2 E 2 I 1 1 R 4 I 0 E 1 I 4 Si scrivono tante equazioni quanti sono il numero di nodi meno uno e il numero di equazioni mancanti considerando le maglie del circuito. D Eq. Nodo : I 1 = I 2 + I 3 Eq. Nodo D: I 4 = I 1 + I 0 Eq. Maglia 1: R 2 I 2 E 2 + R 4 I 4 E 1 + I 1 = 0 Eq. Maglia 2: R 2 I 2 E 2 I 3 = 0 Pag. 1 a 8

2 Riordinando le equazioni e portando a secondo membro i termini noti si ottiene il seguente sistema di quattro equazioni in quattro incognite: I 1 + R 2 I 2 + R 4 I 4 = E 1 + E 2 + R 2 I 2 I 3 = E 2 I 1 I 2 I 3 = 0 I 1 I 4 = I 0 Ricavando la I 4 dalla quarta equazione è possibile ridurre il sistema al seguente di 3 equazioni in 3 incognite: I 4 = I 0 + I 1 ( + R 4 )I 1 + R 2 I 2 = E 1 + E 2 R 4 I 0 + R 2 I 2 I 3 = E 2 I 1 I 2 I 3 = 0 Procedendo alla risoluzione, ad esempio con il metodo di ramer, si calcola dapprima il determinante dei coefficienti delle incognite: ( + R 4 ) R 2 0 Δ = 0 R 2 = R 2 ( + R 4 ) R 2 [ ( + R 4 )] = e successivamente i valori delle correnti richieste: = ( + R 4 )(R 2 + ) R 2 I 1 = 1 (E 1 + E 2 R 4 I 0 ) R 2 0 Δ E 2 R 2 = 1 Δ [E 2R 2 (E 1 + E 2 R 4 I 0 )(R 2 + )] I 2 = 1 ( + R 4 ) (E 1 + E 2 R 4 I 0 ) 0 Δ 0 E 2 = 1 Δ [ E 2( + R 4 ) (E 1 + E 2 R 4 I 0 )] I 3 = I 1 I 2 I 4 = I 1 + I 0 Numericamente si ottengono, con i valori di resistenze commerciali assegnati, i seguenti valori: I 1 = μ I 2 = μ I 3 = μ I 4 = m I valori negativi delle correnti I 1, I 2 e I 3 ottenuti indicano che le stesse correnti circolano in verso opposto a quanto ipotizzato all inizio dell analisi circuitale! Pag. 2 a 8

3 2) orrenti di maglia. Si ipotizzano delle correnti di maglia fittizie I a, I b e I c come in figura e si scrivono le equazioni alle tre maglie. I b R 2 E 2 R 4 I 0 E 1 I a I c D Eq. Maglia I a : R 2 (I a + I b ) E 2 + R 4 (I a + I c ) E 1 + I a = 0 Eq. Maglia I b : R 2 (I a + I b ) E 2 + I b = 0 Eq. Maglia I c : R 4 (I a + I c ) + V I0 = 0 Inoltre: I c = I 0 Dunque si ottiene il sistema di tre equazioni in tre incognite seguente: ( + R 2 + R 4 )I a + R 2 I b = E 1 + E 2 R 4 I 0 R 2 I a (R 2 + )I b = E 2 R 4 I a + V I0 = R 4 I 0 onsiderando solo le prime due equazioni, in cui non compare l incognita V I0, il sistema da risolvere diviene di 2 equazioni in 2 incognite (I a e I b ) per cui, procedendo con il metodo di ramer, si ottiene: Δ = ( + R 2 + R 4 ) R 2 R 2 (R 2 + ) = ( + R 2 + R 4 )(R 2 + ) R 2 2 = e dunque: = ( + R 2 + R 4 ) + R 2 ( + R 4 ) e: I a = 1 Δ (E 1 + E 2 R 4 I 0 ) R 2 E 2 (R 2 + ) = 1 Δ [(E 1 R 4 I 0 )(R 2 + ) + E 2 ] Pag. 3 a 8

4 I b = 1 Δ ( + R 2 + R 4 ) (E 1 + E 2 R 4 I 0 ) R 2 E 2 = 1 Δ [E 2( + R 4 ) + R 2 (R 4 I 0 E 1 )] Quindi dal nodo si ottiene: e dal nodo D: I 2 = I a + I b I 4 = I a + I 0 Numericamente si ottengono, con i valori di resistenze commerciali assegnati, i seguenti valori e versi delle correnti: quindi: per cui si ottengono anche: I a = m I b = 156 μ I 2 = μ (verso reale ) I 4 = m (verso reale D) come nell analisi al punto precedente. I 1 = I a = m (verso reale D) I 3 = I b = 156 μ (verso reale ) 3) Sovrapposizione degli effetti E necessario far agire un generatore alla volta avendo cura di disattivare tutti gli altri presenti nella rete, aprendo i generatori di corrente non coinvolti nell analisi e cortocircuitando quelli di tensione analogamente non coinvolti. Si consideri che non sempre è conveniente ricavare da ogni analisi parziale tutte le grandezze richieste dal problema, in quanto potrebbe essere maggiormente utile individuare un target diverso che, a conti fatti, consenta di trovare i dati richiesti più facilmente. Si individua il target nella tensione V. a) gisce E 1 (viene cortocircuitato E 2 e aperto I 0 ) per cui il circuito da analizzare diventa il seguente: R 4 E 1 R 2 In cui e R 4 sono in serie e R 2 e sono in parallelo, per cui applicando la regola del partitore di tensione si ottiene: Pag. 4 a 8

