Elettrotecnica B - SUISS

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1 Elettrotecnica B - SUISS Esercitazione 1 Serena Panati Politecnico di Torino - INFN Torino 18 Gennaio / 45

2 Info & contatti Mi chiamo Serena Panati e sono dottoranda al Politecnico di Torino (Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni). Sono laureata in Fisica delle Tecnologie Avanzate e mi sono occupata di elettronica sia durante la tesi triennale che magistrale. Come la professoressa Stefania Beolè, sono membro dell esperimento ALICE del CERN e mi occupo di progettazione di elettronica digitale ASICs (Application Specific Integrated Circuits) di parti relative alla trasmissione dei dati elettronici derivanti dai rivelatori di particelle di LHC: in pratica si tratta della lettura e della trattazione dei medesimi, al fine di poter ottenere informazioni relative alla Fisica studiata. 2 / 45

3 Info & contatti Ho uno spazio web dove potrete trovare informazioni e contatti (ancora work in progress...) panati La mia mail è panati@to.infn.it cerco di rispondere nel minor tempo possibile. Qui trovate anche l indirizzo dell ufficio ed i recapiti telefonici: panati/contact.html e qui caricherò queste slides delle lezioni: panati/didattica.html Queste slides sono basate su quelle dello scorso anno della prof.ssa Alessandra Lattuca (esercitatore per questo corso) con integrazioni personali. 3 / 45

4 Lista dei contenuti Richiami dalla teoria Differenza di potenziale elettrico Corrente elettrica Legge di Ohm Potenza elettrica Circuiti e componenti Ramo, nodo, maglia Leggi di Kirchoff Circuiti equivalenti di resistori Resistori in serie Resistori in parallelo Applicazioni dei resistori Limitatore di corrente Partitore di tensione Partitore di corrente Voltmetro/amperometro analogico multi-range Tecniche di risoluzione di circuiti Metodo con le leggi di Kirchoff Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) Metodo col teorema di Thevenin Effetti degli strumenti di misura sul circuito Resistenza interna di un voltmetro Resistenza interna di un amperometro 4 / 45

5 Richiami dalla teoria 5 / 45

6 Differenza di potenziale elettrico Si definisce differenza di potenziale (d.d.p.) tra due punti A e B in un circuito il lavoro per unità di carica necessario per spostare una carica totale Q da A a B. La sua unità di misura è il volt: 1V = 1J/1C 6 / 45

7 Corrente elettrica La corrente misura il flusso di carica che passa in un punto del circuito in un istante di tempo. La sua unità di misura è l ampere: 1A = 1C/1s NOTA BENE: il verso convenzionale della corrente è opposto a quello delle cariche negative. 7 / 45

8 Legge di Ohm Differenza di potenziale e corrente elettrica sono legate da una costante di proporzionalità che prende il nome di resistenza elettrica. La relazione è chiamata Legge di Ohm V = RI R è espressa in ohm (Ω). 8 / 45

9 Potenza elettrica L energia spesa per unità di tempo per spostare una carica tra due punti a potenziale diverso è definita potenza. P = VI L unità di misura della potenza è il watt: 1W = 1V 1A = 1J 1C 1C 1s = 1J 1s È possibile ricavare altre due utili espressioni per la potenza ricordando la Legge di Ohm: V = IR Combinandola con l espressione precedente possiamo infatti ottenere: P = V 2 R = I2 R 9 / 45

10 Circuiti e componenti Un circuito elettrico è costituito da un insieme di elementi collegati tra loro per trasferire ENERGIA ELETTRICA. Gli elementi che costituiscono un circuito si dividono in: ATTIVI: generatori di tensione o corrente (forniscono energia al circuito). PASSIVI: resistori, i condensatori, induttori (dissipano o immagazzinano energia nel circuito). Qualsiasi elemento che abbia due terminali di connessione è detto dipolo. Il circuito più semplice che possiamo costruire è formato da un generatore di tensione connesso ad un solo dispositivo 10 / 45

11 Ramo, nodo, maglia NODO un punto in cui confluiscono almeno tre fili di connessione. RAMO di un circuito un tratto compreso tra due nodi e senza diramazioni. MAGLIA un cammino chiuso costituito da più rami che inizia e finisce nello stesso nodo. Quanto detto implica che un ramo può appartenere a più maglie differenti. In generale, se un circuito è costituito da un numero B di rami e un numero N di nodi, il numero M ind di maglie indipendenti è: M ind = B (N 1) = B N / 45

