Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 settembre Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato il sistema dinamico descritto mediante il diagramma di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza 5 5 Magnitude (db) Phase (deg) 135 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Se con L si indica il guadagno d anello, le variazioni parametriche dell impianto G/G e quelle del sistema retroazionato F/F, sono legate da 1 (1+L(s)) 2 G(s) 1+L(s) 1 1+L(s) L(s) 1+L(s) 3. Dato un sistema di controllo in retroazione, nel caso in cui le specifiche dinamiche siano incompatibili a causa di un tempo di assestamento desiderato molto piccolo e di un disturbo di misura n a frequenza relativamente bassa, si procede: assicurando con la retroazione il tempo di assestamento desiderato e introducendo un filtro sul ramo di retroazione per attenuare il disturbo attenuando con la retroazione il disturbo di misura e imponendo con un prefiltro il tempo di assestamento desiderato attenuando il disturbo con un compensatore dedicato (compensazione dei disturbi misurabili) e imponendo con la retroazione il tempo di assestamento desiderato 4. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio del guadagno d anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento si effettua cancellando, con lo zero della rete, il polo dell impianto che precede ω c anche se instabile non può essere applicata ad impianti instabili in catena aperta

2 5. L introduzione di un azione in avanti richiede la conoscenza analitica del segnale di riferimento permette di avere errore di inseguimento nullo in condizioni nominali è robusta rispetto a incertezze sui parametri dell impianto può essere applicata solo a impianti con grado relativo nullo 6. Se la funzione di anello di un sistema dinamico con controllo in retroazione presenta un margine di fase M f = 5 o =.8727 rad alla pulsazione ω c = 5 rad/s, il sistema sarà stabile a fronte di un ritardo presente nell anello di retroazione e trascurato in fase di progetto se questo non supera:.1745 s s s 1 s 7. Il tuning dei parametri di un regolatore PID che minimizzi opportuni indici integrali (IAE,ITAE, ecc.) richiede un modello molto accurato dell impianto (con tutti i poli e gli zeri) un modello approssimato del secondo ordine dell impianto un modello approssimato del primo ordine più ritardo dell impianto la sola conoscenza del margine di ampiezza e della pulsazione critica dell impianto 8. Il campionamento impulsivo di un segnale tempo-continuo (caratterizzato da uno spettro X(s)) con periodo T = 2π/ω s, genera una sequenza il cui spettro vale X (jω) = T X (jω) = 1 T X (jω) = 1 T X (jω) = T 9. Un regolatore digitale: X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) può essere implementato con diversi tipi di tecnologie: elettronica, meccanica, pneumatica, ecc. necessita di interfaccie adeguate (convertitori AD e DA) con l impianto da controllare esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione differenziale equivalente a R(s) esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione alle differenze ottenuta approssimando la funzione R(s) 1. La traiettoria doppia S in velocità: è ottenuta unendo segmenti di tipo polinomiale è continua in posizione, velocità e accelerazione presenta un profilo di accelerazione costante a tratti tra tutte le traiettorie punto-punto è quella a durata minima, a parità di velocità e accelerazione massima

