Diagrammi di Bode e polari

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1 Marzo - Giugno Automation Robotics and System CONTROL Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica DIAGRAMMI DI BODE Cesare Fantuzzi ([email protected]) Cristian Secchi ([email protected]) Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia e polari Im{F()} Nyquist Diagram Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo: Imaginary Axis - arg{f()} Re{F()} F() Magnitude (db) Phase (deg) arg{f()} Tre possibili rappresentazioni! Marzo - Giugno Bode Diagram Frequency (rad/sec) F() Open-Loop Gain (db) F() φ() Real Axis Nichols Chart F() Open-Loop Phase (deg) arg{f()} Cesare Fantuzzi Pag.

2 Marzo - Giugno Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi: diagramma delle ampiezze o dei moduli o diagramma α, che riporta il logaritmo (in base ) del modulo della risposta armonica, espresso in Decibel. diagramma delle fasi o degli argomenti o diagramma β, che riporta l'argomento della risposta armonica. entrambi sono in funzione del (logaritmo in base ) della pulsazione. Marzo - Giugno 3 Diagrammi delle Ampiezze e delle Fasi jarg( F( )) G ( j) = F( ) = F( ) e F ( ) Diagramma delle ampiezze : α Magnitude (db) Bode Diagram arg( F( )) Diagramma delle fasi : β Phase (deg) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 4 Cesare Fantuzzi Pag.

3 Marzo - Giugno Perché usare una scala logaritmica Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi (a, b, c, q) complessi e (k,, q) interi si ha che Marzo - Giugno 5 Il Decibel Il decibel è un'unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere il guadagno di amplificatori (quindi una grandezza adimensionale). Un amplificatore di guadagno A (rapporto fra le ampiezze del segnale di uscita e del segnale di ingresso) si dice anche che ha un guadagno di B db, con Marzo - Giugno 6 Cesare Fantuzzi Pag. 3

4 Marzo - Giugno Vantaggi della scala logaritmica Rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi; Sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi; Costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore. Marzo - Giugno 7 Somma di diagrammi elementari Il fattore s h corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è h= Nei casi di interesse nell'ambito dei controlli automatici l'amplificazione comprende di regola la frequenza zero, cioè la frequenza zero o componente continua rientra nella banda passante della catena, per cui si esclude la presenza di uno zero nell'origine. Forma fattorizzata in cui sono messi in evidenza i poli e gli zeri. Marzo - Giugno 8 Cesare Fantuzzi Pag. 4

5 Marzo - Giugno Forma con costanti di tempo Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati, in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene che equivale alla forma con costanti di tempo in cui è Marzo - Giugno 9 Funzione di risposta armonica Ponendo s = j, si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica La costante K è detta costante di guadagno. Per h =, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della funzione di risposta armonica per = Per h =, la costante K si chiama anche costante di velocità Per h =, la costante K si chiama anche costante di accelerazione Marzo - Giugno Cesare Fantuzzi Pag. 5

6 Marzo - Giugno Scomposizione in funzioni elementari Si è ottenuto Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi, corrispondenti a funzioni elementari dei tipi: è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva. Marzo - Giugno Costante K positiva I diagrammi di Bode delle ampiezze hanno l'andamento rappresentato in figura; il diagramma delle fasi è identicamente nullo. Costante K negativa Cambia il diagramma delle fasi, che è identicamente uguale a -π.. G(j)=K K (db) arg(k) k > k < ln() [rad/sec] k> k< Marzo - Giugno Cesare Fantuzzi Pag. 6

7 Marzo - Giugno. G(j )=(j ) -h Log G( j) = Log = hlog j = hlog( h j Ponendo x = Log ( ) Si ottiene hlog ( ) = hx ) /(j) (db) arg(/(j )) ln() [rad/sec] /(j) (db) arg(/(j )) ln() [rad/sec] Marzo - Giugno 3 3. G(j)= (+j τ) ± Nel caso di G(j ) = ( + j τ) - /(+jτ) (db) arg(/(+j τ)) log() [rad/sec] (+jτ) (db) arg(+j τ) log() [rad/sec] Marzo - Giugno 4 Cesare Fantuzzi Pag. 7