12 Ramo, nodo, maglia - Esempio 1 N = 2 (nodi) B = 3 (rami) M ind = B - N + 1 = = 2 (maglie indipendenti) 12 / 45

15 Ramo, nodo, maglia - Esempio 2 N = 4 (nodi) B = 6 (rami) M ind = L - N + 1 = = 3 (maglie indipendenti) 13 / 45

18 Leggi di Kirchoff - KCL Esprime la conservazione della carica; ci indica che la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo medesimo. Detta in modo equipollente, la somma totale delle correnti entranti ed uscenti da un nodo è sempre nulla. Convenzionalmente si indicano le correnti entranti nel nodo positive e le correnti uscenti dal nodo negative. nodo k I k = 0 14 / 45

19 Leggi di Kirchoff - KVL Esprime la conservazione dell energia; ci indica che la somma (con segno) delle differenze di potenziale lungo una maglia è nulla. maglia k V k = 0 Convenzione normale Per convenzione la caduta di potenziale: su un generatore è positiva quando ci muoviamo nella direzione della corrente; su un utilizzatore è negativa quando ci muoviamo nella direzione della corrente. 15 / 45

20 Circuiti equivalenti di resistori 16 / 45

21 Resistori in serie Due o più dispositivi si dicono connessi in serie quando sono attraversati dalla stessa corrente. Essi giacciono sullo stesso ramo e non ci sono nodi nel mezzo. La resistenza equivalente di una serie di resistori si calcola semplicemente sommando i valori di resistenza dei dispositivi. R eq = i R i 17 / 45

22 Resistori in parallelo Due o più dispositivi si dicono connessi in parallelo quando hanno lo stesso nodo di partenza e lo stesso nodo di arrivo. Questo significa che la differenza di potenziale ai loro capi è la stessa. La resistenza equivalente di un parallelo di resistori si calcola sommando i reciproci dei valori di resistenza dei dispositivi. 1 R eq = i ( 1 R eq = R i i 1 R i ) 1 18 / 45

23 Esempio Dati: V 0 =? R 1 =? R 2 =? R 3 =? R 4 =? 1. Quanta corrente scorre in R 4? 2. Quanta potenza viene dissipata sulla medesima? 19 / 45

24 Esempio Dati: V 0 =? R 1 =? R 2 =? R 3 =? R 4 =? 1. Quanta corrente scorre in R 4? 2. Quanta potenza viene dissipata sulla medesima? 19 / 45

25 Esempio I resistori R 2 ed R 3 formano una serie: sommo direttamente i loro valori ottenendo R eq1. 20 / 45

26 Esempio I resistori R 2 ed R 3 formano una serie: sommo direttamente i loro valori ottenendo R eq1. R eq1 e R 4 formano un parallelo: sommo i reciproci e ottengo R 1 eq2 ; ne faccio il reciproco per ottenere R eq2. 20 / 45

27 Esempio I resistori R 2 ed R 3 formano una serie: sommo direttamente i loro valori ottenendo R eq1. R eq1 e R 4 formano un parallelo: sommo i reciproci e ottengo R 1 eq2 ; ne faccio il reciproco per ottenere R eq2. Ora noto che R eq2 è in serie con R 1 : ne sommo i valori e ottengo la resistenza equivalente del circuito: ho ridotto il circuito a due soli elementi: il generatore di tensione e un resistore (che tiene conto dei valori di tutti e quattro i resistori). 20 / 45

28 Esempio I resistori R 2 ed R 3 formano una serie: sommo direttamente i loro valori ottenendo R eq1. R eq1 e R 4 formano un parallelo: sommo i reciproci e ottengo R 1 eq2 ; ne faccio il reciproco per ottenere R eq2. Ora noto che R eq2 è in serie con R 1 : ne sommo i valori e ottengo la resistenza equivalente del circuito: ho ridotto il circuito a due soli elementi: il generatore di tensione e un resistore (che tiene conto dei valori di tutti e quattro i resistori). Calcolo la corrente che convenzionalmente indicherò uscente dal morsetto col segno positivo. Essa sarà pari (per la Legge di Ohm) a: I = V 0 R eq 20 / 45

