Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio

Transcript

1 Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio Parte e Multipoli resistivi I principali multipoli resistivi ideali sono: il trasformatore ideale l amplificatore operazionale ideale il giratore i convertitori di impedenza negativa ad inversione di tensione ad inversione di corrente Trasformatore ideale È un circuito a due porte, o doppio bipolo, il cui simbolo circuitale è riportato in figura insieme alle convenzioni di misura standard, solitamente adottate per misurare correnti e tensioni di porta Il parametro K, adimensionato, prende il nome di rapporto di trasformazione Il trasformatore ideale è un doppio bipolo : intrinseco lineare privo di memoria inerte passivo e privo di perdite Secondo la convenzione di misura standard, le due relazioni costitutive del trasformatore ideale sono: In forma matriciale le relazioni costitutive si scrivono dove il vettore C è nullo

2 I multipoli e multiporta sono definiti inerti se si ha C=0 Il trasformatore ideale è quindi un doppio bipolo intrinseco lineare privo di memoria inerte La potenza entrante nel trasformatore ideale risulta nulla: implica Quindi il trasformatore ideale è un dispositivo passivo, che non dissipa né accumula potenza In ogni istante la potenza che entra in una porta uguaglia quella che esce dall altra porta La realizzazione tecnologica del trasformatore (ideale) è difficoltosa e viene considerata in altri corsi La sua principale applicazione è quella di trasferire la potenza elettrica da una porta all altra, con livelli di tensione e corrente alterati a seconda del valore del rapporto di trasformazione K Convenzione di segno non standard per il trasformatore ideale: Il trasformatore ideale altera di un fattore K2 il valore delle resistenze viste (misurate) su ciascuna porta. Notare come il segno di K sia ininfluente

3 Equivalenti Thevenin e Norton dei bipoli visti ai morsetti di una data porta del trasformatore ideale vengono determinati in modo del tutto analogo Se si collega un solo bipolo tra un morsetto della prima porta del trasformatore ideale ad un morsetto della seconda porta del trasformatore ideale tale bipolo è attraversato da corrente nulla, in quanto il trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco Questo bipolo può quindi essere sostituito sia da un generatore di corrente spento come da un generatore di tensione spento. Occorre sempre ricordare che il trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco Nel caso di figura i resistori R1 ed R2 sono attraversati dalla stessa corrente (a parte il segno), e la resistenza equivalente ai morsetti 1-1 vale:

4 Esempio a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei terminali M-N indicati b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare (per la rete di figura) la corrente i e la potenza entrante nel generatore di tensione da 180 volt c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul generatore di corrente da 3 ampere a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei terminali M-N indicati b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare (per la rete di figura) la corrente i e la potenza entrante nel generatore di tensione da 180 volt c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul generatore di corrente da 3 ampere

5 Amplificatore operazionale ideale È un quadrupolo (3 equazioni costitutive) definito come idealizzazione di un amplificatore operazionale reale. L amplificatore operazionale ideale ha il simbolo circuitale indicato in figura Le equazioni costitutive sono: La potenza entrante nell amplificatore operazionale ideale risulta espressa da: Poiché pe solitamente è negativa questo multipolo si comporta come un elemento attivo nella rete in cui viene inserito Amplificatore di tensione invertente Le relazioni costitutive del doppio bipolo con porte 1-1 e 2-2 sono: Circuito sommatore Qualunque sia la corrente io, la tensione vo vale:

6 Amplificatore di tensione non invertente Qualunque sia la corrente io, la tensione vo vale: Reti con amplificatori operazionali ideali Esempio 1 Per l analisi di circuiti più complicati contenenti amplificatori operazionali ideali, a volte conviene utilizzare un procedimento inverso per l analisi

7 Esempio 2

8 Thevenin e Norton di bipoli con operazionali Per calcolare equivalenti Thevenin o Norton ai due morsetti di uscita di un circuito con operazionale ideale. Ricordare che la resistenza equivalente (di uscita) si misura supponendo spenti tutti i generatori ideali di tensione e di corrente, ed inserendo un opportuno generatore di prova Esempio 1 Esempio 2

