Controlli Automatici LB Regolatori PID

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1 Parte 2 Regolatori standard e Metodi di taratura Regolatori industriali Proporzionale-Integrale (PI) Proporzionale-Integrale-Derivativo (PID) Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Regolatore Proporzionale Integrale (PI) metodi di progetto analitici 3. metodi di progetto analitici 4. Riferimenti Bibliografici Indice Prof. Carlo Rossi - 2 Risultati dell'analisi di Scenario tipologie di regolatori individuate con poli nell'origine Scenario A Scenario B Nella forma più generale Regolatore PI Regolatore PID Prof. Carlo Rossi - 3 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 1

2 Risultati dell'analisi di Scenario tipologie di regolatori individuate con poli nell'origine Scenario A Scenario B Nella forma più generale Regolatore PI Regolatore PID non fisicamente realizzabile Prof. Carlo Rossi Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Im diagramma di Bode e ruolo dei parametri -2 K p =1; =1 K p >1; =1 K p =1; >1-4 due effetti sulla L -6 L'effetto utile è -8 l'attenuazione Prof. Carlo Rossi - 5 Re valore asintotico R PID ( s) = K p 1+ 1 s + T s Im d Re diagramma di Bode e ruolo dei parametri zeri reali K p =1; =1 ideale La relazione tra, T d e la posizione dei poli non è immediata. In figura e T d sono scelti per avere zeri reali Anche qui K p trasla in verticale il solo diagramma delle ampiezze Prof. Carlo Rossi - 6 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 2

3 Im Regolatore PID Re fisica realizzabilità diagramma di Bode e ruolo dei parametri 6 4 ideale 2 1 fisicamente realizzabile 1 K p =1; = Prof. Carlo Rossi - 7 tre azioni di controllo combinate azione proporzionale all'errore azione proporzionale all'integrale dell'errore azione proporzionale alla derivata dell'errore standard industriale utilizzabile per moltissimi impianti tecniche di taratura semplici, anche empiriche ed automatiche applicabili anche quando il modello dell'impianto è poco noto implementabile con molte tecnologie elettriche analogiche e digitali meccaniche pneumatiche oleodinamiche disponibile a software sui sistemi di controllo industriale Prof. Carlo Rossi - 8 Significato delle tre azioni di controllo azione proporzionale maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo azione integrale errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti azione derivativa azione di controllo "preventiva" anticipo di fase i termini derivativo e/o integrale possono essere assenti Regolatore PI Regolatore PD Regolatore P K p = Guadagno proporzionale = Costante di tempo dell azione integrale (o di reset) T d = Costante di tempo dell azione derivativa Prof. Carlo Rossi - 9 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 3

4 Funzione di trasferimento del PID non fisicamente realizzabile fisicamente realizzabile N = 5 2 per posizionare il polo all'esterno della banda di interesse Nel seguito si farà spesso riferimento alla forma ideale, ricordando poi di aggiungere il polo reale fuori banda. Prof. Carlo Rossi - 1 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Regolatore P usato per processi stabili quando le prestazioni statiche non richiedano elevati guadagni l'uso di una azione integrale con regolatore impianto l'aumento del guadagno: migliora l'errore a regime allarga la banda risposta più pronta riduce il margine di fase risposta oscillatoria -2 apple Prof. Carlo Rossi - 11 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Rete di Ritardo con il polo nell'origine si utilizza per problemi inquadrabili nello Scenario A si ottiene dal PID ponendo T d = molto diffuso a livello industriale facilità di taratura per semplici processi - -1 impianto compensato regolatore attenzione ad aumentare - la banda passante: -1 il PI è una rete di ritardo che non aiuta a migliorare -1 il Margine di fase -2 apple Prof. Carlo Rossi - 12 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 4

