R Eo R E R/2 R/2. R V O (t) V in (t) E O

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1 ESECIZIO 1: La tensione v IN (t) in ingresso al circuito in figura 1 è costituita da un onda triangolare periodica con valore di picco V P 4V, offset 1V e frequenza 1 KHz. Sapendo che 1V, si tracci l andamento temporale della tensione d uscita v O (t) e la transcaratteristica v O ƒ(vin) indicando, inoltre, per ciascuno dei suoi tratti, la condizione di funzionamento dei diodi, supposti ideali. Si tratta di un circuito con due diodi D 1 e D, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a forma d onda triangolare unidirezionale con un / valore medio V M offset V P / 1 V. Per i due diodi verrà utilizzato il modello lineare a tratti fra loro perpendicolari intersecantesi nell origine degli assi delle coordinate V AK, I D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγ, sia la tensione di conduzione V DON dei due diodi D 1 e D. Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due diodi interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva sia elettricamente compatibile e (figura - 1) coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L ipotesi relativa ai diodi D 1 e D entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura 1a, in cui i due diodi sono modellati con due interruttori aperti e si considera inizialmente V IN (t) 0. In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si / evince che: V A ; V K 0, cioè V AK > 0 e questo costituisce una stridente contraddizione con l aver supposto D interdetto. Dunque, per V IN (t) 0 il diodo D 1 è interdetto, cioè è OFF, mentre D conduce, cioè è ON. Ne consegue che: t : 0 vin < Eo 8 V D 1 è OFF mentre D è ON. Il circuito che deve essere esaminato è quella mostrata in figura 1b in cui D 1 è modellato con un circuito aperto e D con un corto circuito. La tensione di uscita v O (t) è determinata dalla ripartizione della tensione del generatore indipendente operata dal partitore resistivo costituito dalle due resistenze / ed ; si ottiene la relazione di seguito riportata: vo D 1 D / / (figura - 1a) Eo E o ( ) ( ) Eo 8 V In conclusione si osserva che fino a che la tensione di ingresso non raggiunge il valore di V IN / 8V il diodo D 1 è interdetto e D conduce. Quando V IN / 8V, il diodo D 1 si porta nello stato di conduzione in quanto risulta V A1 V IN 8V e V K1 8V. Poiché V AK1 È NON negativa, D 1 (figura - 1b) si porta anch esso in conduzione; tale stato è garantito dall aumentare del segnale di ingresso V IN. In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete di figura 1c, si evince che: / /

2 / parallelo, con riferimento alla rete di figura 1c, la relazione seguente: t : Eo vin < Eo 18 V D 1 è ON e pure D è ON. Il circuito che deve essere esaminato è quella mostrata in figura 1c in cui D 1 e D sono entrambi modellizzati con un corto circuito. Si tratta di una rete classica a due nodi la cui tensione comune di nodo v O (t) è determinabile con il noto principio dei potenziali di nodo che nel contesto è dato come principio di Millman. Si ricava poi, per la tensione comune a tutti i lati posti fra loro in vin E o [ v t E v t in( ) o ] o( ) [ v in ( t ) E o ] 1 ( 5 ) 5 vin Eo Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m tag /5. Osserviamo che per v IN (t) 8V viene riconfermato il valore v O ( /) 8V. Pertanto, la tensione di uscita risulta una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica v O ƒ(v IN ). esta ora da chiedersi fino a quali valori del segnale d ingresso v IN (t) la rete di figura 1c resta elettricamente compatibile con le ipotesi fatte. Il diodo D 1, all aumentare di v IN (t) resterà sicuramente in conduzione mentre il diodo D si interdirà allorché il potenziale del catodo tenderà a superare quello dell anodo. La rete di figura 1d, in / / (figura - 1c) / (figura - 1d) da cui si ricava la scrittura di seguito riportata: cui D viene modellato con un circuito aperto, mostra chiaramente che l interdizione di D inizia e si mantiene quando il segnale di ingresso v IN ha raggiunto e superato il valore necessario a far si che la tensione del catodo V K uguagli e superi la tensione dell anodo V A. Ciò si verifica per il particolare valore v IN (t) della tensione d ingresso per cui risulta soddisfatta la relazione seguente: vo Eo vin Eo Eo Eo vin Eo vin vin Eo 18V Quanto premesso, l ispezione diretta della rete di figura d consente di esplicitare che: t : Eo vin VP con V P 4V D 1 è ON mentre D è OFF Dal circuito mostrata in figura 1d, in cui D 1 è ancora modellato con un corto circuito mentre D, come già detto, viene ora modellato da un circuito aperto, si evince che la tensione di uscita è data dalla ripartizione della tensione v IN (t) di ingresso fra le due resistenze / ed ; si ottiene, pertanto,