8 Marzo - Giugno Diagrammi approssimati Impiegamo diagrammi di Bode approssimati a forma di spezzata. Sia data: G( j) = ( + jτ ) G( j) = ( + jτ ) = + ( τ ) Log + τ G( j ) = Log ( ) Marzo - Giugno 5 τ Diagrammi approssimati lim Log + ( τ ) = << << Log + ( τ ) τ Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Il diagramma coincide con l asse delle ascisse Marzo - Giugno 6 Cesare Fantuzzi Pag. 8

9 Marzo - Giugno Diagrammi approssimati >> /τ τ >> >> Log + ( τ ) Log( τ ) τ Log( τ ) = Log Log τ Il diagramma viene a coincidere con la retta passante per il punto log = Log (/τ) e di inclinazione - db/decade Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 7 Diagrammi approssimati Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) L'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette Marzo - Giugno 8 Cesare Fantuzzi Pag. 9

10 Impossibile visualizzare l'immagine. Controlli Automatici e Azionamenti Marzo - Giugno Errore di approssimazione L'errore massimo di questa approssimazione si ha per = /τ e vale Log 3 db per << /τ Log >> / τ - Log per / τ /(+j) (db) Log 3 db - -5 Marzo - Giugno arg( ) = arg( + jτ ) = arctan( τ ) + jτ Diagramma delle Fasi = τ = = 45 + s >> τ gradi = Marzo - Giugno fase rad/sec Cesare Fantuzzi Pag.

11 Marzo - Giugno Diagrammi delle fasi Approssimazione con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti β= e β = -π/ con la tangente al diagramma nel punto βcorrispondente alla pulsazione = /τ, in cui è β = π/4. gradi fase Marzo - Giugno - - a b rad/sec Diagrammi delle Fasi Come determinare a e b? β = arctanτ dβ dβ d τ = = = dlog d dlog + ( τ ) Loge Log e Pendenza della tangente in Loge Marzo - Giugno Cesare Fantuzzi Pag.

12 Marzo - Giugno Infatti Per la proprietà della derivata della funzione arctan dβ d(arctanτ ) = = d d + ( τ ) Per la proprietà della derivata della funzione logaritmo (derivata dalla proprietà della derivata del logaritmo naturale) dlogτ = Log d τ e Marzo - Giugno 3 Diagramma delle Fasi le pulsazioni a e b si determinano, in funzione della pulsazione corrispondente al punto di rottura del diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la relazione π / 4 π / 4 = = Log Loga Logb Log Loge Log = Log a b π = Log e b π = = Log( Loge) = 4,8 a a b = 4,8 = 4,8 Marzo - Giugno 4 Cesare Fantuzzi Pag.

13 Marzo - Giugno Diagrammi per termimi (+τs) - Pendenza o db gradi - ampiezza - - fase rad/sec Pendenza - (- db/decade) Marzo - Giugno 5 /τ a = / 4.8 b = * o Diagrammi per termimi (+τs) Pendenza db - ampiezza Pendenza ( db/decade) - - o gradi fase - - rad/sec Marzo - Giugno a = / 4.8 b = * o 6 Cesare Fantuzzi Pag. 3

14 Marzo - Giugno Digrammi per τ< Per valori della costante di tempo τ < in entrambi i casi: il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per = / τ, il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse. Marzo - Giugno 7 Un Esempio k = G( s) = + s G ( s) =. 5s + db gradi ampiezza fase rad/sec G3( s) = +.s Marzo - Giugno rad/sec 8 Cesare Fantuzzi Pag. 4

