LA RISPOSTA ARMONICA DEI SISTEMI LINEARI (regime sinusoidale) S o (t)

Transcript

1 ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI CLASSE QUINTA A INF

2 LA RISPOSTA ARMONICA DEI SISTEMI LINEARI (regime sinusoidale) S i (t) Sistema LINEARE S o (t) Quando si considerano i sistemi lineari, per essi è applicabile il principio di Sovrapposizione degli effetti. Conseguenza di tutto ciò è il TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA per sistemi LINEARI: è à è S i (t) = A sen(ωt) S o (t) = A M sen(ωt + )

3 Conseguenze del TEOREMA DI FOURIER Conseguenza di ciò è che anche se il segnale (che applichiamo al sistema) non è sinusoidale, poiché le sue armoniche componenti sono segnali sinusoidali, allora per ognuna di esse si può applicare il teorema della risposta in frequenza visto prima. In ogni caso per determinare la risposta complessiva del segnale periodico f(t), basta applicare la sovrapposizione degli effetti ad ognuna delle armoniche.

4 ANALISI DEI SISTEMI LINEARI IN REGIME PERIODICO NON SINUSOIDALE Quando il sistema lineare (circuito) è sollecitato da generatori di forma d onda periodica, ma non sinusoidale, (ad esempio onda quadra, triangolare, etc.) si può dimostrare che vale ancora la teoria finora sviluppata per i sistemi in regime sinusoidale, a patto di sostituire: J s dove s è una variabile complessa: s = + j

5 LA TRASFORMATA DI LAPLACE DI UN SISTEMA LINEARE Quando si fa l analisi di un sistema lineare, quello che si fa è trasformare (mediante la cosiddetta TRASFORMATA DI LAPLACE) il sistema in uno equivalente: nella variabile j, se l ingresso è sinusoidale nella variabile s, se l ingresso è periodico non sinusoidale. v i (t) Sistema LINEARE v o (t) TRASFORMATA di LAPLACE v i (s) Sistema LINEARE v o (s) Da notare che la trasformata di Laplace opera un cambio di variabile: Dalla variabile tempo alla variabile complessa s.

6 LA TRASFORMAZIONE DI R, C e L La TRASFORMATA DI LAPLACE trasforma tutti i componenti circuitali del sistema lineare in modo molto simile a quanto visto per i sistemi in regime sinusoidale: La Resistenza R si trasforma in Z R = R La Capacità C si trasforma in Z c = 1 L induttanza L si trasforma in Z L = sl sc Da tutto ciò ne consegue che il circuito trasformato sarà costituito da impedenze nella variabile s.

7 Un esempio di circuito a cui si applica la trasformata di Laplace Facciamo adesso un esempio in cui applichiamo la trasformata di Laplace ad un sistema lineare costituito da R, C ed L, ed alimentato da un generatore di segnale periodico: TRASFORMATA di LAPLACE V 1 (s) R I (s) sl 1/sC Supponiamo di voler determinare la tensione di uscita sull induttanza L1. Da semplici calcoli, si trova: Z s = impedenza serie = R + SL + 1/sC I s = V 1(s) Z s V out s = sl I s = sl R + sl + 1/sC V 1(s)

8 LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Determiniamo il rapporto fra V out (s) e V 1 (s): V out s V 1 (s) = sl R + sl + 1/sC Come si vede, il secondo membro di questa equazione è funzione solo della variabile s (ponendo noti R, C ed L ovviamente). Si definisce FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (F.d.T) di un sistema lineare, il rapporto fra la trasformata di Laplace del suo ingresso e la trasformata di Laplace della sua uscita. In genere la F.d.T viene indicata con una lettera maiscola tipo G. G(s) = sl R + sl + 1/sC Come si vede, essa è rappresentata da un rapporto di due polinomi nella variabile s. Esempio della F.d.T del caso dell esercizio precedente: 0, 1 s G(s) = , 1 s + 104/s

9 I POLI E GLI ZERI DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Si definiscono POLI i valori della variabile s che annullano il denominatore della F.d.T. Si definiscono ZERI i valori della variabile s che annullano il numeratore della F.d.T. Esempio1: Determiniamo ad esempio i POLI e gli ZERI della seguente funzione: 10 s G(s) = s Per il numeratore: 10 s = 0 s = 0 (lo zero è uno solo e vale z=0) Per il denominatore: s = 0 s = -10 (il polo è uno e vale p = -10) Esempio2: Determiniamo ad esempio i POLI e gli ZERI della seguente funzione: s + 1 G(s) = s ( s) Per il numeratore: s + 1 = 0 s = -1 (lo zero è uno solo e vale z= -1) Per il denominatore: s ( s) = 0 s = 0, s = -1/100 = -0,01 (ci sono due poli p 1 =0, p 2 =-0,01)

10 IL TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA Vi(t) Vo(t) G(s) è è à Assegnato il segnale di ingresso Vi(t) e quindi assegnato e noto il suo valore massimo A e la pulsazione : Vi(t) = 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕) Vo(t) = 𝐀 𝑮 𝒔 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝑮(𝒔))

11 I DIAGRAMMI DI BODE DEL MODULO E DELLA FASE DI F.D.T. é A titolo di esempio, le due figure rappresentano i diagrammi di Bode di una F.d.T. arbitraria:

12 SCALA LOGARITMICA DEI DIAGRAMMI DI BODE à Ad esempio: per =1 rad/s, calcolando log( )=log(1)=0 per =10 rad/s, calcolando log( )=log(10)=1 per =100 rad/s, calcolando log( )=log(100)=2 per =1000 rad/s, calcolando log( )=log(1000)=3

13 IL DECIBEL NEI DIAGRAMMI DI BODE à è G j db = 20 log Ad esempio: per G(j ) = 10 G(j ) db = 20 db (20 log(10) = 20 1 = 20) per G(j ) = 100 G(j ) db = 40 db (20 log(100) = 20 2 = 40)