3 la relazione di seguito riportata: vo vin vin vin ( ) ( ) Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m tag /. Osserviamo che per v IN (t) ( )/ 18V viene riconfermato il valore v O (/) ( /) 1V. Pertanto, la tensione di uscita risulta una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica v O ƒ(v IN ). Vi(t) 1 V 8 V V IN 16 V 1 V / 4 V 16 V D 1 OFF D ON D ON D OFF / / V P 4V (figura 1e) (figura - 1f) t La transcaratteristica v O ƒ(v IN ) è mostrata in figura 1e nella quale sono evidenziati per ciascuno dei tratti della spezzata, che definisce la curva in oggetto, lo stato di conduzione dei diodi, e la pendenza di ciascun tratto. Nella figura 1f, invece, sono evidenziati i due andamenti temporali del segnale d ingresso V i (t) e del segnale di uscita. La forma d onda triangolare allo ingresso subisce sia una deformazione sia un attenuazione frutto dei tratti con pendenza diversa fra loro nonché di valore diverso da un angolo di 45. ESECIZIO : La tensione v IN (t) in ingresso al circuito in figura è un onda triangolare periodica con valore di picco V P 150 V, offset 75 V e frequenza 1 KHz. Sapendo che E 1 5 V, E 100V, KΩ, 00 KΩ si determini la transcaratteristica ƒ(v IN ) indicando, per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e si tracci il grafico accurato della tensione v O (t). Si tratta di un circuito con due diodi D 1 e D, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a D 1 D forma d onda triangolare unidirezionale con un valore medio V M offset V P / 75 V. Per i due diodi verrà utilizzato il modello lineare a tratti fra loro perpendicolari ed intersecantesi 1 nell origine degli assi delle coordinate V AK, I D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di E 1 E soglia Vγ, sia la tensione di conduzione V DON dei due diodi D 1 e D. (figura - ) Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due

4 diodi D 1 e D interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L ipotesi relativa ai diodi D 1 e D entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura a, in cui i due diodi sono modellati da due interruttori aperti e si considera inizialmente V IN (t) 0. In tale contesto si deduce che: 1 E 1 (figura - a) 1 E 1 (figura - b) E E V A1 V in 0V, mentre V K1 E 1 5 V, per cui risulta V AK1 V A1 V K1 5V, ovvero si conferma che D 1 è interdetto cioè OFF; V K V K1 5V, mentre V A E 100 V, per cui risulta V AK V A V K 75 V > 0, il che, contraddicendo l ipotesi che il diodo D sia interdetto, sancisce in realtà che D si trova in conduzione, cioè ON. Il circuito da esaminare è mostrato in figura b, in cui il diodo D 1 viene modellato da un circuito aperto, ed il diodo D è modellato da un corto circuito. La tensione di uscita v O (t) resta determinata dall applicazione alla rete binodale del noto principio di Millman che consente di relazionare così come segue: vo vo ( E1 1 ) ( E ) ( 1 1 ) ( 1 ) E1 E1 ( ), ovvero: 1 Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed effettuati i relativi calcoli si giunge alle seguenti scritture: E1 E ( 5 100) vo ( ) ( ) V 1 Dalla rete di figura b, per ispezione diretta, si evince che V K1 V K V A v O (t); pertanto il diodo D 1 è OFF ed il diodo D è ON finché il segnale di ingresso non raggiunge il valore v in (t) 50 V; si conclude, pertanto che: t: 0 v 50 V D 1 è OFF, D è ON v O (t) 50V in Quando il segnale d ingresso v in (t) supera il valore di 50V anche il diodo D 1 si porta in conduzione: la rete da esaminare è mostrata in figura c, in cui anche il diodo D 1 viene modellato con un corto circuito. Per ispezione diretta si evince 1 che la tensione d uscita v O (t) costituisce la trasparenza della tensione d ingresso v in (t), di rimando vale la relazione che di seguito si E 1 E riporta: v v o in (figura - c) Al crescere di v in (t) la situazione non cambia finché la tensione di ingresso, che coincide con la tensione V K del catodo del diodo D, non riesce a superare il valore E 100 V, valore che porta il diodo D all interdizione. Si conclude, così, che: t: 50 vin ( E 100V ) D 1 è ON, D è ON v O (t) v in (t) Quando la tensione di ingresso v in (t) supera il valore della tensione del generatore E il diodo D si porta in interdizione e la rete da esaminare è mostrata in figura d in cui il diodo D viene modellato

