Metodo delle trasformate di Laplace. Lezione 12 1

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Benedetto Marchetti
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1 Metodo delle trasformate di Laplace Lezione

2 Fasi del metodo Trasformazione della rete dal dominio del tempo al dominio di Laplace Calcolo della rete in Laplace con metodi circuitali Calcolo delle antitrasformate per le grandezze di uscita Lezione

3 Vantaggi del metodo Alcuni Vantaggi reti anche non degeneri presenza di generatori impulsivi non richiede calcolo preventivo valori iniziali grande interpetrabilità fisica Lezione 3

4 Reti nel dominio delle frequenze Lezione 4

5 Applicazioni Lezione 5

6 Rete nel dominio del tempo Calcolare v(t)=v C (t) rete nel dominio del tempo Lezione 6

7 Rete nel dominio di Laplace Condizione iniziale: v(0 ) = 0 Trasformata Laplace ingresso rete nel dominio di Laplace ( s) = V () s = sc = R + + sc scr Lezione 7

8 Risultati finali Valore iniziale: v (0 + ) = lim [ sv( s) ] = v (0 ) = 0 CR s Poli della trasformata: α = o RC Uscita P( αo) α o t v () t = e = e Q'( α ) CR o t CR Anche se la rete non è degenere, c è discontinuità dello stato per la presenza di ingresso impulsivo Lezione 8

9 Applicazioni Lezione 9

10 Rete nel dominio del tempo Calcolare v C (t) rete nel dominio del tempo Lezione 0

11 Rete nel dominio di Laplace / Q Q Condizioni iniziali: vc(0 ), (0 ) = = v vc v = = C C Non ci sono ingressi 0 0 Lezione

12 Rete nel dominio di Laplace / Millman porge: V C ( s) v 0 0 sc s s R = = sc v + + sc + R + sc ( + ) + s( C + C + src C ) Lezione C v C Rsv C v

13 Risultati finali / Valore finale: Cv + Cv Q + Q vc( ) = lim svc( s) = = C + C C + C [ ] 0 0 s 0 la carica totale si è conservata Poli della trasformata: α = 0, α = RC Lezione C 3

14 Risultati finali / Poli della trasformata: α = 0, α = RC C Uscita: P( ) P( ) v ( t) = α e + α e = v ( ) + v v ( ) e ( ) 0 αt αt αt C ' ' C C Q( α) Q( α) Lezione 4

15 Applicazioni Lezione 5

16 Rete nel dominio del tempo Calcolare v C (t)= v C (t) rete nel dominio del tempo Lezione 6

17 Rete nel dominio di Laplace / Condizioni iniziali: Q Q vc (0 ), (0 ) = = v v = = v C Non ci sono ingressi 0 C 0 C Lezione 7

18 Rete nel dominio di Laplace / Millman porge: V C ( s) v0 v0 sc + sc s s Cv + Cv = = sc + sc s C + C 0 0 ( ) Lezione 8

19 Risultati finali / Valore finale Cv + Cv Q + Q vc( ) = lim svc( s) = = C + C C + C [ ] 0 0 s 0 Valore iniziale Cv + Cv Q + Q vc(0 + ) = lim svc( s) = = C + C C + C [ ] 0 0 s Lezione 9 la carica totale si è conservata

20 Risultati finali / Poli della trasformata: α = 0 0 Uscita: P( α ) α t Cv 0+ Cv 0 Q + Q vc () t = v () C t = e = = Q'( α ) C + C C + C Lezione 0

21 Applicazioni Lezione

22 Rappresentazione Thevenin /4 Rappresentare con Thevenin nel dominio di Laplace la rete indicata in figura Lezione

23 Rappresentazione Thevenin /4 Condizioni iniziali: v (0 ) = v, i (0 ) = i C Bipolo nel dominio di Laplace 0 L 0 Lezione 3

24 Rappresentazione Thevenin 3/4 Impedenza equivalente: reso inerte il bipolo risulta: srl Z( s) = R+ + R ( sl) = R+ + sc sc R + sl Lezione 4

25 Rappresentazione Thevenin 4/4 Tensione a vuoto: usando sovrapposizione: R vo V ( s) = Li + R + sl s o o Lezione 5

26 Applicazioni Lezione 6

27 Rete nel dominio del tempo Calcolare il valore iniziale i(0+) rete nel dominio del tempo Lezione 7

28 Calcolo dati nel dominio di Laplace / Condizioni iniziali: Prima dell apertura dell interruttore: Eo 3 Eo R Eo i(0 ) = =, i(0 ) = i(0 ) = ( R+ R) R R R+ R R Lezione 8

29 Calcolo dati nel dominio di Laplace / L ingresso costituito dal generatore costante E o da luogo a: Eo Es ( ) = s Lezione 9