9 Rappresentazione Thevenin Abbiamo visto che per i multiporta ed i multipoli, se lineari e privi di memoria, vale la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: A v + B i + C=0. Se la matrice A è invertibile questa relazione porge: R è la matrice di resistenza, v0 è la tensione a vuoto del multiporta (o del multipolo) Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile Thevenin se la sua relazione costitutiva si può porre nella forma: I multiporta rappresentabili Thevenin hanno l equivalente Thevenin di figura a destra Rappresentazione Norton I multiporta ed i multipoli lineari e privi di memoria hanno la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: A v + B i + C=0. Se la matrice B è invertibile questa relazione porge: G è la matrice di conduttanza, i0 è la corrente di cortocircuito del multiporta (o del multipolo) Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile Norton se la sua relazione costitutiva si può porre nella forma: I multiporta rappresentabili Norton hanno l equivalente Norton di figura a destra

10 Legami tra Thevenin e Norton Mentre i bipoli lineari ammettono sicuramente una delle due rappresentazioni (Thevenin o Norton), questo non è sempre vero per i multiporta od i multipli. Ad esempio il trasformatore ideale non è rappresentabile né secondo Thevenin né secondo Norton. Quando un multiporta (multipolo) ammette sia la rappresentazione Thevenin che quella Norton, valgono le seguenti relazioni tra la matrice delle resistenze e la matrice delle conduttanze, e tra il vettore tensione a vuoto ed il vettore corrente di corto circuito: Con l aumentare del numero di terminali di un dato dispositivo cresce il numero di possibili Rappresentazioni In molti casi risulta conveniente utilizzare le cosiddette rappresentazioni ibride, che verranno considerate nel modulo di Elettrotecnica II Teorema di reciprocità Consideriamo un multiporta (o un multipolo) generico e supponiamo che le due coppie (va, ia) e (vb, ib) siano compatibili con il multiporta (multipolo). Il multiporta (multipolo) si dice reciproco se vale la proprietà (uguaglianza di due scalari): Il teorema di reciprocità assicura che un multiporta (multipolo) ottenuto da nodi accessibili di una rete costituita da elementi tutti reciproci è reciproco. Il viceversa non è garantito, cioè se un multiporta (multipolo) risulta essere reciproco non è detto che lo siano i suoi elementi. È facile dimostrare che il resistore ideale, l induttore ideale, il condensatore ideale, il trasformatore ideale sono elementi reciproci. Dal teorema di reciprocità segue che un multiplo (o multiporta) costitutito da resistori e trasformatori è reciproco. È facile dimostrare che per i multiporta (od i multipoli) reciproci inerti rappresentabili Thevenin la matrice delle resistenze è simmetrica È facile dimostrare che per i multiporta (od i multipoli) reciproci inerti rappresentabili Norton la matrice delle conduttanze è simmetrica Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e π Poiché per i doppi bipoli reciproci inerti rappresentabili Thevenin e/o Norton risulta: Questi doppi bipoli sono equivalenti ad un doppio bipolo a T quando rappresentabili mediante matrici di resistenza ad un doppio bipolo a π (pi greca) quando rappresentabili mediante matricidi conduttanza

11 Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a T Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a π Generatori pilotati Molti dispositivi sono modellati mediante relazioni costitutive in cui le tensioni o le correnti dei loro terminali dipendono dalle tensioni e/o correnti presenti in altri elementi della rete in cui questi dispositivi sono inseriti. Questi dispositivi si dicono pilotati. Nel seguito considereremo i quattro modelli più semplici di: generatore di tensione pilotato da tensione, generatore di tensione pilotato da corrente, generatore di corrente pilotato da tensione, generatore di corrente pilotato da corrente Generatore di tensione pilotato Ai suoi morsetti si stabilisce una tensione ê (tensione del generatore) che dipende da una tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente in un altro elemento della rete in cui l elemento pilotato stesso è inserito