5 1 E 1 (figura - d) E con un circuito aperto. Per ispezione diretta si evince che l apertura del diodo D fa si che la tensione di uscita v O (t) coincida col valore della tensione del generatore E ; si perviene, pertanto, alla relazione di seguito esplicitata: t: ( E 100V ) vin 150 V D 1 è ON, D è OFF v O (t) E La transcaratteristica, con evidenziate le varie condizioni di conduzione dei diodi D 1 e D, è mostrata in figura e. Nella figura f vengono evidenziate le forme d onda sia della tensione di ingresso v in (t), sia della tensione di uscita v O (t). Si evince che il circuito in esame costituisce un limitatore a doppio livello, con livello inferiore L F 50 V e livello superiore pari a L S 100 V. E 50 V D 1 OFF D ON D ON D OFF m tag 1 45 v O (t) v in (t) 50 V E (figura - e) V P 150 V V in V in V P E 50 V T 1 ms (figura - f) t ESECIZIO : La tensione v IN (t) in ingresso al circuito in figura è un onda triangolare periodica con valore di picco V P 150 V, offset 75 V e frequenza 1 KHz. Sapendo che E 5 V, E V, KΩ, 00 KΩ si vuole determinare la transcaratteristica f(v IN ), indicando, per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e si tracci il grafico accurato della tensione v O (t). Si tratta di un circuito con due diodi D 1 e D, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a forma d onda triangolare unidirezionale con un valore medio V M offset V P / 75 V. Per i due

6 diodi verrà utilizzato il modello lineare di prima specie, a tratti fra loro perpendicolari che si intersecano proprio all origine degli assi coordinati V AK, I D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγ, sia la tensione di conduzione V DON dei due diodi D 1 e D. Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere contemporaneamente i due diodi D 1 e D interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale d ingresso. L ipotesi relativa ai diodi D 1 e D entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete, di seguito riportata come figura a, in cui i due diodi vengono modellati come due interruttori aperti e si considera inizialmente V IN (t) 0. In tale contesto si deduce che V A1 V in 0V, mentre V K1 E V, per cui risulta V AK1 V A1 V K1 100V, cioè si conferma che D 1 è interdetto. cioè OFF; V K 5V, mentre V A V A1 V in 0 V, per cui risulta: V AK V A V K 75 V < 0, il che, conferma l ipotesi che anche il diodo D sia interdetto, cioè OFF. Il diodo D uscirà dallo stato di interdizione ed entrerà in conduzione allorché il potenziale del suo anodo raggiungerà il valore della tensione fornita dal generatore E 5 V. Consegue la seguente posizione: t: 0 vin ( E 5V ) D 1 è OFF, D è OFF v O (t) E 5 V All aumentare del segnale d ingresso v IN (t), per tensioni superiori a E 5 V, il diodo D si porta nello stato di conduzione, mentre il diodo D 1 persiste nello stato d interdizione finché il potenziale dell anodo non raggiunge il valore dato da ( v 1 ) ( E ) ( 1 ) ( 1 ) V A1 V K1 E V. La rete da esaminare viene mostrata in figura b, in cui il diodo D è modellato con un corto circuito ed il diodo D conserva la rappresentazione equivalente data dal circuito aperto. In questo contesto, la tensione di uscita v O (t) è determinata dalla applicazione del principio di Millman alla rete binodale di figura b; è così lecito relazionare nella forma che di seguito si riporta: v E ( ) v 1E in in in vo Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed operando i dovuti calcoli, si perviene alle seguenti scritture: v v in (t) v in (t) o v in (t) D 1 E 1 D (figura - ) E 1 (figura - a) E 1 (figura - b) E E E vin 1E 00 vin vin 1 1 Dalla relazione appena ricavata si può verificare che per v in (t) 5 V viene confermato il valore, già precedentemente calcolato, di v O (t) 5 V; il che esplicita che la transcaratteristica è una funzione continua. Si può concludere affermando quanto segue: 5