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 settembre Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Illustrare gli effetti della scalatura temporale sulle traiettorie. Quindi mostrare la procedura per ottimizzare la durata di una generica traiettoria q(t) dati i vincoli su velocità massima (V max ), accelerazione massima (A max ) e jerk massimo (J max ) e noti i valori massimi relativi alla corrispondente traiettoria normalizzata. 2. Dato l impianto di figura con: G 1 (s) = G 2 (s) = 6 (s+6)(s 2 +2s+625) 5 (s+1)(s+15) u(t) G 1 (s) d(t) v(t) G 2 (s) y(t) n(t) Si procede alla realizzazione di uno schema di controllo in cascata partendo dall anello più esterno. Si richiede pertanto di: a) Progettare il regolatore di complessità minima, denominato R 2 (s), per il solo sottosistema G 2 (s) che consenta di ottenere - errore a regime per ingresso a gradino inferiore al 1%; - risposta aperiodica; - tempo di assestamento T a 2 s; - azione di controllo minima. b) Disegnare il diagramma di Bode delle ampiezze di L 2 (s) = R 2 (s)g 2 (s). c) Progettare l anello di controllo interno con il regolatore R 1 (s), di complessità minima, che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche: errore a regime nullo per un disturbo d(t) a gradino; margine di fase M f di almeno 55 o ; pulsazione di incrocio ω c compatibile con il disaccopiamento frequenziale richiesto dal progetto del regolatore in cascata. d) Tracciare i diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) = R 1 (s)g 1 (s) e della funzione di sensitività complementare F 1 (s). Infine sovrapporre il diagramma di F 1 (jω) a quello di L 2 (jω), tracciato al punto b), e discutere la fattibilità del progetto in cascata. e) Supponendo che il sistema veloce G 1 (s) si comporti in maniera ideale, mentre G 2 (s) non faccia altrettanto, progettare un azione di feed-forward u ff (t) per il sottosistema G 2 (s) che consenta di inseguire senza errore il riferimento y sp (t), di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate. Riportare lo schema di controlo basato sui due anelli di retroazione e sull azione in avanti che sono stati progettati. f) Dopo aver scelto il tempo di campionamento più idoneo discretizzare i regolatori R 1 (s), R 2 (s) con il metodo di Tustin. g) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai regolatori R 1 (z) = U 1(z) E 1 (z), R 2(z) = U 2(z) E 2 (z) discretizzati al punto precedente.

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5 Cognome: Nome: N. Matr.: 1 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 2 (s) e di F 1 (s) Modulo M [db] Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) e di F 1 (s) Modulo M [db]

6 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 settembre Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato il sistema dinamico descritto mediante il diagramma di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza 5 5 Magnitude (db) Phase (deg) 135 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Se con L si indica il guadagno d anello, le variazioni parametriche dell impianto G/G e quelle del sistema retroazionato F/F, sono legate da 1 (1+L(s)) 2 G(s) 1+L(s) 1 1+L(s) L(s) 1+L(s) 3. Dato un sistema di controllo in retroazione, nel caso in cui le specifiche dinamiche siano incompatibili a causa di un tempo di assestamento desiderato molto piccolo e di un disturbo di misura n a frequenza relativamente bassa, si procede: assicurando con la retroazione il tempo di assestamento desiderato e introducendo un filtro sul ramo di retroazione per attenuare il disturbo attenuando con la retroazione il disturbo di misura e imponendo con un prefiltro il tempo di assestamento desiderato attenuando il disturbo con un compensatore dedicato (compensazione dei disturbi misurabili) e imponendo con la retroazione il tempo di assestamento desiderato 4. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio del guadagno d anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento si effettua cancellando, con lo zero della rete, il polo dell impianto che precede ω c anche se instabile non può essere applicata ad impianti instabili in catena aperta

7 5. L introduzione di un azione in avanti richiede la conoscenza analitica del segnale di riferimento permette di avere errore di inseguimento nullo in condizioni nominali è robusta rispetto a incertezze sui parametri dell impianto può essere applicata solo a impianti con grado relativo nullo 6. Se la funzione di anello di un sistema dinamico con controllo in retroazione presenta un margine di fase M f = 5 o =.8727 rad alla pulsazione ω c = 5 rad/s, il sistema sarà stabile a fronte di un ritardo presente nell anello di retroazione e trascurato in fase di progetto se questo non supera:.1745 s s s 1 s 7. Il tuning dei parametri di un regolatore PID che minimizzi opportuni indici integrali (IAE,ITAE, ecc.) richiede un modello molto accurato dell impianto (con tutti i poli e gli zeri) un modello approssimato del secondo ordine dell impianto un modello approssimato del primo ordine più ritardo dell impianto la sola conoscenza del margine di ampiezza e della pulsazione critica dell impianto 8. Il campionamento impulsivo di un segnale tempo-continuo (caratterizzato da uno spettro X(s)) con periodo T = 2π/ω s, genera una sequenza il cui spettro vale X (jω) = T X (jω) = 1 T X (jω) = 1 T X (jω) = T 9. Un regolatore digitale: X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) può essere implementato con diversi tipi di tecnologie: elettronica, meccanica, pneumatica, ecc. necessita di interfaccie adeguate (convertitori AD e DA) con l impianto da controllare esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione differenziale equivalente a R(s) esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione alle differenze ottenuta approssimando la funzione R(s) 1. La traiettoria doppia S in velocità: è ottenuta unendo segmenti di tipo polinomiale è continua in posizione, velocità e accelerazione presenta un profilo di accelerazione costante a tratti tra tutte le traiettorie punto-punto è quella a durata minima, a parità di velocità e accelerazione massima

