Diagrammi Di Bode. Prof. Laura Giarré

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1 Diagrammi Di Bode Prof. Laura Giarré

2 Diagrammi di Bode e polari Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale Nyquist Diagram 5 del tipo: Im{F( )} Imaginary Axis 1-1 arg{f( )} Re{F( )} Tre possibili rappresentazioni! F( ) Magnitude (db) Phase (deg) arg{f( )} -45 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Real Axis Bode CA Prof. Laura Giarré F( ) Open-Loop Gain (db) F( ) ( ) Nichols Chart F( ) Open-Loop Phase (deg) arg{f( )}

3 Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze. Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode. Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi: diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica; diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica. Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione. Bode CA Prof. Laura Giarré

4 Diagrammi di Bode Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo): Funzione di risposta armonica associata: 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati CA Prof. Laura Giarré Bode 4

5 Diagrammi di Bode Il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi (a, b, c, q) complessi e (k,, q) interi si ha che Bode CA Prof. Laura Giarré 5

6 Diagrammi di Bode I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono: Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi; Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi; Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore. Bode CA Prof. Laura Giarré

7 Diagrammi di Bode espressa in decibel: (db) Diagramma logaritmico (gradi) Frequenze (rad/sec) Diagramma semi logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rappresentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi) Bode CA Prof. Laura Giarré

8 Diagrammi di Bode Termini elementari Termini elementari CA Prof. Laura Giarré Bode 8

9 Termini elementari guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all asse delle ascisse) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità CA Prof. Laura Giarré Bode 9

10 Guadagno statico se se se se se CA Prof. Laura Giarré Bode 1

11 Zero nell origine Pendenza 2 db/decade Bode CA Prof. Laura Giarré 11

12 Polo nell origine Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Pendenza -2 db/decade Bode CA Prof. Laura Giarré 12

13 Zero reale se se Pendenza 2 db/decade (valore assoluto dello zero) CA Prof. Laura Giarré Bode 13

14 Zero reale: fase Caso se se Pendenza al punto di flesso Punto di flesso CA Prof. Laura Giarré Bode 14

15 Zero reale: fase Caso se se NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all asse CA Prof. Laura Giarré Bode 15

16 Polo reale Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Bode CA Prof. Laura Giarré 16

17 Zeri complessi coniugati: ampiezza Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di Pendenza 4 db/decade (pulsazione naturale della coppia di zeri cc) Bode CA Prof. Laura Giarré 17

18 Zeri complessi coniugati: ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Il valore minimo è alla frequenza e vale Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal segno di Bode CA Prof. Laura Giarré 18

19 Zeri complessi coniugati: ampiezza Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un minimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica; Per Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica. 4 Bode Diagram Magnitude (db) Bode CA Prof. Laura Giarré 19 Frequency (rad/sec)

20 Zeri complessi coniugati: fase Caso se se Tangente al punto di flesso Bode CA Prof. Laura Giarré 2

21 Zeri complessi coniugati: fase Caso se se Bode CA Prof. Laura Giarré 21

22 Poli complessi coniugati Poli complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Il valore massimo è alla frequenza e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente Bode CA Prof. Laura Giarré 22

23 Poli complessi coniugati Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l asse delle frequenze per il diagramma delle fasi Bode CA Prof. Laura Giarré 23

24 Poli complessi coniugati: ampiezza Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un massimo; Per Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica; la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto Per 1 la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di Bode Diagram sotto della sua approssimazione asintotica. 5-5 Magnitude (db) Bode Frequency (rad/sec) CA Laura Giarré Prof. 24

25 Poli complessi coniugati: risonanza Il valore di picco alla frequenza viene detto picco di risonanza Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Bode CA Prof. Laura Giarré 25

26 Zeri complessi coniugati: risonanza Il valore di minimo alla frequenza viene detto picco di attenuazione Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Bode CA Prof. Laura Giarré 26

27 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Bode CA Prof. Laura Giarré 27

28 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Bode CA Prof. Laura Giarré 28

29 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Bode CA Prof. Laura Giarré 29

30 Ritardo temporale Modulo Argomento Bode CA Prof. Laura Giarré 3