5 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Taratura del regolatore con le formule di inversione si vuole progettare il regolatore in modo da imporre alla L(s) l'attraversamento in apple c con un intervento limitato sulla fase 1+ jt K i p = M cosϕ + jm sinϕ j con procedimento analogo a quello delle reti correttrici,si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria K p + M sinϕ = M cosϕ K p = da cui K p = M sinϕ = ( M cosϕ + M sinϕ)= T si trascura la soluzione = i = M cosϕ M sinϕ Prof. Carlo Rossi - 13 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Taratura del regolatore con le formule di inversione si vuole progettare il regolatore in modo da imporre alla L(s) l'attraversamento in con un intervento limitato sulla fase dal lucido precedente K p = M sinϕ = M cosϕ M sinϕ da cui si ricavano le seguenti formule di inversione K p = M cosϕ = 1 tanϕ con M qualsiasi e -9 < ϕ < Prof. Carlo Rossi - 14 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Effetti della taratura con le formule di inversione le formule di inversione non consentono di controllare la posizione delle zero rispetto al polo lento dell'impianto possibilità di code di assestamento causate dall'attrazione non completa del polo nell'origine da parte dello zero del regolatore polo impianto zero PI G R L coda di assestamento -.4 dovuta allo zero collocato, strutturalmente, -1.2 prima della -1 M f apple Prof. Carlo Rossi - 15 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 5

6 6 4 2 Regolatore Proporzionale Integrale (PI) Taratura del regolatore per cancellazione lo zero ( ) viene posizionato in cancellazione del polo a frequenza inferiore dell'impianto (escluso l'eventuale polo nell'origine) K p serve per imporre la frequenza di attraversamento zero PI polo impianto progetto per cancellazione G R L -1 M f spesso conviene effettuare la taratura per apple cancellazione Prof. Carlo Rossi progetto con formule di inversione Regolatore PD nella versione base non è fisicamente realizzabile se aggiungo il polo di fisica realizzabilità ottengo che corrisponde ad una rete di anticipo per la taratura si utilizzano gli stessi metodi illustrati per la Rete di Anticipo Prof. Carlo Rossi - 17 Regolatore PID ideale rete a sella equivalente a rete ritardo/ anticipo ma con 1 polo nell'origine 2 zeri zeri reali se 4T d scelta spesso comoda per la taratura zeri coincidenti - ( in s = -1/ 2T d ) se = 4T d reale ideale Prof. Carlo Rossi - 18 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 6

7 Progetto per compensazioni successive forma tipica del regolatore industriale T R PID ( s) = K i T d s 2 + s +1 p s 1+ T d N s nell'ipotesi che > 4T d gli zeri del regolatore sono reali distinti la f.d.t. del regolatore può quindi essere scritta nella forma utilizzata nel seguito per spiegare meglio i metodi di taratura Prof. Carlo Rossi - 19 Progetto per compensazioni successive dal lucido precedente > 4T d eguagliando i numeratori si ottengono le seguenti Formule di Trasformazione = τ 1 + τ 2 T d = τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2 se τ 1 >> τ 2 τ 1 T d τ 2 N = 1 τ 1 N 1 α α τ 1 + τ 2 le formule sono utili se si lavora con un regolatore in cui i parametri modificabili dall'utente sono e T d, ma si vogliono utilizzare le tecniche di progetto qui illustrate Prof. Carlo Rossi - 2 Progetto per compensazioni successive Il regolatore può essere riscritto come in cui si evidenzia la cascata di un Guadagno Proporzionale K p di un regolatore PI a guadagno proporzionale unitario di una Rete di Anticipo Prof. Carlo Rossi - 21 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 7

8 Progetto per compensazioni successive analogamente a quanto visto per la rete ritardo/anticipo volendo svolgere il progetto per compensazioni successive è necessario verificare se ci sono gradi di libertà nel progetto più parametri che specifiche da soddisfare stabilire l'ordine con cui i due regolatori sono progettati e come gli eventuali gradi di libertà sono utilizzati Gradi di libertà e sequenza di progetto 2 casi a) non ci sono specifiche sull'attenuazione di un disturbo d(ω) b) ci sono specifiche sull'attenuazione di un disturbo d(ω) Prof. Carlo Rossi - 22 Progetto per compensazioni successive a) non ci sono specifiche sul disturbo d(ω) polo nell'origine errore a regime (risposta al gradino) nel regolatore sono quindi disponibili 4 parameteri (K p, τ 1, τ 2, α) il guadagno K p può garantire la senza alterare la fase i restanti tre parametri servono per imporre il margine di fase a differenza della rete R/A qui ci sono due gradi di libertà conviene utilizzare un grado di libertà nel PI per minimizzare le code di assestamento (τ 1 in cancellazione) conviene utilizzare l'altro grado di libertà nella Rete di Anticipo per minimizzare il guadagno in alta frequenza (τ 2 funzione di α) se nella risposta ci sono code di assestamento allora si può riprogettare anche la RA per cancellazione la sequenza di progetto è PI in cancellazione (non verrà illustrato nel seguito) Rete di Anticipo K p per fissare la Prof. Carlo Rossi - 23 Progetto del regolatore PID a) non ci sono specifiche sul disturbo d(ω) (continua) progetto della Rete di Anticipo a minimo guadagno in a.f. Step 1 si calcola il valore di α che garantisce un anticipo massimo ϕ max pari a quello necessario per soddisfare le specifiche Step 2 si calcola il valore di τ 2 che colloca il centro della rete (punto di massimo anticipo) in ( R ra = 1+ τ s) 2 Step 3 ( 1+ ατ 2 s) calcolo del guadagno proporzionale K p Bode di L'' = R ra R PI G si calcola il valore di K p per imporre Prof. Carlo Rossi - 24 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 8