29 Esempio Uso KVL e trovo il valore di V R4. V 0 IR 1 V R4 = 0 21 / 45

30 Esempio Uso KVL V 0 IR 1 V R4 = 0 e trovo il valore di V R4. Uso la legge di Ohm: I = V R I R 4 = V R4 /R 4 e trovo la soluzione alla domanda numero / 45

31 Esempio Uso KVL V 0 IR 1 V R4 = 0 e trovo il valore di V R4. Uso la legge di Ohm: I = V R I R 4 = V R4 /R 4 e trovo la soluzione alla domanda numero 1. Per rispondere alla domanda numero 2, la potenza dissipata dal resistore R 4 è data da P = I 2 R 4 R 4 21 / 45

32 Applicazioni dei resistori 22 / 45

33 Limitatore di corrente I dispositivi elettronici funzionano con ben definiti valori di tensione, corrente e potenza. Ad esempio, i LED (Light Emitting Diode) solitamente funzionano con tensioni dell ordine di 1.7 V e correnti dell ordine di 20 ma. Supponiamo di avere una batteria da 9 V e di voler accendere il LED. Posso farlo? Sì, tramite l utilizzo di un resistore. 23 / 45

34 Limitatore di corrente 24 / 45

35 Limitatore di corrente Consideriamo il circuito a sinistra: Utilizzando KVL abbiamo: V 0 IR V LED = 0 In precedenza abbiamo stabilito che V 0 = 9V, V LED = 1.7V e per lavorare noi necessitiamo che la corrente sia pari a I = 9mA. 24 / 45

36 Limitatore di corrente Consideriamo il circuito a sinistra: Utilizzando KVL abbiamo: V 0 IR V LED = 0 In precedenza abbiamo stabilito che V 0 = 9V, V LED = 1.7V e per lavorare noi necessitiamo che la corrente sia pari a I = 9mA. Risolviamo dunque l equazione KVL per il valore della resistenza, l unica incognita: R = V 0 V LED I E otteniamo in questo modo il valore di resistenza che dobbiamo usare come limitatore di corrente per non bruciare il LED. 24 / 45

37 Partitore di tensione 25 / 45

38 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. 25 / 45

39 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. Utilizzando la KVL otteniamo: V in = I(R 1 + R 2 ) 25 / 45

40 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. Utilizzando la KVL otteniamo: V in = I(R 1 + R 2 ) Risolvendo per I ottengo: I = V in R 1 + R 2 25 / 45

41 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. Utilizzando la KVL otteniamo: V in = I(R 1 + R 2 ) Risolvendo per I ottengo: I = V in R 1 + R 2 Mentre per la Legge di Ohm abbiamo: V out = IR 2 25 / 45

42 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. Utilizzando la KVL otteniamo: V in = I(R 1 + R 2 ) Risolvendo per I ottengo: I = V in R 1 + R 2 Mentre per la Legge di Ohm abbiamo: V out = IR 2 Sostituisco il valore di I all interno: ( ) ( ) Vin R2 V out = IR 2 = R 2 = V in R 1 + R 2 R 1 + R 2 25 / 45

43 Partitore di tensione Un altro uso comune dei resistori è il cosiddetto partitore di tensione che permette, dato un certo valore di tensione in ingresso, ottenerne uno inferiore in uscita. Utilizzando la KVL otteniamo: V in = I(R 1 + R 2 ) Risolvendo per I ottengo: I = V in R 1 + R 2 Mentre per la Legge di Ohm abbiamo: V out = IR 2 Sostituisco il valore di I all interno: ( ) ( ) Vin R2 V out = IR 2 = R 2 = V in R 1 + R 2 R 1 + R 2 Da cui si nota immediatamente che V out < V in in quanto R 2 (R 1 +R 2 ) < / 45

44 Partitore di corrente 26 / 45

45 Partitore di corrente Il partitore di corrente è realizzabile ponendo resistori in parallelo. In questo esempio usiamo due resistori al fine di suddividere la corrente in due. 26 / 45

46 Partitore di corrente Il partitore di corrente è realizzabile ponendo resistori in parallelo. In questo esempio usiamo due resistori al fine di suddividere la corrente in due. Usiamo la KCL: I = I 1 + I 2 26 / 45

47 Partitore di corrente Il partitore di corrente è realizzabile ponendo resistori in parallelo. In questo esempio usiamo due resistori al fine di suddividere la corrente in due. Usiamo la KCL: I = I 1 + I 2 Siccome i resistori sono in parallelo, ai loro capi ci sarà la medesima differenza di potenziale, per cui: V 1 = V 2 I 1 R 1 = I 2 R 2 26 / 45