7 t: ( E 5 V ) < vin vin D 1 è OFF, D è ON 5 vo vin La rete di figura b risulta essere coerente con i valori del segnale di ingresso v in (t) finché questi si mantiene ad un valore inferiore al valore v in(t) che porta il potenziale dell anodo di ad assumere il valore v A1 E V; in tale circostanza, infatti, il diodo D 1 esce dallo stato di interdizione ed inizia a condurre. Il diodo D, invece, a maggior ragione, al crescere di v in (t) persiste nello stato di conduzione. La rete da esaminare è mostrata nella figura c in cui il diodo D 1 viene modellato da un corto circuito. Il valore del segnale d ingresso da 1 v in (t) E 1 (figura - c) E ricercare è quel particolare valore v IN (t) della tensione d ingresso per cui, nella rete di figura b, risulta soddisfatta la relazione seguente: vo E1 vin 5 da cui si ricava la scrittura di seguito riportata: E v 5 1 ovvero: E vin , 5V Con riferimento alla figura b, si completa l analisi asserendo quanto segue: t: ( E V ) < vin ( vin, V ) D 1 è OFF, D è ON 5 vo vin Con riferimento alla figura c vale la seguente posizione: in < in P t: ( v 17, 5V ) v ( V 150 V ) D 1 è ON, D è ON vo E1 100 V La transcaratteristica v O ƒ(v in ), con evidenziate le varie condizioni di conduzione dei diodi D 1 e D, viene mostrata in figura d. Nella figura e sono evidenziate le forme d onda sia della tensione di ingresso v in (t), sia della tensione di uscita v O (t). Si evince che il circuito in esame costituisce un limitatore a doppio livello, con livello inferiore L F 5 V e livello superiore pari a L S 100 V. in E 1 D 1 OFF D OFF D 1 OFF D ON D ON m tag / arctag (/),69 v O (t) (/) v in (t) (5/) 5 V E 5 V 17,5 V V P 150 V V in (figura - d)

8 V in V P 17,5 V v in (t) E 1 5 V T 1 ms (figura - e) t ESECIZIO 4: La tensione v IN (t) in ingresso al circuito di figura 4 è un onda triangolare periodica con valore massimo V M 16 V, minimo V m 0 V e frequenza ƒs 1 KHz. Sapendo che i diodi sono ideali e che 1 V si tracci il grafico accurato della tensione v O (t) (6 punti). Si indichi, inoltre, per ciascun tratto della trascaratteristica v O ƒ(v IN ) la condizione dello stato di funzionamento dei diodi ( punti). (Prima Prova in Itinere - novembre 007) v in (t) / D 1 Si tratta di un circuito con due diodi D 1 e D, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione ad onda triangolare unidirezionale con un valore medio o di offset V P / 8 V. Per entrambe i diodi sarà utilizzato il modello lineare a tratti di prima specie, formato da tratti fra loro perpendicolari che, appunto, si intersecano nell origine degli assi coordinati V AK, I D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγ, sia la tensione V DON di conduzione dei due diodi D 1 e D. Una delle strategie iniziali d analisi del circuito consiste nel considerare che entrambe i diodi D 1 e D siano contemporaneamente interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è compatibile e coerente elettricamente con i valori che assume nel tempo il segnale d ingresso. / (figura - 4) D / (figura - 4a) V AK / δ ε L ipotesi attinente ai due diodi D 1 e D entrambi interdetti porta a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete, riportata di seguito come figura 4a, in cui i due diodi vengono modellati come due interruttori aperti nonché si considera inizialmente V IN (t) 0V. In tale contesto, NON circolando corrente in alcuna delle resistenze si ha v O 0 V; consegue che la legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia (εδ) consente di scrivere: Eo vo VA K 0, da cui segue: E V 0 E V > 0 o A K o A K

