Tracciamento dei Diagrammi di Bode

Transcript

1 Tracciamento dei Diagrammi di Bode L. Lanari, G. Oriolo Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Sapienza Università di Roma October 24, 24

2 diagrammi di Bode rappresentazioni grafiche separate del modulo W (jω) e della W (jω) del numero complesso W (jω) al variare di ω (, + ) essendo Im[W(j!)] Im W(j!) W(j!) W(j!) Re[ W(j!) ] Re (/W (jω)) = W (jω) ( ) le fasi di /W (jω) si ottengono ribaltando quelle di W (jω) sia W (s) = W (s) W 2 (s); essendo (W (jω) W 2 (jω)) = W (jω) + W 2 (jω) ( ) le fasi di W (jω) si ottengono sommando quelle di W (jω) e W 2 (jω) Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode

3 il modulo W (jω) non gode di proprietà come le ( ),( ) si passa al logaritmo; in particolare, il modulo si esprime in decibel (db) W (jω) db = 2 log W (jω) essendo /W (jω) db = W (jω) db ( ) i moduli in db di /W (jω) si ottengono ribaltando quelli di W (jω) sia W (s) = W (s) W 2 (s); essendo W (jω) W 2 (jω) db = W (jω) db + W 2 (jω) db ( ) i moduli in db di W (jω) si ottengono sommando quelli di W (jω) e W 2 (jω) alcuni valori notevoli. db = 2, db =, db = 2, db = 4, 2 db 3 Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 2

4 le pulsazioni vengono riportate sull asse delle ascisse usando una scala logaritmica in base decade decade 2!.5.5 la funzione log (x) è lineare in tale scala log! ! (scala logaritmica) i diagrammi di alcune funzioni elementari (fattori monomio, binomio e trinomio, vedi più avanti) assumono una forma particolarmente semplice un altro vantaggio derivante dall adozione delle scale logaritmiche (in ascissa per le pulsazioni, e in ordinata per i moduli) è ovviamente la possibilità di rappresentare ampi intervalli di variazione delle grandezze Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 3

5 forma di Bode della risposta armonica W (jω) = costante monomi binomi trinomi monomi binomi trinomi contiene 4 tipi di fattori elementari costante k monomio jω proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore) in s = binomio + jωτ proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore) reale in /τ trinomio + 2ζjω/ω n + (jω) 2 /ωn 2 proviene da una coppia di zeri (se a numeratore) o di poli (se a denominatore) complessi coniugati in a ± jb, con ω n = a 2 + b 2 e ζ = a/ω n Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 4

6 fattore costante k sul piano complesso (e.g., k =, k 2 =.5, k 3 = ) k3 Im k2 k Re modulo Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 5

7 fattore monomio a numeratore jω Im sul piano complesso! 9 o e si ha jω db = 2 log ω Re 4 modulo Modulo (db) db/dec Pulsazione (rad/s) Pulsazione (rad/s) Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 6

8 dalle ( ), ( ) si ha fattore monomio a denominatore /jω 4 modulo Modulo (db) db/dec Pulsazione (rad/s) Pulsazione (rad/s) Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 7

9 fattore binomio a numeratore + jωτ Im > Im < sul piano complesso! oppure Re Re! modulo: + jωτ db = 2 log + ω 2 τ 2 ; essendo si ha + jωτ db + ω 2 τ 2 se ω / τ ω τ se ω / τ se ω / τ 2 log ω + 2 log τ se ω / τ queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha proprio in corrispondenza alla pulsazione di rottura / τ e vale + jτ/ τ db = 2 log 2 3 Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 8

10 : procedendo in modo analogo si ha + jωτ se ω / τ 9 ( 9 ) se ω / τ e τ > (τ < ) questi due asintoti vengono raccordati da un segmento che parte da./ τ e termina in / τ ; il diagramma asintotico della è quindi costituito da una spezzata a tre lati nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha in corrispondenza alle pulsazioni./ τ e / τ, e vale circa ±6 Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 9

11 fattore binomio a numeratore + jωτ 4 modulo Modulo (db) per τ > per τ < Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode

12 fattore binomio a denominatore /( + jωτ) dalle ( ), ( ) si ha -3 modulo Modulo (db) per τ > per τ < Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode

13 fattore trinomio a numeratore + 2ζjω/ω n + (jω) 2 /ω 2 n ³ 3 ³ ³ ³ > > > 3 2 Im sul piano complesso ³ 2 ³ ³ ³ = - Re modulo: essendo + 2 ζ (jω) + (jω)2 ω n ω 2 n = ω2 ω 2 n + j2ζ ω ω n = ( ω2 ω 2 n ) 2 + 4ζ 2ω2 ω 2 n si ha + 2 ζ (jω) + (jω)2 ω n ω 2 n se ω ω n ω 2 ω 2 n se ω ω n Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 2

14 da cui + 2 ζ (jω) + (jω)2 ω n ωn 2 db se ω ω n 4 log ω 4 log ω n se ω ω n queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo nota: lo scostamento tra il diagramma reale e quello asintotico in corrispondenza alla pulsazione naturale ω n vale 2 log 2 ζ dipende da ζ! e.g., per ζ = lo scostamento in db vale, per ζ =.5 vale, per ζ = vale 6 se ζ < / 2.77, il modulo di un fattore trinomio a numeratore ha un picco negativo (antirisonanza) in prossimità della pulsazione naturale, tanto più accentuato quanto minore è ζ Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 3

15 : procedendo in modo analogo si ha ( + 2 ζ ω n (jω) + (jω)2 ω 2 n ) se ω ω n 8 ( 8 ) se ω ω n e ζ > (ζ < ) la transizione tra questi due valori avviene in modo simmetrico rispetto alla pulsazione naturale ω n, e tanto più bruscamente quanto minore è ζ ; in particolare, per ζ = si ha una discontinuità nel diagramma delle fasi in corrispondenza a ω n nota: non esiste un diagramma asintotico per la del termine trinomio Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 4

16 fattore trinomio a numeratore 6 modulo al variare di ζ (antirisonanza per ζ <.77) Modulo (db) ! n! n.! n al variare di ζ ! n! n! n al variare di ζ ! n ! n! n Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 5

17 fattore trinomio a denominatore dalle ( ), ( ) si ha 6 modulo al variare di ζ (risonanza per ζ <.77) Modulo (db) ! n ! n! n al variare di ζ al variare di ζ ! n ! n! n ! n! n! n Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 6