48 Partitore di corrente Il partitore di corrente è realizzabile ponendo resistori in parallelo. In questo esempio usiamo due resistori al fine di suddividere la corrente in due. Usiamo la KCL: I = I 1 + I 2 Siccome i resistori sono in parallelo, ai loro capi ci sarà la medesima differenza di potenziale, per cui: V 1 = V 2 I 1 R 1 = I 2 R 2 Risolvo quest ultima equazione per I 2 : I 2 = I 1 R 1 R 2 e la inserisco nella KVL: 26 / 45

49 Partitore di corrente Il partitore di corrente è realizzabile ponendo resistori in parallelo. In questo esempio usiamo due resistori al fine di suddividere la corrente in due. Usiamo la KCL: I = I 1 + I 2 Siccome i resistori sono in parallelo, ai loro capi ci sarà la medesima differenza di potenziale, per cui: V 1 = V 2 I 1 R 1 = I 2 R 2 Risolvo quest ultima equazione per I 2 : I 2 = I 1 R 1 R 2 e la inserisco nella KVL: ( ) ( ) R 1 R1 + R 2 R2 I = I 1 + I 2 = I 1 + I 1 = I 1 I 1 = I R 2 R 2 R 1 + R 2 26 / 45

50 Voltmetro/amperometro analogico multi-range In elettrotecnica spesso si ha la necessità di misurare correnti e tensioni. A questo fine si usano dei multimetri, che permettono di misurare corrente, tensione e resistenza. Tuttavia spesso si incorre nella necessità di misurare, con differenti range, correnti oppure tensioni col medesimo strumento. Al fine di estendere il range di misurazione è possibile utilizzare una resistore che in questo specifico caso prende il nome di resistore di shunt (to shunt=deviare) al fine di realizzare un cosiddetto derivatore di corrente (o di tensione). 27 / 45

51 Derivatore di corrente 28 / 45

52 Derivatore di corrente In figura possiamo vedere uno strumento amperometro (nel box tratteggiato) rappresentato come un misuratore di corrente ideale e un resistore in serie R m. Quando una corrente è applicata ai terminali, una parte entra nello strumento, una seconda parte entra nel ramo su cui si trova R s. 28 / 45

53 Derivatore di corrente In figura possiamo vedere uno strumento amperometro (nel box tratteggiato) rappresentato come un misuratore di corrente ideale e un resistore in serie R m. Quando una corrente è applicata ai terminali, una parte entra nello strumento, una seconda parte entra nel ramo su cui si trova R s. Quello che otteniamo è un semplice partitore di corrente: ( ) I = I m 1 + Rm R s Agendo sul valore della R s e lasciando invariati I m (e ovviamente R m, che dipende dal costruttore dello strumento) è possibile estendere il range di valori per la corrente. 28 / 45

54 Derivatore di tensione 29 / 45

55 Derivatore di tensione In modo analogo, grazie ad un resistore di shunt è possibile usare come voltmetro lo stesso strumento usato precedentemente come amperometro: ponendo un resistore di shunt in serie allo strumento (in precedenza l avevamo posta in parallelo) e applicando una tensione ai capi, possiamo definire la differenza di potenziale: V m = I mr m 29 / 45

56 Derivatore di tensione In modo analogo, grazie ad un resistore di shunt è possibile usare come voltmetro lo stesso strumento usato precedentemente come amperometro: ponendo un resistore di shunt in serie allo strumento (in precedenza l avevamo posta in parallelo) e applicando una tensione ai capi, possiamo definire la differenza di potenziale: V m = I mr m Il circuito comprendente anche il resistore di shunt è nient altro che un partitore di tensione, per cui: ( ) V = V m 1 + Rs R m Anche questa volta, variando R s posso variare il range di tensioni utilizziando il medesimo strumento che in precedenza aveva funzione di amperometro. 29 / 45

57 Tecniche di risoluzione di circuiti 30 / 45

58 Metodo con le leggi di Kirchoff - Esempio Il primo metodo di risoluzione di un circuito consiste nell assegnare ad ogni ramo una corrente ed in seguito applicare la KVL e la KCL. Il segno delle correnti sarà casuale: prima di risolvere il circuito, ci è impossibile conoscere il reale verso delle medesime. Una volta ottenuti i valori numerici, se una corrente avrà un segno negativo, significherà che la medesima ha nella realtà un segno opposto a quello indicato da noi all inizio nel circuito. Prendiamo come primo esempio il circuito a fianco. 31 / 45