12 Generatore di corrente pilotato Ai suoi morsetti si stabilisce una corrente â (corrente del generatore) che dipende da una tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente in un altro elemento della rete in cui l elemento pilotato stesso è inserito Generatori pilotati: realizzazioni pratiche Molti dispositivi realizzati praticamente sono modellati da questi generatori. Ad esempio, in prima approssimazione: un triodo è modellato da un generatore di tensione pilotato da tensione; una dinamo da un generatore di tensione pilotato da corrente; un transistore da un generatore di corrente pilotato da corrente; un transistore ad effetto di campo (FET) da un generatore di corrente pilotato da tensione Generatori pilotati: osservazioni Se in una rete compaiono generatori pilotati occorre specificare a parte quali sono le loro relazioni costitutive, ed indicare esplicitamente nella rete quali sono le grandezze pilotanti (o pilota). I generatori pilotati sono elementi attivi e non reciproci. Pertanto, introducendo questi elementi in una rete passiva e reciproca, di solito si ottiene una rete attiva e non reciproca Reti resistive contenenti generatori pilotati Il procedimento di calcolo più semplice avviene in tre fasi: 1. supponendo noti i valori dei generatori pilotati, calcola dapprima le grandezze pilotanti (o pilota) della rete. 2. nelle relazioni ottenute al punto 1, sostituisci alle grandezze pilotate le relazioni costitutive che esprimono tali grandezze in funzione dei piloti. Ottieni così delle relazioni che hanno come incognite solo i piloti (equazioni dei piloti) e che risolte determinano i valori dei generatori pilotati. 3. noti i generatori indipendenti ed i pilotati, passa infine a calcolare le uscite richieste Esempio 1 Calcolare la tensione v2 per la rete di figura. Dati: R1=R2=R3=R4=Rm=1K ohm; a=10 ma, e=5v

13 Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore pilotato Sovrapposizione effetti Fase 2, Equazione del pilota da cui si ottiene Fase 3, Calcolo l uscita v2 (equazione KVL):

14 Esempio 2 Calcolare la tensione va per la rete di figura. Dati: R1=R2=1K ohm; a=10 ma, a=2, ß=1 Fase 1, valuto i piloti va ed i2 Fase 2, equazione dei piloti da cui si ottiene: Fase 3, calcolo l uscita

15 Thevenin e Norton di bipoli con pilotati Sono possibili due casi: 1. i piloti si trovano all esterno del bipolo che si vuole rappresentare. In questo caso il generatore di tensione a vuoto (Thevenin) ed il generatore di corrente di cortocircuito (Norton) risultano essere dei generatori pilotati 2. i piloti si trovano all interno del bipolo che si vuole rappresentare; e questo è il caso che consideriamo di seguito in dettaglio Piloti all interno del bipolo considerato Piloti all interno del bipolo di morsetti A-B che si vuole rappresentare secondo Thevenin o Norton È possibile applicare il principio di equivalenza e quello di sovrapposizione degli effetti, ed ottenere le equazioni di Thevenin e Norton del bipolo Le due precedenti equazioni corrispondono ai bipoli equivalenti Thevenin (a sinistra) e Norton (a destra) in figura

16 Tensione a vuoto e corrente di corto circuito La tensione a vuoto si calcola ponendo i=0 La corrente di corto circuito si calcola ponendo v=0 La rete lavora in condizioni diverse per queste due diverse condizioni di carico e quindi le grandezze pilota hanno valori diversi nei due casi Calcolo della resistenza equivalente La resistenza equivalente Re (o la conduttanza equivalente Ge ) si calcola utilizzando le formule: Oppure in maniera diretta come segue. La resistenza equivalente Re è espressa dal rapporto tensione v su corrente i, purché sia nulla la tensione a vuoto v0 (e la corrente di cortocircuito i0 ) Per annullare la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito occorre spegnere tutti i generatori indipendenti all interno del bipolo (rendere il bipolo inerte). Non bisogna assolutamente mai spegnere i generatori pilotati. I generatori pilotati sono infatti attivati da un generatore (fittizio) di prova, di corrente o di tensione, collegato in ingresso ai due morsetti A-B del bipolo. Il valore dei parametri dei generatori pilotati può dar luogo a valori di Re, Ge negativi. Le rappresentazioni Thevenin e Norton testé discusse si possono estendere per trattare multipoli e multiporta contenenti generatori pilotati

17 Esempio Ricavare la rappresentazione Thevenin e Norton del bipolo di morsetti A-B riportato in figura, dove il generatore di corrente, pilotato in corrente, ha la relazione costitutiva In questo caso conviene ricavare prima l equivalente Thevenin o Norton del bipolo a sinistra dei morsetti A_ e B_ e poi reintrodurre in seguito la resistenza Rl Tensione a vuoto. Nella prova a vuoto, la corrente pilota i è anche la corrente che attraversa il resistore R2 e vale i=e/(r1+r2). La tensione vale Corrente di corto circuito. Nella prova di corto circuito, la corrente pilota si trova sostituendo l equazione costitutiva effetti) nell equazione (sovrapposizione degli