30 Rete nel dominio di Laplace / Utilizzando il circuito equivalente dei trasformatori risulta: Dall equazione sull unica maglia risulta: I () s = I() s = E o s ( ) ( ) + L + M i (0 ) + L + M i (0 ) ( ) R+ s L + L + M Lezione 30

31 Lezione 3 Risultato finale ( ) ( ) ( ) ( ) ) (0 ) (0 3 ) (0 ) (0 )) ( ( ) ( = = = = i i R E M L L M L M L s M L L i M L i M L s si Lim i o È richiesto solo il valore iniziale: stato discontinuo (rete degenere!) ( ) ( ) ( ) M L L s R i M L i M L s E s I o ) (0 ) (0 ) ( =

32 Applicazioni Lezione 3

33 Rete nel dominio del tempo / Calcolare la tensione v(t) sul condensatore rete nel dominio del tempo Ingresso discontinuo: et () = E Eut ( a) Lezione o o 33

34 Rete nel dominio del tempo / Ingresso discontinuo: et () = E Eut ( a) o o Lezione 34

35 Calcolo dati nel dominio di Condizioni iniziali: Laplace / Prima dell apertura dell interruttore l ingresso vale E o da molto tempo Regime stazionario: v(0 ) = E o Lezione 35

36 Calcolo dati nel dominio di Laplace / Trasformata E(s) dell ingresso et () = E Eut ( a) o o Es ( ) E o = s E s o e as Lezione 36

37 Rete nel dominio di Laplace /3 Rete nel dominio di Laplace Lezione 37

38 Rete nel dominio di Laplace /3 si ottiene (Millman): V( s) = Es ( ) v(0 ) + sc R s + sc+ R R Lezione 38

39 Rete nel dominio di Laplace 3/3 Separando il termine esponenziale: V( s) Es ( ) v(0 ) + sc R s + sc+ R R = = R + CR R s = o sr ( + R + CRRs ) Razionale fratta E Eo e Rs ( + + sc) R R Razionale fratta x esponen. Lezione 39 as

40 Risultati finali Antitrasformando: t t a τ τ R + Re R( + e ) () = o + o ( ), τ = R + R R + R vt E Eut a CR R R = Ω, R = Ω, C = F stato continuo (rete non degenere!) Lezione 40

41 Applicazioni Lezione 4

42 Rete nel dominio del tempo / Calcolare la tensione v(t) rete nel dominio del tempo Ingresso: Impulso triangolare Lezione 4

43 Rete nel dominio del tempo / Ingresso: Impulso triangolare et () = M t ut () ut ( a) a [ ] M= V, a= micro secondo Lezione 43

44 Considerazioni sulle unità di misura I valori dei parametri della rete sono tipici per non introdurre fastidiose potenze di 0 conviene utilizzare un sistema (coerente) di misure in cui: le correnti si misurano in ma le tensioni si misurano in V i tempi si misurano in micro secondi le frequenze si misurano in MHz le resistenze si misurano in Kilo ohm le induttanze si misurano in mh le capacità si misurano in nf Lezione 44

45 Calcolo dati nel dominio di Laplace / Condizioni iniziali: Prima dell apertura dell interruttore l ingresso è nullo da molto tempo Induttore e condensatore scarichi: Condizioni iniziali nulle: Lezione 45

46 Calcolo dati nel dominio di Laplace / Trasformata E(s) dell ingresso e(t) et () = M t[ ut () ut ( a) ] = tut () [ + ( t )] ut ( ) a s s + E( s) = e e + = s s s s s s Lezione 46

47 Rete nel dominio di Laplace /3 rete nel dominio di Laplace Per calcolare V(s) usare cascata di partitori di tensione Lezione 47

48 Rete nel dominio di Laplace /3 si ottiene: ( R+ ) ( sl) R V( s) = sc E( s) ( R+ ) ( sl) + R R+ sc sc Lezione 48

49 Rete nel dominio di Laplace 3/3 Separando il termine esponenziale: ( R+ ) ( sl) R V( s) = sc E( s) = ( R+ ) ( sl) + R R+ sc sc s + s = e s + s+ s + s+ Razionale fratta Razionale fratta x espon. Lezione 49

50 Antitrasformazione / Antitrasformazione Antitrasformazione: Poli complessi coniugati Residuo si ottiene: s + V( s) = s s s s s s t st Re{ Rs [ ] e } = e sin Lezione s s 50 s, j Rs [ ] = = 4s + = ± t + + j e s

51 Antitrasformazione / Antitrasformazione s + s + s+ e s fattore razionale Poli complessi coniugati Residuo si ottiene: R [ s ] e s s s = = s + Lezione 5 s, s = j ± t s + t t = + s + s+ st Re{ Rs [ ] e } e [sin cos ] t s+ s t t e e [sin + cos ] u( t ) s + s+ j

52 Risultati finali Risultato finale: t t t t t vt ( ) = e sin ut ( ) e [sin + cos ] ut ( ) Uscita discontinua (non è una variabile di stato!) Lezione 5

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