9 Progetto del regolatore PID a) non ci sono specifiche sul disturbo d(ω) (continua) Progetto della Rete di Anticipo senza code Step 1 la costante di tempo τ 2 dello zero viene posta uguale a quella del polo da cancellare τ 2 = τ c2 R' ( s)= ( 1+ τ c2 s) Step 2 calcolo della costante di tempo ατ c2 del polo di fisica realizzabilità Bode di L' = R'R PI G ϕ e = ϕ(l'(j )) - M f Step 3 calcolo del guadagno proporzionale K p Bode di L'' = R ra R PI G si calcola il valore di K p per imporre Prof. Carlo Rossi - 25 Progetto per compensazioni successive b) ci sono specifiche sull'attenuazione del disturbo d(ω) la coppia polo nell'origine/guadagno statico k p serve per le specifiche statiche (risposta al gradino) e sul disturbo restano quindi disponibili 3 parametri (τ 1, τ 2, α) per imporre la frequenza di attraversamento ed il margine di fase per la dipendenza degli effetti dei tre parametri su modulo e fase non si può stabilire se il problema ha un grado di libertà si può provare un progetto per cancellazione di τ 1 posizionato τ 1 in cancellazione si progetta poi la Rete di Anticipo se si riesce ad imporre ed M f allora il progetto è concluso se non si riesce ad imporre ed M f se il problema nasce da perchè troppo alta zero del PI a frequenza maggiore per avere più attenuazione in se il problema nasce dalla impossibilità di imporre il M f zero del PI a frequenza inferiore per migliorare la fase in Prof. Carlo Rossi - 26 Esempio di progetto 1 Impianto e Specifiche errore a regime nullo per ingresso a gradino non c'è disturbo d(ω) < < 1 M f > statiche - errore a regime nullo G -6 regolatore PI Analisi di Scenario -9 in < < 1 rad/s fase insufficiente -18 apple scenario B -27 anticipo inferiore a +9 rete di anticipo serve un regolatore PID Prof. Carlo Rossi - 27 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 9

10 Esempio di progetto 1 continua e apple = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 1 progetto il PI in cancellazione Fase 2 azioni preliminari - -6 G dai diagrammi di L'=R PI G -9 scelgo e calcolo l'anticipo di fase necessario -27 in = 6 rad/s serve un anticipo la scelta di una che coincide con la frequenza ϕ = +6 di attraversamento della L' non è obbligatoria Prof. Carlo Rossi - 28 L' R PI Esempio di progetto 1 continua e apple = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 2 progetto Rete di Anticipo - a minimo guadagno in alta frequenza step 1 calcolo α step 2 calcolo τ ϕ = +6 = 6 rad/s L'=R PI G L'' R'' 1 3 Prof. Carlo Rossi - 29 Esempio di progetto 1 continua e = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 2 progetto Rete di Anticipo - a minimo guadagno = 6 rad/s in alta frequenza -6 ϕ = +6 apple c L L'' R PID step 3 calcolo K p dai diagrammi di Bode della L'' = R ra R PI G per imporre l'attraversamento in = 6 rad/s L''(j6) 1dB K p Prof. Carlo Rossi - Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 1