59 Metodo con le leggi di Kirchoff - Esempio Assegnamo le correnti a ciascun ramo Usiamo la KCL I 0 = I 1 + I 2 Sono le nostre tre incognite. Calcoliamo il numero delle maglie indipendenti (come spiegato in precedenza): M = B N + 1 = = 2 Per cui per risolvere il circuito saranno sufficienti solo due KVL Definiamo le KVL (per completezza qui di seguito ci sono tutte, in realtà ne sono sufficienti due). Per aiutarmi coi segni indico il verso della caduta di potenziale sulle resistenze. Per la maglia 1 V 0 I 0 R 1 I 1 R 4 = 0 Per la maglia 2 Per la maglia 3 V 0 I 0 R 1 I 2 (R 2 + R 3 ) = 0 I 4 R 4 + I 2 (R 2 + R 3 ) = 0 32 / 45

63 Metodo con le leggi di Kirchoff - Esempio Metto a sistema tre equazioni su quattro (ho tre incognite, le correnti): scelgo l equazione KCL, e le KVL per le maglie 1 e 3. Risolvo la KCL per I 2 e inserisco il valore nella KVL della maglia 3: Risolvo la KVL per la maglia 1 secondo I 0 : I 4 R 4 + (I 0 I 1 )(R 2 + R 3 ) = 0 I 0 = V 0 I 1 R 4 R 1 Inserisco quest ultima definizione di I 0 nella KVL in cui avevo sostituito I 2 e risolvo per I 1 I 1 = V 0 (R 2 + R 3 ) R 1 R 4 + (R 1 + R 4 )(R 2 + R 3 ) 33 / 45

67 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio 34 / 45

68 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio Il metodo mesh loop le correnti non vengono assegnate ai rami (come nel metodo di Kirchoff), ma alle maglie. Come è possibile vedere dallo schema a fianco, dopo aver scelto il numero di maglie indipendenti (nel nostro caso, trattandosi dello stesso circuito, sempre due), ad esse vengono assegnate le correnti: I 1 per la maglia 1 e I 2 per la maglia 2. A questo punto si applica la KVL muovendosi lungo la maglia: 34 / 45

69 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio Il metodo mesh loop le correnti non vengono assegnate ai rami (come nel metodo di Kirchoff), ma alle maglie. Come è possibile vedere dallo schema a fianco, dopo aver scelto il numero di maglie indipendenti (nel nostro caso, trattandosi dello stesso circuito, sempre due), ad esse vengono assegnate le correnti: I 1 per la maglia 1 e I 2 per la maglia 2. A questo punto si applica la KVL muovendosi lungo la maglia: Per la maglia 1 ho: V 0 (I 1 + I 2 )R 1 I 1 R 4 = 0 34 / 45

70 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio Il metodo mesh loop le correnti non vengono assegnate ai rami (come nel metodo di Kirchoff), ma alle maglie. Come è possibile vedere dallo schema a fianco, dopo aver scelto il numero di maglie indipendenti (nel nostro caso, trattandosi dello stesso circuito, sempre due), ad esse vengono assegnate le correnti: I 1 per la maglia 1 e I 2 per la maglia 2. A questo punto si applica la KVL muovendosi lungo la maglia: Per la maglia 1 ho: V 0 (I 1 + I 2 )R 1 I 1 R 4 = 0 Per la maglia 2 ho: V 0 (I 1 + I 2 )R 1 I 2 (R 2 + R 3 ) = 0 34 / 45

71 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio È possibile quindi riordinare le equazioni nella forma convenzionale dei sistemi lineari ed applicare il metodo di Kramer per risolvere il sistema lineare: (R 1 + R 4 )I 1 I 2 R 1 = V 0 R 1 I 1 + (R 1 + R 2 + R 3 )I 2 = V 0 35 / 45

72 Metodo di Maxwell (Mesh Loop Method) - Esempio È possibile quindi riordinare le equazioni nella forma convenzionale dei sistemi lineari ed applicare il metodo di Kramer per risolvere il sistema lineare: (R 1 + R 4 )I 1 I 2 R 1 = V 0 R 1 I 1 + (R 1 + R 2 + R 3 )I 2 = V 0 oppure usare la sostituzione; risolvendo la prima equazione del sistema lineare per I 2 e inserendone il valore nella seconda, ottengo il valore di I 2 : V 0 (R 2 + R 3 ) I 1 = (R 1 + R 4 )(R 2 + R 3 )R 1 R 4 35 / 45

