I diagrammi di Bode. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Controlli Automatici L

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1 Diagrammi di Bode - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica I diagrammi di Bode DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode - 2 Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo) Funzione di risposta armonica associata 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati

3 Diagrammi di Bode - 3 Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà esre eguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo e possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi complessi e interi si ha che

4 Diagrammi di Bode - 4 fattori elementari fattori elementari

5 Fattori elementari Diagrammi di Bode - 5 Ampiezza Fa guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri mplicemente cambiando gno (ribaltamento attorno all as delle ascis) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono mplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità

6 Diagrammi di Bode - 6 Ampiezza espressa in decibel: Ampiezza (db) Magnitude (db) Bode Diagram Diagramma logaritmico Fa (gradi) Pha (deg) Frequenze (rad/c) Diagramma mi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rapprentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi)

7 Guadagno statico Ampiezza Diagrammi di Bode - 7 Fa 2 Bode Diagram Magnitude (db) Pha (deg)

8 Zero (polo) nell origine Ampiezza Diagrammi di Bode - 8 Fa 4 Bode Diagram pendenza Magnitude (db) Pha (deg)

9 Diagrammi di Bode - 9 Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 4 Bode Diagram pendenza Magnitude (db) Pha (deg)

10 Zero (polo) reale Ampiezza Diagrammi di Bode - 1 Fa NB: andamento indipendente dal gno di 4 3 Bode Diagram pendenza 2 Magnitude (db) (valore assoluto dello zero)

11 ..fa: caso Diagrammi di Bode Pha Diagram Tangente al punto di flesso Semiretta a 1 8 Punto di flesso Pha (degree) diagr. approx diagr. reale

12 ..fa: caso Diagrammi di Bode - 12 NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all as Pha Diagram 2 Punto di flesso -2 Pha (degree) diagr. approx diagr. reale

13 Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis Diagrammi di Bode Bode Diagram 2 Bode Diagram 1 1 Magnitude (db) Pha (deg)

14 Zeri (poli) c.c. Diagrammi di Bode - 14 Ampiezza Magnitude Diagram Pendenza Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di ) Magnitude (db)

15 ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Diagrammi di Bode - 15 Il valore del minimo è alla frequenza e vale Magnitude Diagram Magnitude (db) Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal gno di

16 Fa: caso Diagrammi di Bode Pha Diagram 2 Tangente al punto di flesso Pha Diagram Pha (degree) Pha (degree) Frequancy (rad/c) Diagramma approssimato

17 Fa: caso Diagrammi di Bode - 17 Pha Diagram Pha Diagram -2-4 Pha (degree) Pha (degree)

18 Diagrammi di Bode - 18 Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 6 Bode Diagram Il valore del massimo è alla frequenza Magnitude (db) e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente Pha (deg)

19 Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l as delle frequenze per il diagramma delle fasi Diagrammi di Bode Bode Diagram 4 Magnitude (db) Pha (deg)

20 Il valore di picco alla 6 Bode Diagram Diagrammi di Bode frequenza PICCO DI RISONANZA viene detto Magnitude (db) Pha (deg) Fisicamente rapprenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA

21 Il valore di minimo alla 6 4 Bode Diagram Diagrammi di Bode - 21 frequenza viene detto Magnitude (db) 2-2 PICCO DI ATTENUAZIONE Pha (deg) Fisicamente rapprenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA

22 Tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (db) (db) (deg) (deg) (rad/c) (rad/c) (db) (db) -2-2 (deg) (rad/c) (deg) (rad/c)

23 .Tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (db) (db) (deg) (deg) (rad/c) (rad/c) (db) (db) -2-2 (deg) (rad/c) (deg) (rad/c)

24 .Tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (db) (db) (deg) (deg) (rad/c) (rad/c) 2 2 (db) (db) (deg) (deg) (rad/c) (rad/c)