Progetto di reti ritardatrici

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1 Reti ritardatrici- 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Progetto di reti ritardatrici DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 Reti ritardatrici Reti ritardatrici- 2 5 Effetto utile: attenuazione ad alta frequenza con sfasamento trascurabile errore

3 Ruolo dei parametri Reti ritardatrici- 3 Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di attenuazione massimo Variando il parametro si varia il livello di attenuazione massima lasciando fisso il punto di intervento fissato fissato

4 Caratteristiche significative Reti ritardatrici- 4 5 Cerchiamo di valutare l errore che si commette confondendo la rete con una attenuazione di senza sfasamento per dove Entità dello sfasamento residuo Errore approssimazione attenuazione ~ una decade dallo zero Nota: dipendono da

5 Entità dello sfasamento residuo Reti ritardatrici gradi A ~ una decade dalla pulsazione di intervento dello zero la fase residua è < -5 o

6 Errore approssimazione attenuazione Reti ritardatrici Sopra la pulsazione di intervento dello zero l errore è sempre < 1 db

7 Tuning pratico della rete Reti ritardatrici- 7 Come visto nella parte precedente, il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase Dati del problema Sistema esteso Pulsazione di attraversamento desiderata Problema: Trovare i parametri della rete che assicurano una pulsazione di attraversamento di pari a e Algoritmo Livello di attenuazione Step 1: Calcolare Step 2: Calcolare in modo che in modo che Lo zero una decade prima di

8 Esempio tuning pratico Reti ritardatrici- 8 5 Gm = db (at 1.1e+3 rad/sec), Pm = deg (at 1.38e+3 rad/sec) Gm = 13.5 db (at 1.6e+3 rad/sec), Pm = 55 deg (at 43 rad/sec) Il margine di fase imposto è 5 o gradi in meno rispetto a quello desiderato (vedi grafico entità sfasamento residuo )

9 .Esempio tuning pratico Reti ritardatrici- 9 Scegliendo basse: in modo da piazzare lo zero a frequenze ancora più 5 Gm = 13.9 db (at 1.8e+3 rad/sec), Pm = 58.5 deg (at 42 rad/sec) Il valore della fase di è più simile a quello di rispetto al caso precedente. Il margine di fase è più prossimo al valore limite di 6 o

10 Formule di inversione Reti ritardatrici- 1 L obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati. Nota: La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per deve essere maggiore di ( margine di fase desiderato). Queste sono tuttavia le condizioni tipiche dello scenario A Passo intermedio: Dati valori desiderati (con ) identificare delle formule per trovare della rete che alla pulsazione attenui di e sfasi di

11 Reti ritardatrici- 11 I valori di che garantiscono una attenuazione pari a e uno sfasamento (con e ) per sono Infatti: ovvero che e equivalente a (uguagliando parte reale e immaginaria) che risolta restituisce le formule precedenti

12 Reti ritardatrici- 12 Warning: Non tutti gli sfasamenti e le attenuazioni possono essere arbitrariamente ottenuti con e. Infatti, mentre è facile verificare che e garantiscono che e, si ha che

13 Dati del problema Imposizione del margine di fase mediante formule di inversione Reti ritardatrici- 13 Sistema esteso Pulsazione di attraversamento desiderata e margine di fase desiderato Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice Step 1: Calcolare e (lettura diagramma Bode) Step 2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) Scenario A (ovvero che ) Step 3: Calcolare mediante le formule di inversione

14 Esempio Reti ritardatrici- 14 specifiche 5 Gm = db (at 1.1e+3 rad/sec), Pm = deg (at 1.38e+3 rad/sec) Sistema non compensato Sistema compensato

15 Procedura Matlab function [alpha,tau]=progettarr(num,den) Bode(Num,Den); grid; [Wcd,PAd]=ginput(1); disp('margine di fase desiderato: ') MFd=18+PAd disp('pulsazione di attraversamento desiderata: ') Wcd Reti ritardatrici- 15 Immissione mediante mouse del valore desiderato di per (e quindi immissione di ) [M,P,W]=Bode(Num,Den); [V,i]=min(abs(W-Wcd)); GeWcd=M(i); ArgGeWcd=P(i); Pd=-18+MFd-ArgGeWcd; Md=1/GeWcd; Pd=Pd*pi/18; if (Md>1 Pd> cos(pd)<md) disp('studia!'); return; end Calcolo di Check realizzabilità delle specifiche mediante rete ritardatrice tau=(cos(pd)-1/md)/(wcd*sin(pd)); alpha=(md-cos(pd))/(wcd*sin(pd))/tau; Formule di inversione

16 Esempio (code di assestamento) Reti ritardatrici- 16 specifiche 4 2 possibile scelta La dinamica che ci si aspetta in retro e quella di una coppia cc con

17 .Esempio (code di assestamento) Reti ritardatrici Zoom sistema compensato 5.86 Root Locus Ramo dovuto al regolatore Imaginary Axis Real Axis 2 Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1. Coppia di poli cc 2. Coppia polo-zero reale molto vicini (quasi cancellazione!!)

18 .Esempio (code di assestamento) Reti ritardatrici- 18 Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2 o ordine con pari guadagno statico e 1.4 Step Response Amplitude.8.6 zoom Step Response.4 Amplitude Coda di assestamento Time (sec) Time (sec)

19 Effetti collaterali introdotti dallo zero Reti ritardatrici- 19 La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze: 1) La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all asse immaginario rispetto alla dinamica dominante Esempio precedente possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi 2) Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione) Zero-polo della rete possibili code di assestamento

20 Effetto dello zero in reti ritardatrici: un rimedio Reti ritardatrici- 2 La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso Esempio precedente: Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e

21 un rimedio fissato Reti ritardatrici- 21 L idea nel tuning del polo e quella di prendere la sua posizione sufficientemente a sx (ovvero sufficientemente piccolo) al fine di avere Occorre poi valutare l effetto dello sfasamento introdotto per Nota: una volta fissato (eseguendo la cancellazione) e (imponendo la pulsazione di attraversamento ) è possibile trovare l entità dello sfasamento residuo mediante il grafico a fianco con

22 un rimedio Reti ritardatrici- 22 Algoritmo Step 1 Fissare in cancellazione con il polo del plant (cancellando il primo polo prima della frequenza di attraversamento desiderata) Step 2 Fissare ( e di conseguenza ) in modo che Step 3 Verificare il margine di fase per il sistema compensato valutando l effetto dello sfasamento residuo della rete ovvero verificando che fissando eventualmente un valore di (e quindi di ) diverso ma compatibile con l intervallo di specifica

23 Esempio progetto per cancellazione Reti ritardatrici- 23 specifiche possibili scelte Cancellazione

24 ...Esempio Reti ritardatrici- 24 Violato (di poco) 4 Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 47.8 deg (at 1.5 rad/sec) 4 Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 69.4 deg (at 4.39 rad/sec)

25 ...Esempio Reti ritardatrici- 25 Valutando la risposta al gradino: senza cancellazione 1 con cancellazione Step Response Step Response Amplitude zoom Amplitude Time (sec) Time (sec)