Teoremi dei circuiti elettrici

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1 Università degli Studi di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Teoria dei Circuiti Elettrotecnica Teoremi dei circuiti elettrici

2 Conseguenza di KCL, KVL e della unicità della soluzione di un circuito lineare Valgono in regime stazionario oppure lentamente variabile

3 TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA CONSERVAZIONE DELLE POTENZE Vale per circuiti lineari e non lineari SE V i Tensioni di lato che soddisfano KVL I i Correnti di lato che soddisfano KCL i ALLORA VIi = i i 0 i=1,l

4 TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA CONSERVAZIONE DELLE POTENZE V i i,,i i COESISTENTI V i I i è potenza effettiva V i,i i NON COESISTENTI V i I i è potenza virtuale

5 TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA CONSERVAZIONE DELLE POTENZE COROLLARIO Se c è un solo generatore di tensione, la sua E è maggiore delle altre V (non amplificazione della tensione) Se c è un solo generatore di corrente, la sua A è maggiore delle altre I (non amplificazione della corrente)

6 Esempio V i V 1 V Due circuiti diversi, con lo stesso grafo V 3 1 V 4 V I i I 1 I I 4 I 3 I 5 5 V Ii = 1 i 0 Potenze virtuali

7 Esempio V 1 V I 1 I V 3 I 3 5 V Ii = 1 i 0 V 4 I 4 I 5 V 5 Potenze effettive

8 TEOREMA DI VON HELMHOLTZ O DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Vale per circuiti lineari CHIAMIAMO CAUSE C tensioni o correnti impresse da generatori indipendenti EFFETTI E tensioni o correnti risultanti nei lati SE in un circuito sono presenti più cause C = C 1 + C +. + C n

9 TEOREMA DI VON HELMHOLTZ O DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Pensiamo ciascuna causa agente da sola Le altre n-1 sono escluse (generatore ideale di tensione: corto circuito; generatore ideale di corrente: circuito aperto) ALLORA C 1 E 1 C C n l effetto totale è la sovrapposizione dei singoli effetti NOTA se ci sono generatori dipendenti, d questi vanno lasciati sotto l effetto di tutte le cause E E n E = E 1 +E +.+E n

10 Esempio A1 A 1 E R R 3 R 4 I5 = + R 3 R, 5 R 4 I 5 R 5 R 3 E I 5 R 4 3 E,, R 5 I 5 ' '' 5 = I 5 I 5 I + ' 5 I = A 1 R 3 R + 3 R 5 I '' 5 = R 3 E + R 5

11 Esempio (1/) R 1 E R I P A R 1 I = I E + I A E R 1 I E R R IA I A A I I A E = R 1 = A E + R R 1 R 1 + R

12 Esempio (/) P E = R I E = R E ( R + R ) 1 R R A 1 PA = RIA = ( R + R ) 1 P R E + R1 R A = PE + PA =? NO ( R + R ) 1 ( IE + IA ) = RIE + RIA + R IEI A = PE + PA R IE A P = R + I?SI

13 NOTA I è una funzione lineare degli ingressi (E,A) Vale la sovrapposizione degli effetti P non è una funzione lineare degli ingressi (E,A) NON vale la sovrapposizione degli effetti

14 TEOREMA DI SOSTITUZIONE O DI COMPENSAZIONE Vale per reti qualsiasi (lineari e non lineari) SE il lato i è sostituito da un generatore ideale di tensione con E=V i oppure un generatore ideale di corrente con A=I i ALLORA il funzionamento del circuito non cambia IPOTESI FONDAMENTALE La rete ha una e una sola soluzione (ipotesi banale nel caso lineare)

15 Esempio h k E R 4 E R I 1 =k 3 R 5 V 1 =h V 1 R 3 R 5 R 4 h k E R 4 R 3 R 5

16 TEOREMA DEL GENERATORE EQUIVALENTE Vl Valgono per circuiti iti linearii Se si seziona un circuito in due parti mettendo in evidenza due morsetti ciascuna parte è un bipolo Un bipolo è noto quando è nota la sua caratteristica. Se il bipolo è lineare, la caratteristica è lineare V V v R eq G eq La caratteristica è individuata da (V v, R eq ) oppure I c I (I c, G eq )

17 TEOREMI DEL GENERATORE EQUIVALENTE allora Teorema di Thevenin Un circuito lineare a due morsetti può essere sostituito da un generatore reale lineare di V R eq A tale che E Th =V v er eq =V V /I c E Th B Se non ci sono generatori dipendenti R eq =R AB che appare tra A e B quando sono esclusi i generatori

18 TEOREMI DEL GENERATORE EQUIVALENTE Teorema di Norton Un circuito lineare a due morsetti può essere sostituito da un generatore reale lineare di I A No A G eq B tale che A No =I c eg eq =I c /V v Se non ci sono generatori dipendenti G eq =G AB che appare tra A e B quando sono esclusi i generatori

19 TEOREMA DI RECIPROCITA Vl Vale per reti linearii senza generatori Isoliamo due lati (a,b) del circuito Lineare passivo a b Doppio bipolo Se 1) si collega un generatore ideale di tensione in a e si considera la corrente di corto circuito in b E a I b ) si collega il generatore in b e si considera la corrente in a I a E b

20 TEOREMA DI RECIPROCITA a Lineare passivo b E Allora a E = b, in particolare, se E a = E b e I a = I b I b I a il funzionamento del circuito non cambia scambiando ingresso e uscita. E a I a = E b I b potenze virtuali R ab = R ba trans-resistenze