15 Marzo - Giugno Consideriamo il caso in cui δ < se δ =, le radici sarebbero reali e il termine di secondo grado sarebbe il prodotto di due termini di primo grado. Si fa riferimento all'esponente -, data la natura logaritmica dei diagrammi, se l'esponente valesse + basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse. Log G( j) = Log n δ n argg( j) = arctan n + 4δ n Marzo - Giugno 9 Diagrammi approssimati per n << Log n Bode Diagram + 4δ n Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Il diagramma coincide con l asse delle ascisse Marzo - Giugno 3 Cesare Fantuzzi Pag. 5

16 Marzo - Giugno per >> Log n Diagrammi approssimati >> n Log + 4δ n n In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per δ = e in corrispondenza della pulsazione di rottura n, lo scostamento è infinito Bode Diagram 4Log n 4Log n Il diagramma ha una inclinazione -4 db/decade Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 3 = n per = Log = Log = Log n 4δ δ + 4δ n n Marzo - Giugno 3 Cesare Fantuzzi Pag. 6

17 Marzo - Giugno Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per Per Per Per la curva presenta un massimo; la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto = n ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica; la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto = n ; la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Marzo - Giugno 33 Diagrammadelleampiezzeper diversi valori di δ. δ =. G(j ) δ = δ = log() [rad/sec] Marzo - Giugno 34 Cesare Fantuzzi Pag. 7

18 Marzo - Giugno Picco di risonanza, Pulsazione di risonanza Il picco di risonanza M R è il valore massimo assunto dal diagramma delle ampiezze. La pulsazione di risonanza R è la pulsazione alla quale esso si verifica. picco di risonanza δ =. G(j ) - δ = δ =.5 pulsazione di risonanza - log() [rad/sec] Marzo - Giugno 35 Per il calcolo di M R e R conviene, per semplicità, porre u = / n. Log G ( j ) = Log ( u ) + 4δ u Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene Marzo - Giugno 36 Cesare Fantuzzi Pag. 8

19 Marzo - Giugno Si è ottenuto Noto il valore di R, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del picco di risonanza M R, come il modulo della funzione di risposta armonica per = R. Si ricava: Andamento del picco di risonanza M R in funzione del coefficiente di smorzamento δ. M R Marzo - Giugno δ Diagramma delle fasi in funzione di δ δ =.5 δ =. - δ = -4-6 δ = arg[g(j )] log() [rad/sec] Marzo - Giugno 38 Cesare Fantuzzi Pag. 9

20 Marzo - Giugno Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli asintoti β = e β = -8 con un segmento inclinato come la tangente al diagramma effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura n.in cui β=-9 Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di δ. Per il calcolo dell'approssimazione asintotica calcoliamo il valore della tangente al diagramma delle fasi in = n : dβ dlog = n dβ du du dlog = u= = δlog e Marzo - Giugno 39 Le pulsazioni a e b sono legate alla pulsazione di rottura n dalla relazione π / π / = = Log Log Log Log δlog e dalla quale si ottiene cioè n a b n Log n = Log a b πδloge = n n b = = 4,8 a n δ δ a = (4,8 ) n δ b = (4,8 ) n Marzo - Giugno 4 Cesare Fantuzzi Pag.

21 Marzo - Giugno In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omega a (oppure la b ) in rapporto alla n, basta: riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di ascissa e quello di ascissa 4.8 moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per δ (ad esempio, se è δ =.5, si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto). log( a ) log( n ) log( b ) log() [rad/sec] Marzo - Giugno 4 La pulsazione naturale n, uguale al modulo delle radici complesse coniugate cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa n > sempre Il coefficiente di smorzamento δ può essere invece negativo: δ < In questo caso: il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per uno smorzamento pari a δ il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse. Marzo - Giugno 4 Cesare Fantuzzi Pag.

22 Marzo - Giugno Casocon δ < Diagramma delle ampiezze: non cambia Diagramma delle fasi: ribaltato attorno all asse Marzo - Giugno 43 per il termine di secondo ordine δ - -4 δ G(j ) - arg[g(j )] log() ln( [rad/sec] ) -8 δ =.,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,,.,.5, log() ln( [rad/sec] ) 44 Marzo - Giugno Cesare Fantuzzi Pag.