9 Poiché la tensione fra l anodo ed il catodo del diodo D risulta maggiore di zero, si deve concludere che la rete di figura 4a smentisce l ipotesi del diodo D nello stato di interdizione, ma stabilisce, invero, che il diodo D è certamente in conduzione. Pertanto, sempre nella condizione di segnale d ingresso v IN 0 V, la rete da esaminare è mostrata in figura 4b in cui D viene modellato da un corto circuito mentre per D 1 si ipotizza ancora lo stato di interdizione. L ispezione diretta della rete evince che la tensione v O è positiva cioè V δ V A1K1> 0 / (figura - 4b) / ε e ciò contraddice assolutamente l ipotesi che con V IN 0 V il diodo D 1 sia nello stato d interdizione. Il calcolo della tensione di uscita v O (t) è fornito dalla legge del partitore resistivo di tensione che di seguito si riporta: E E vo ( ) ( ) vo 1 8 V E o o o Si termina l analisi affermando che per v IN 0 V i V A1K1 δ due diodi sono entrambe in conduzione e la rete da esaminare è mostrata in figura 4c in cui i diodi sono modellati dagli equivalenti corto circuiti. / / I δ I G δ La rete di figura 4c, che ammette l equivalente configurazione esplicitata in figura 4c bis, consente di calcolare la tensione in uscita v O (t) con la regola (figura - 4c bis) del partitore resistivo di tensione che consente, così, di relazionare come segue: / (figura - 4c) δ / ε / v v o o v IN ( ) Eo ( ) ( ) ( ) E 6E ( ) ( ) 5, ovvero: E 5 o o o / Con i valori assegnati dalla traccia si ha: v O (t) 4,8 V. Si è, ora, nella possibilità di valutare l evoluzione del segnale di uscita v O (t) al variare del segnale d ingresso v IN (t). Dall analisi precedentemente sviluppata si può asserire che: t : 0 vin < vin D 1 è ON, D è ON La rete da esaminare è mostrata in figura 4d che evidenzia la presenza del generatore di segnale v IN e i due diodi modellati dal bipolo corto circuito. L applicazione del principio dei potenziali di nodo, considerando come riferimento il nodo δ, consente di relazionare come segue: (figura - 4d) ε I

10 I G v v v E ; I ( ) ( ) o in o o ; I v ; L applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δ consente di esplicitare quanto segue: I I I 0 G v v v E ( ) ( ) o in o o o o v 0 Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le necessarie semplificazioni si giunge alle seguenti scritture: vo vin vo Eo vo 0 5vo vin Eo 0 v v E o in o Utilizziamo la relazione ora ricavata quale conferma dei risultati già conseguiti e verifichiamo che per v IN (t) 0 V si ribadisce quanto dedotto dall analisi della rete di figura 4c e figura 4c bis; si ottiene: 4 vo v t E v E E V t in ( ) o in ( ) o o, t 0 Al variare del segnale di ingresso v IN (t) il diodo D 1 persisterà nello stato di conduzione finché la tensione fra anodo e catodo sarà non negativa; se D 1 cessa di condurre allora è certamente I G 0 A, come del resto è suggerito dalla figura 4d. Ne consegue che, indicato con v IN (t) il particolare valore della tensione di ingresso per il quale il diodo D 1 cessa di condurre ed inizia ad interdirsi, si dovrà verificare quanto segue: I G vo vin ( ) o in o in 0 v v 0 v v Imponendo tale condizione nella relazione che fornisce il legame fra la tensione di uscita v O (t) e la tensione di ingresso v IN (t) si ottiene la scrittura che di seguito si esplicita: vin vin Eo vin Eo vin Eo 8 V Atteso quanto premesso, è assolutamente dimostrato l asserto che segue: t: 0 vin < vin 8 V D 1 e D sono ON v v E t : [ v 8V ] < v ( V 16 V ) D 1 è OFF e D è ON / v IN (t) in in M (figura - 4e) / o in o La rete da esaminare è mostrata nella figura 4e che, per quanto attiene il calcolo della tensione di uscita v O (t), è da ritenersi sostanzialmente del tutto equivalente alla rete riportata in figura 4b e già ampiamente esaminata. Per questo motivo si riportano le risultanze in precedenza espresse: E E vo ( ) ( ) vo 1 8 V E o o o La tensione d uscita v O (t) assume, pertanto, un valore costante. La transcaratteristica è costituita

11 da due tratti come mostrato in figura 4f e del primo tratto viene anche indicata la pendenza fornita tramite l angolo e la condizione dello stato di funzionamento dei diodi D 1 e D nei corrispondenti intervalli dei valori del segnale di ingresso oggetto di analisi. L evoluzione temporale del segnale di uscita v O (t) relativo alla transcaratteristica espressa in figura 4f, viene mostrato nella figura 4g. 8 V 4,8 V D ON D 1 OFF D ON m tag /5 arctag (/5) 1,80 v O (t) (/5) v in (t) (4/5) V IN 8 V (figura - 4f) V M 16 V V in V in V M v in (t) 8 V 4,8 V T 1 ms (figura 4g) t