5 R 4 E 2 R 2 // V ac = E 1 + R 2 // + R 4 b) gisce E 2 (viene cortocircuitato E 1 e aperto I 0 ) per cui il circuito da analizzare diventa il seguente: R 2 R 2 E 2 R 4 in cui si ha: V // ( + R 4 ) ac = E 2 R 2 + // ( + R 4 ) c) gisce I 0 (vengono cortocircuitati E 1 ed E 2 ) per cui il circuito da analizzare diventa il seguente: R 2 R 2 I 0 R 4 R 4 I 0 e quindi: in cui la corrente che circola nel parallelo di R 2 e da verso risulta: I ca = I 0 R 4 + R 2 // + R 4 Pag. 5 a 8

6 V ac = (R 2 // ) I per cui si ottiene: V ac = V ac + V ac + V ac. Separatamente conviene calcolare: che forniscono: e complessivamente: R 2 // = 28 kω e // ( + R 4 ) = kω V ac = 4.05 V V ac = V V ac = V V ac = V. questo punto si determina immediatamente l intensità e il verso della corrente in : I 3 = V ac = μ. Il segno meno indica che la corrente in va dal punto verso il punto. Inoltre l applicazione della Legge Generalizzata di Ohm al ramo compreso fra e contenente R 2 e E 2 fornisce, ipotizzando una corrente I 2 dal punto verso il punto : Perciò risolvendo rispetto a I 2 si ottiene: V ac = R 2 I 2 E 2 numericamente: I 2 = V ac + E 2 R 2 I 2 = μ che indica il fatto che la corrente I 2 ha un verso reale da verso. questo punto il bilancio di correnti al nodo fornisce, ipotizzando una corrente in R 4 dal punto verso il punto D: e quindi: I 2 + I 3 + I 4 = I 0 I 4 = I 0 I 2 I 3 = 778 μ Il segno positivo indica che effettivamente la corrente in R 4 scorre nel verso ipotizzato. Inoltre il bilancio di corrente al nodo D, ipotizzando una corrente nel ramo contenente e E 1 dal nodo D verso il nodo, fornisce: I 4 = I 0 + I 1 Pag. 6 a 8

7 V th R 4 I 0 per cui: I 1 = I 4 I 0 = μ. ncora una volta il segno negativo indica che il verso reale della corrente in è quello da verso D. nche nel caso di analisi del circuito con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti i risultati ottenuti sono uguali a quelli ottenuti con i Principi di Kirkhoff e il metodo delle correnti di maglia. 4) Teorema di Thevenin pplicando il teorema di Thevenin è necessario individuare i punti favorevoli all analisi. tal proposito si scelgono i punti e D. Innanzitutto si considera il circuito fra i punti e D a vuoto per cui il circuito da analizzare diventa il seguente in cui occorre determinare la tensione V cd = V th. R 2 E 2 E 1 Dato che nel ramo contenente E 1 non circola corrente, essendo aperto, si ottiene: D e V th = V ca + V ad = E 2 R E 1 = 14.5 V R th = + R 2 // = 50 kω Quindi il circuito per determinare V cd diventa: R th D Quindi, per determinare V cd, basta applicare il principio di sovrapposizione degli effetti che fornisce in ultimo: Pag. 7 a 8

8 che fornisce: V cd = V th R 4 R 4 + R th + I 0 (R 4 // R th ) V cd = = V. questo punto si può determinare immediatamente la corrente in R 4 essendo data dal rapporto (Legge di Ohm): I 4 = V cd R 4 e analogamente al caso precedente, con il bilancio delle correnti ai nodi e la legge generalizzata di Ohm, si determinano tutte le altre correnti della rete ottenendo ancora una volta gli stessi risultati, in termini di intensità e verso, determinati negli altri punti di analisi. 5) nalisi con EWB o NI Multisim La simulazione con EWB, a conferma dei risultati teorici ottenuti, fornisce i seguenti valori (il valore numerico fornito dallo strumento, se negativo, va interpretato alla luce dell inserzione dello stesso): Per I 1 e I 2 : Per I 3 e I 4 : c.v.d. Pag. 8 a 8

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