73 Metodo col teorema di Thevenin Il teorema di Thevenin semplifica il comportamento di un circuito elettrico tra due suoi terminali. In base a questo teorema, il comportamento di una rete comunque complessa, ai fini della sua utilizzazione al suo esterno, tra due punti, è equivalente a quello di un generatore di tensione V eq in serie ad un resistore R eq, dove: V eq è la d.d.p. tra i due punti quando all esterno c è un circuito aperto (R L inf); R eq è la resistenza vista tra i due punti quando tutti i generatori di tensione sono cortocircuitati (d.d.p. = 0) e tutti i generatori di corrente sono aperti. 36 / 45

77 Metodo col teorema di Thevenin - Esempio 37 / 45

78 Metodo col teorema di Thevenin - Esempio Consideriamo il circuito visto in precedenza ed eliminiamo il resistore R 4, considerando i due terminali rimasti aperti. Ciò che rimane è noto: è un partitore di tensione. 37 / 45

79 Metodo col teorema di Thevenin - Esempio Consideriamo il circuito visto in precedenza ed eliminiamo il resistore R 4, considerando i due terminali rimasti aperti. Ciò che rimane è noto: è un partitore di tensione. Definisco la d.d.p. V th tra i due terminali aperti quindi nel modo seguente: ( ) R2 + R 3 V th = V 0 R 1 + R 2 + R 3 37 / 45

80 Metodo col teorema di Thevenin - Esempio A questo punto cortocircuito il generatore V 0 e calcolo la R th notando che essa è il parallelo tra R 1 ed R 2 + R 3 R th = R 1(R 2 + R 3 ) R 1 + R 2 + R 3 Riattacco a questo punto R 4 e noto che è in parallelo con R th. Calcolo dunque la corrente in questo modo: V th I 1 = R th + R 4 38 / 45

81 Metodo col teorema di Norton Il teorema di Norton semplifica il comportamento di un circuito elettrico tra due suoi terminali. Esso afferma che il comportamento di una rete comunque complessa, ai fini della sua utilizzazione al suo esterno tra due punti, è equivalente a quello di un generatore di corrente I eq in parallelo ad un resistore R eq, dove: I eq è la corrente di corto circuito (R L 0); R eq è la resistenza vista tra i due punti quando tutti i generatori di tensione sono cortocircuitati (d.d.p. = 0) e tutti i generatori di corrente sono aperti. 39 / 45

85 Effetti degli strumenti di misura sul circuito 40 / 45

86 Resistenza interna di un voltmetro È prassi comune in Elettrotecnica il misurare la differenza di potenziale ai capi di un componente. Un importante aspetto riguarda il tenere in considerazione che la misura stessa fa sì che lo strumento diventi parte stessa del circuito, in quanto l atto di misurare cambia inesorabilmente il circuito che vogliamo testare andando ad aggiungere altri componenti al medesimo. Un voltmetro ideale dovrebbe misurare una tensione senza modificare in alcun modo il circuito al quale viene collegato. Questo è possibile solo a condizione che il voltmetro presenti una resistenza infinita ovvero non sia mai percorso da corrente (non realizzabile nella realtà). 41 / 45

87 Resistenza interna di un voltmetro È prassi comune in Elettrotecnica il misurare la differenza di potenziale ai capi di un componente. Un importante aspetto riguarda il tenere in considerazione che la misura stessa fa sì che lo strumento diventi parte stessa del circuito, in quanto l atto di misurare cambia inesorabilmente il circuito che vogliamo testare andando ad aggiungere altri componenti al medesimo. Un voltmetro ideale dovrebbe misurare una tensione senza modificare in alcun modo il circuito al quale viene collegato. Questo è possibile solo a condizione che il voltmetro presenti una resistenza infinita ovvero non sia mai percorso da corrente (non realizzabile nella realtà). Facciamo un esempio. Consideriamo il circuito in figura, che rappresenta un semplice partitore resistivo nel quale vogliamo misurare la tensione ai capi del resistore R 2 da 500 kω. 41 / 45