18 Trovato il pilota valido per la prova in corto circuito, si determina poi la corrente di corto circuito con una equazione al nodo A_: La resistenza equivalente è data dal rapporto tensione a vuoto su corrente di corto-circuito che si calcola però assai più facilmente in maniera diretta, come segue. Spegnendo i generatori indipendenti (c è solo quello di tensione) ed alimentando i morsetti del bipolo con un generatore di prova (in questo caso conviene di corrente) Trovato l equivalente ai morsetti A_- B_ si reintroduce la resistenza Rl, e si trova poi facilmente l equivalente Thevenin o Norton ai morsetti A-B

19 Generatori pilotati per modellare multiporta I metodi generali visti nell unità 4 sono formulati per reti di bipoli. Se la rete in esame contiene multipoli o multiporta occorre modellare questi multipoli e/o multiporta con sotto-reti di bipoli. Queste sotto-reti contengono dei generatori pilotati Esempio: doppio bipolo inerte - matrice R Modello con generatori pilotati di un doppio bipolo inerte caratterizzato dalla matrice R Esempio: doppio bipolo inerte - matrice G Modello con generatori pilotati di un doppio bipolo inerte caratterizzato dalla matrice G Esempio: trasformatore ideale Modello con generatori pilotati di un trasformatore ideale con rapporto di trasformazione K

20 Generatori pilotati e metodo dei nodi Conviene illustrare il metodo sull esempio di figura Occorre per prima cosa esprimere le grandezze pilota in funzione delle tensioni nodali Supponendo che le grandezze pilota siano la tensione vp e/o la corrente ip si ha vp= (v2-v1); ip= (v2-v1)/r5 A queste equazioni occorre aggiungere le costitutive dei pilotati, riscritte utilizzando le tensioni nodali

21 Diodi Il diodo reale è (in prima approssimazione) un resistore non ideale con caratteristica tensionecorrente simile a quella indicata in figura Diodo ideale Il diodo ideale è un resistore non lineare che idealizza il comportamento del diodo reale. Il suo simbolo circuitale è indicato in figura (a). La caratteristica tensione-corrente è riportata in figura (b) Escluso il punto origine (v=0, i=0) il diodo ha solo due possibilità di funzionamento On diodo conduce: v=0 e corrente i positiva (semiasse ascisse positive) corto circuito Off diodo interdetto: i=0 e tensione v negativa (semiasse ordinate negative) circuito aperto Data una rete con uno o più diodi si ipotizza la fase di funzionamento di ciascun diodo di modo che ciascun diodo può essere sostituito con un cortocircuito (se in fase on) o con un circuito aperto (fase off ) (n diodi = 2 n possibilità di funzionamento). Si ottiene così una rete lineare che può essere studiata con i metodi visti in precedenza. Occorre per prima cosa verificare le ipotesi sullo stato dei diodi. Per verificare l ipotesi di diodo off occorre valutare la tensione v sul diodo, che deve essere negativa secondo la convenzione di figura. Per verificare l ipotesi di diodo on occorre valutare la corrente i nel diodo, che deve essere positiva secondo la convenzione di figura. Nel caso in cui nella rete siano presenti degli ingressi variabili nel tempo può succedere che in determinati istanti di tempo un diodo passi dalla fase on alla fase off, o viceversa In questi casi si dice che il diodo commuta. Le commutazioni dei diodi sono sfruttate in importanti applicazioni

22 Esempio: rete con un diodo ideale Calcolare la tensione vab ai capi del diodo per la rete di figura, dove i generatori di tensione e corrente hanno le forme d onda di figura, ed Ri (i=1,6)=10 ohm Equivalente Thevenin ai morsetti A-B del diodo (si ricorda che l equivalente Thevenin e/o Norton esistono solo per bipolo lineare)

23 Esempio: limitatore di tensione Trovare la relazione fra tensione di uscita vo e tensione di ingresso vi per il circuito limitatore di tensione di figura I diodi non possono essere entrambi on perché per non violare la KVL occorrerebbe porre Ea+Eb=0

24 La relazione vo-vi viene graficamente riassunta nel diagramma riportato, che ben illustra il comportamento del circuito come limitatore di tensione