11 Esempio di progetto 1- verifica 1.5 e apple = e d(ω) = - ω < < 1, M f > -6 c = 6 rad/sec -9 PI in cancellazione -135 Rete di Anticipo a minimo guadagno in a.f. M -27 f = deg risposta al gradino s δ Nel progetto c'è uno zero molto vicino.95-1 ad un polo coda poco significativa Prof. Carlo Rossi ω n 8 rad/s 12 db Esempio di progetto 1 soluzione alternativa e apple = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 2 - alternativa progetto Rete di Anticipo per cancellazione step 1 calcolo di τ step 2 calcolo di ατ da Bode della R'L' ϕ( ) = -11 cancellazione ok = 6 rad/s il polo può aggiungere -1 in = 6 rad/s R apple c L' L'' R'L' Prof. Carlo Rossi - 32 Esempio di progetto 1 continua alternativa e = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 2 - alternativa progetto Rete di Anticipo per cancellazione Step 3 calcolo di K p dai diagrammi di Bode della L''=R PI R ra G per imporre = 6rad/s occorre una attenuazione di -9 db da cui K p R PID L L'' Prof. Carlo Rossi - 33 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 11

12 Esempio di progetto 1 cont. verifica e = e d(ω) = < < 1, M f > Fase 2 - alternativa progetto Rete di Anticipo per cancellazione risposta al gradino s - ω -6 c = 6 rad/sec M -27 f = Prof. Carlo Rossi δ.5 ω n 8 rad/s 15 db Esempio di progetto 2 Impianto e Specifiche errore a regime nullo per ingresso a gradino d(ω) = sin(2t) sull'uscita attenuato volte < < 1 M f > statiche errore a regime nullo regolatore PI attenuazione d(ω) per attenuare di volte d(ω) = sin (2t) occorre che per comodità scelgo L(j2) = db Prof. Carlo Rossi - 35 Esempio di progetto 2 - continua e = d(ω) = sin(2t) sull'uscita attenuato volte < < 1, M f > Analisi di Scenario Bode dell'impianto in < < 1 rad/s fase insufficiente scenario B anticipo inferiore a +9 rete di anticipo serve un regolatore PID G Prof. Carlo Rossi - 36 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 12

13 Esempio di progetto 2 - continua e = e d(j2) attenuato volte < < 1, M f > Fase 1 PI per cancellazione G L*=R PI G - R PI come prevedibile il PI a guadagno proporzionale unitario modifica la -18 funzione d'anello solo in bassa frequenza casualmente, la specifica sul disturbo d(ω) è già soddisfatta con ampio margine Prof. Carlo Rossi - 37 Esempio di progetto 2 - continua e = e d(j2) attenuato volte < < 1, M f > Fase 2-1 db per la specifica sul disturbo serve K p = -1dB =.3 K p =.3 (-1dB) è il valore - L*=R PI G minimo ammissibile per imporre L'(j2) = db L'=K p R PI G K p può essere aumentato -9 oltre questo valore la frequenza di attraversamento della L' è coerente con le specifiche ma, ovviamente, non lo è il margine di fase (Scenario B) serve la Rete di Anticipo Prof. Carlo Rossi - 38 Esempio di progetto 2 - continua e = e d(j2) attenuato volte, < < 1, M f > Fase 3 - Rete di Anticipo la imponibile con la RA è 4 < < 1 rad/s anticipo di fase necessario ϕ a +45 (in = 4rad/s) - ϕ a +9 (in = 1rad/s) 2 18 R(ω*) db L'=K p R PI G 12 1 ω -18 c = 7 rad/s ω 1 c = rad/s il progetto della RA per minimizzare 2 ω il guadagno in alta frequenza non c = 4 rad/s ϕ max sembra possibile Prof. Carlo Rossi - 39 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 13

14 Esempio di progetto 2 - continua e = e d(j2) attenuato volte, < < 1, M f > Fase 3 - Rete di Anticipo scelgo = rad/s utilizzo le formule di inversione dal lucido precedente - ϕ a = 55-6 M db = 8 M = G.M.: 15.3 db Freq: 152 rad/sec Stable loop R PID -18 P.M.:.4 deg Freq: 49.8 rad/sec L Prof. Carlo Rossi - 4 Esempio di progetto 2 cont. verifica e = e d(j2) attenuato volte - < < 1, M f > -6 Stable loop L nel sistema in retroazione c'è una 9 dinamica residua in bassa freq P.M.:.4 deg che non dà fastidio per la quasi Freq: 49.8 rad/sec -27 completa cancellazione polo/zero s -1 - Prof. Carlo Rossi apple n = 65 rad/s apple = Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 14 Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 6 Prof. Carlo Rossi - 42 Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 14

15 Controlli Automatici Parte 2 Regolatori standard e Metodi di taratura Regolatori industriali Proporzionale-Integrale (PI) Proporzionale-Integrale-Derivativo (PID) FINE Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Prof. Carlo Rossi Regolatori standard PID 15