88 Resistenza interna di un voltmetro In assenza dello strumento di misura la tensione su R 2 può essere facilmente calcolata con la formula del partitore di tensione: V 2 = R 2 500kΩ E = 9V = 0.9V R 1 + R 2 4.5MΩ + 500kΩ Inserendo nel circuito il voltmetro per la misura di V 2, esso risulta collegato in parallelo con R 2. Supponiamo che il voltmetro presenti una resistenza interna R volt = 1 MΩ. In questo caso il circuito equivalente da studiare è mostrato in figura: 42 / 45

89 Resistenza interna di un voltmetro In assenza dello strumento di misura la tensione su R 2 può essere facilmente calcolata con la formula del partitore di tensione: V 2 = R 2 500kΩ E = 9V = 0.9V R 1 + R 2 4.5MΩ + 500kΩ Inserendo nel circuito il voltmetro per la misura di V 2, esso risulta collegato in parallelo con R 2. Supponiamo che il voltmetro presenti una resistenza interna R volt = 1 MΩ. In questo caso il circuito equivalente da studiare è mostrato in figura: Per risolverlo calcoliamo per prima cosa il parallelo fra R 2 e R volt : R p = R 2 R volt = 333kΩ 42 / 45

90 Resistenza interna di un voltmetro A questo punto applicando il partitore di tensione fra R 1 e R p abbiamo: V 2 = 333kΩ 9V = 0.62V 4833kΩ 43 / 45

91 Resistenza interna di un voltmetro A questo punto applicando il partitore di tensione fra R 1 e R p abbiamo: V 2 = 333kΩ 9V = 0.62V 4833kΩ L inserimento del voltmetro ha ridotto la tensione su R 2 da 0.9 V a 0.62 V. Ciò è dovuto al fatto che la resistenza interna del voltmetro, in parallelo con R 2, ha ridotto il valore della resistenza equivalente fra R 2 e R volt. Il voltmetro non provoca alcuna perdita di tensione solo in un caso ideale in cui la sua resistenza interna fosse infinitamente alta. Infatti calcolando il parallelo di qualsiasi resistore con una resistenza infinita, la resistenza totale non viene modificata (è come collegare in parallelo un circuito aperto, che non fa passare corrente). I voltmetri reali non hanno una resistenza interna infinita, ma presentano tipicamente valori nell ordine di alcune decine di MΩ. Tali valori possono essere considerati praticamente infiniti a condizione di misurare la tensione su resistori di valore ohmico molto inferiore (fino a qualche centinaio di kω). 43 / 45

92 Resistenza interna di un amperometro Anche gli amperometri reali presentano una resistenza interna. Poichè l amperometro deve essere collegato in serie al circuito di misura, un amperometro ideale (che non perturbi il circuito di misura) dovrebbe avere una resistenza interna zero. Si consideri a titolo di esempio il circuito seguente con e senza amperometro per la misura della corrente I: 44 / 45

93 Resistenza interna di un amperometro Anche gli amperometri reali presentano una resistenza interna. Poichè l amperometro deve essere collegato in serie al circuito di misura, un amperometro ideale (che non perturbi il circuito di misura) dovrebbe avere una resistenza interna zero. Si consideri a titolo di esempio il circuito seguente con e senza amperometro per la misura della corrente I: Supponiamo E = 12 V, R = 10 Ω e R amp = 2 Ω. La corrente senza amperometro è data da: I senza = 12V 10Ω = 1.2A 44 / 45

94 Resistenza interna di un amperometro Anche gli amperometri reali presentano una resistenza interna. Poichè l amperometro deve essere collegato in serie al circuito di misura, un amperometro ideale (che non perturbi il circuito di misura) dovrebbe avere una resistenza interna zero. Si consideri a titolo di esempio il circuito seguente con e senza amperometro per la misura della corrente I: Supponiamo E = 12 V, R = 10 Ω e R amp = 2 Ω. La corrente senza amperometro è data da: I senza = 12V 10Ω = 1.2A La corrente con l amperometro inserito invece vale: I con = 12V (10Ω + 2Ω) = 1A Come si può notare l inserimento dell amperometro ha ridotto la corrente nel circuito. Tale riduzione è tanto più rilevante quanto maggiore è la resistenza interna dell amperometro rispetto alle altre resistenze collegate nel circuito. 44 / 45

95 Argomenti: altri esercizi in DC reti in AC Prossima Esercitazione: lunedì 25 Gennaio / 45