8 Cognome: Nome: N. Matr.: Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 settembre Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Illustrare gli effetti della scalatura temporale sulle traiettorie. Quindi mostrare la procedura per ottimizzare la durata di una generica traiettoria q(t) dati i vincoli su velocità massima (V max ), accelerazione massima (A max ) e jerk massimo (J max ) e noti i valori massimi relativi alla corrispondente traiettoria normalizzata. 2. Dato l impianto di figura con: G 1 (s) = G 2 (s) = 6 (s+6)(s 2 +2s+625) 5 (s+1)(s+15) u(t) G 1 (s) d(t) v(t) G 2 (s) y(t) n(t) Si procede alla realizzazione di uno schema di controllo in cascata partendo dall anello più esterno. Si richiede pertanto di: a) Progettare il regolatore di complessità minima, denominato R 2 (s), per il solo sottosistema G 2 (s) che consenta di ottenere - errore a regime per ingresso a gradino inferiore al 1%; - risposta aperiodica; - tempo di assestamento T a 2 s; - azione di controllo minima. Dal momento che è richiesto errore a regime per ingresso di riferimento a gradino inferiore al 1%, il regolatore statico avrà la forma di una semplice costante R 2s (s) = µ in cui il guadagno µ è determinato imponendo la condizione statica sull ingresso a gradino e.1 Questa condizione può essere riscritta come e = lim se(s) = lim s s s R 2s (s)g 2 (s) s = 1 1+µ G 2 ().1 da cui, essendo G 2 () =.3333, si ottiene µ 297. Per semplicità si assume µ = 3. A questo punto è necessario progettare la parte dinamica del regolatore per soddisfare le specifiche rimaste: - risposta aperiodica M f = 8o - tempo di assestamento T a 2 s T a = 3 2s ω c 3. Si assume il valore minimo ω c 2 = 1.5 rad/s per minimizzare l azione di controllo, come richiesto. ω c Assunto G 2e (s) = µg 2 (s) = 15 (s+1)(s+15) si procede al calcolo di G 2e (j1.5) = e arg{g 2e (j1.5)} = o. E evidente come occorre una riduzione del modulo per imporre la pulsazione di incrocio desiderata. Non potendo modificare il guadagno statico, deve essere impiegata una rete ritardatrice che viene progettata in cancellazione

9 assumendo la costante di tempo dello zero τ z = 1, in modo da cancellare il polo che precede immediatamente ω c, ovvero il polo in 1. Il regolatore avrà pertanto la forma R d (s) = 1+s 1+τ p s dove τ p rimane il solo parametro da determinare. Il valore di τ p è scelto imponendo che la pulsazione di incrocio della funzione di anello sia propio ω c, ovvero da cui si ottiene 1+jω c 1+τ p jω c G e(jω c) = 1 τ p = 1 (Mz ωc G e (jωc) ) 2 1 = essendo M z = 1+(1ωc )2 = e G e (jωc ) = Il regolatore dinamico risulta pertanto R d (s) = 1s s+1 ma occorre verificare che esso sia compatibile con il margine di fase richiesto, ovvero che 18 o +arg(g e (jω c ))+ϕ z(ω c )+ϕ p(ω c ) M f dove ϕ z (ωc ) e ϕ p(ωc ) sono rispettivamente i contributi dello zero e del polo del regolatore. Nel caso specifico si ha 18 o o o o = o Mf Complessivamente il regolatore R 2 (s) varrà 1s+1 R 2 (s) = s+1. b) Disegnare il diagramma di Bode delle ampiezze di L 2 (s) = R 2 (s)g 2 (s). Vedere diagramma in fondo c) Progettare l anello di controllo interno con il regolatore R 1 (s), di complessità minima, che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche: errore a regime nullo per un disturbo d(t) a gradino; margine di fase M f di almeno 55 o ; pulsazione di incrocio ω c compatibile con il disaccopiamento frequenziale richiesto dal progetto del regolatore in cascata. Per garantire errore a regime nullo a fronte di un disturbo d(t) a gradino, il regolatore R 1 (s) avrà la forma di un PI R 1 (s) = µ τ zs+1. s Per soddisfare le altre specifiche occorre imporre al sistema esteso G 1e (s) = G 1(s) s = 6 s(s+6)(s 2 +2s+625) un margine di fase Mf = 55o e la pulsazione di incrocio ωc1 = 15 rad/s (si assume una pulsazione di incrocio almeno una decade a destra rispetto a quella dell anello di controllo esterno) scegliendo opportunamente lo zero e il guadagno del regolatore PI. Si procede al calcolo di G 1e (j15) =.495 e arg{g 1e (j15)} = o, per cui ϕ = o da cui τ z = tanϕ ω =.1838