23 Marzo - Giugno G(j ) arg[g(j )] 8 - log() ln( [rad/sec] ) Picco di attenuazione δ 6 4 ln( ) log() [rad/sec] δ Si ribaltano attorno all'asse delle ascisse i diagrammi ottenuti per Marzo - Giugno 45 Margini di Stabilita Il diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi valutano quanto un sistema guadagna e ritada in fase rispetto ad un segnale sinusoidale di ingresso. Se il sistema e chiuso in retroazione un guadagno elevato o uno sfasamento eccessivo comportano comportamenti dinamici vicini alla instabilita. Si definiscono due parametri detti Margini di Stabilita che misurano la cosiddetta stabilita relativa dei sistemi in retroazione. Marzo - Giugno 46 Cesare Fantuzzi Pag. 3

24 Marzo - Giugno Margine di Ampiezza Il Margine di Ampiezza MA e l inverso del modulo del guadagno di anello alla pulsazione corrispondente alla fase π (detta pulsazione di fase Pi Greco). 5 Bode Diagram Gm = 6.8 db (at.5 rad/sec), Pm = 67 deg (at.436 rad/sec) Magnitude (db) MA Phase (deg) Marzo - Giugno Frequency (rad/sec) 47 Margine di Fase Il Margine di Fase MF e l angolo che occorre sottrarre alla fase (normalmente negativa) del guadagno di anello alla pulsazione i corrispondente al valore unitario del modulo (detta pulsazione di intersezione o di incrocio) per ottenere il valore π Il nome della pulsazione fa riferimento al diagramma di Bode delle Ampiezze, che in corrispondenza di essa interescano l asse delle ascisse. Marzo - Giugno 48 Cesare Fantuzzi Pag. 4

25 Marzo - Giugno Margine di Fase 5 Bode Diagram Gm = 6.8 db (at.5 rad/sec), Pm = 67 deg (at.436 rad/sec) Magnitude (db) MF Phase (deg) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 49 Sessione Matlab >> Gs=tf(,[ 3 3 ]) Transfer function: s^3 + 3 s^ + 3 s + >> margin(gs) Marzo - Giugno 5 Cesare Fantuzzi Pag. 5

26 Marzo - Giugno Margine di Guadagno Bode Diagram Gm = 8. db (at.73 rad/sec), Pm = -8 deg (at rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 5 >> simulink Marginedistabilitàe risposta all impulso Marzo - Giugno 5 Cesare Fantuzzi Pag. 6

27 Marzo - Giugno Incrementiamo di il guadagno del sistema >> Gs=tf(,[ 3 3 ]) % Incrementiamo di il guadagno Transfer function: s^3 + 3 s^ + 3 s + >> margin(gs) Marzo - Giugno 53 Margine di guadagno Bode Diagram Gm = -.94 db (at.73 rad/sec), Pm = -7.3 deg (at.9 rad/sec) Magnitude (db) Il margine di Guadagno è negativo: -.94 db Phase (deg) Frequency (rad/sec) Marzo - Giugno 54 Cesare Fantuzzi Pag. 7

28 Marzo - Giugno Il sistema in retroazioneè instabile Marzo - Giugno 55 Assignment 7. Graficare i diagrammi di bode per i sistemi: Marzo - Giugno 56 Cesare Fantuzzi Pag. 8

29 Marzo - Giugno Sommario I diagrammi di Bode sono i grafici della funzione della risposta armonica. Si dividono in Diagramma delle fasi e Diagrammi delle Ampiezze. I diagrammi sono in scala logaritmica, in questo modo è possibile costruire diagrammi complessi come somma di diagrammi semplici. Abbiamo visto alcune regole di tracciamento che utilizzano approssimazioni per spezzate. Marzo - Giugno 57 Cesare Fantuzzi Pag. 9