10 e 1 µ = = G 1e (j15) 1+(τ z ωc )2 L espressione del regolatore PI in grado di soddisfare tutte le specifiche risulta pertanto R 1 (s) = s+1. s d) Tracciare i diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) = R 1 (s)g 1 (s) e della funzione di sensitività complementare F 1 (s). Infine sovrapporre il diagramma di F 1 (jω) a quello di L 2 (jω), tracciato al punto b), e discutere la fattibilità del progetto in cascata. Vedere diagramma in fondo. e) Supponendo che il sistema veloce G 1 (s) si comporti in maniera ideale, mentre G 2 (s) non faccia altrettanto, progettare un azione di feed-forward u ff (t) per il sottosistema G 2 (s) che consenta di inseguire senza errore il riferimento y sp (t), di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate. Riportare lo schema di controlo basato sui due anelli di retroazione e sull azione in avanti che sono stati progettati. 5 Invertendo la sola funzione di trasferimento G 2 (s) = s 2 e interpretando l operatore s come +16s+15 operatore di derivazione l espressione dell azione in avanti risulta immediata U ff (s) = G 1 (s)y sp (s) = 1 5 s2 Y sp (s) sy sp(s) Y sp(s) Lo schema di controllo complessivo risulta R ff (s) u ff (t) =.2ÿ sp (t)+3.2ẏ sp (t)+3y sp. u ff (t) d(t) y sp (t) - R 2 (s) - R 1 (s) u(t) G 1 (s) v(t) G 2 (s) y(t) n(t) Notare che l azione in avanti u ff (t) si somma all azione di controllo del regolatore R 2 (s) per realizzare il riferimento per l anello di controllo interno. f) Dopo aver scelto il tempo di campionamento più idoneo discretizzare i regolatori R 1 (s), R 2 (s) con il metodo di Tustin. Il tempo di campionamento può essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni derivanti dai due regolatori: (a) per R 1 (s), ωc = 15 rad/s ω s = 1ωc 2π = 15 rad/s T = =.419 s ω s (b) per R 2 (s), ωc = 1.5 rad/s ω s = 1ωc 2π = 15 rad/s T = =.419 s ω s Il valore T =.2 soddisfa entrambe le specifiche. Assumendo s = 2 T 1 z 1 i corrispondenti sistemi discretizzati risultano 1+z 1 R 1 (s) = s+1 s 1s+1 R 2 (s) = s+1 R 1 (z) = z 1 1 z 1 = 1.335z z 1 R 2 (z) = z z 1 = 4.567z z.9997

11 g) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai regolatori R 1 (z) = U 1(z) E 1 (z), R 2(z) = U 2(z) E 2 (z) discretizzati al punto precedente. Interpretando z 1 come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R 1 (z) e R 2 (z) sono: R 1 (z) = z 1 1 z 1 = U 1(z) E 1 (z) u 1k = u 1k e 1k 1.197e 1k 1 R 2 (z) = z z 1 = U 2(z) E 2 (z) u 2k =.9997u 2k e 2k 4.477e 2k 1

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13 Cognome: Nome: N. Matr.: 1 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 2 (s) e di F 1 (s) L 2 8 F Modulo M [db] Diagrammi di Bode delle ampiezze di L 1 (s) e di F 1 (s) L 1 8 F Modulo M [db]