a.a. 2016/2017 Docente: Stefano Bifaretti

Transcript

1 a.a. 2016/2017 Docente: Stefano Bifaretti

2 Introduzione Un sistema di controllo automatico èunsistemaingrado di imporre a una o più variabili controllate (uscite) gli andamenti temporali desiderati in base a una opportuna legge, applicata tramite l ingresso, senza l intervento umano. le variabili controllate riguardano un processo fisico: posizione, velocità, tensione, corrente, temperatura. 2/24

3 Introduzione Problema: definire il comando in modo tale da ottenere l andamento desiderato della variabile da controllare Andamento desiderato Generazione comando comando Attuatore Processo Fisico Variabile controllata I soluzione Anello aperto Ricavare l andamento del comando sulla base del modello dell impianto (attuatore e processo fisico) Nel caso di valore desiderato costante il metodo può garantire risultati soddisfacenti mentre, quando si desidera un andamento variabile nel tempo, è normalmente difficile ricavare l andamento del comando. 3/24

4 Esempio: azionamento di velocità in c.c. Selettore velocità Riferimento Generatore comando comando Convertitore c.c.-c.c. V a Motore dc Il motore dc fornisce una velocità di rotazione k V a proporzionale alla tensione applicata. Il riferimento di velocità ègeneratoattraverso un segnale elettrico in tensione, ottenuto mediante un potenziometro, proporzionale alla velocità desiderata. Il segnale di riferimento è utilizzato per generare il comando di un convertitore c.c. c.c. che alimenta il motore. Un controllo ad anello aperto (open loop), pur essendo caratterizzato da bassa complessità e costi contenuti, risente dell intervento di disturbi esterni (ad esempio la pressione della mano sul disco) che, variando la coppia resistente, potrebbero ridurre la velocità del disco rendendo l azione di controllo inefficiente. Tale tipo di controllo risente anche di variazioni parametriche della catena di comando. 4/24

5 Introduzione Valore desiderato errore Regolatore comando Attuatore Processo Fisico variabile controllata Trasduttore Misura II soluzione Anello chiuso o controreazione Effettuare il confronto tra valore desiderato e valore della variabile da controllare (errore) e ricavare l andamento del comando sulla base di tale errore. Il segnale di comando è fornito dal regolatore. Con questa soluzione è possibile anche inseguire un andamento desiderato variabile nel tempo, sopperire alle variazioni parametriche e ai disturbi. 5/24

6 controllo in controreazione Per controreazione si intende il processo mediante il quale l ingresso di un sistema viene alterato dalla sua uscita Tale sistema calcola l azione di controllo a partire dalla differenza fra uscita desiderata e uscita effettiva Questa differenza viene detta segnale errore : il compito del controllore è proprio quello di far tendere a zero il segnale errore Benefici inseguimento più veloce del valore desiderato e con errori a regime minori rispetto ai sistemi open loop elevata robustezza, ovvero l uscita viene mantenuta vicina al valore desiderato anche sotto l influenza di disturbi esterni (reiezione dei disturbi) e/o in presenza di variazioni parametriche (bassa sensibilità) riduzione della non linearità Svantaggi complessità del controllo più elevata costi più elevati sia hardware (trasduttori e controllori, analogici o digitali) sia software, (sviluppo degli algoritmi di controllo) 6/24

7 Esempio: azionamento di velocità La legge di controllo è implementata nel Regolatore, dal quale dipendono le prestazioni statiche e dinamiche del sistema a controreazione. Al fine di definire la legge di controllo è necessario determinare il modello matematico dell impianto costituito da attuatore e processo. Normalmente i sistemi sono non lineari ma, sotto opportune ipotesi, è possibile considerare un comportamento lineare in un determinato intervallo operativo. 7/24

8 Sistemi Lineari Il modello dinamico di un sistema lineare è descritto da un equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Il metodo della Trasformata di Laplace permette di rappresentare equazioni differenziali in equazioni algebriche e, pertanto, consente di ottenere un modello funzionale, nella variabile di Laplace s, che descrive il comportamento dinamico un sistema. Tale rappresentazione è detta funzione di trasferimento (fdt). U(S) F(S) Y(S) La fdt è sempre un rapporto tra due funzioni polinomiali nella variabile s k è il guadagno, z i sono gli zeri, p i sono i poli della F(s) 8/24

9 Sistemi Lineari La risposta di un sistema Y(s) a un determinato ingresso U(s) si ricava da: Il comportamento in transitorio di un sistema è generalmente caratterizzato dalla risposta impulsiva ( U(s)=1 ) e dalla risposta al gradino ( U(s)=1/s ). Trasformata della risposta all impulso 1 Trasformata della risposta al gradino Per ottenere l andamento nel tempo y(t) occorre impiegare l antitrasformata di Laplace: L 9/24

10 Sistemi Lineari Conoscendo i poli della F(s) è possibile scrivere, tramite il teorema dei residui, la Y(s) in fratti semplici. Nel caso di poli con molteplicità unitaria: 1 2 Pertanto la y(t) si ricava dalla combinazione lineare dei seguenti termini: L L L 1 2 sin 10/24

11 Sistemi Lineari Definizione stabilità Un sistema lineare e stazionario si dice stabile se in corrispondenza a un ingresso limitato in ampiezza e durata la sua risposta rimane limitata (Bounded Input Bounded output, BIBO). Un sistema caratterizzato da poli reali negativi e/o a parte reale negativa è asintoticamente stabile poiché ciascuno dei contributi alla risposta impulsiva y(t) tende a zero. In presenza di un polo nell origine la risposta impulsiva tende a un valore costante, pertanto il sistema è stabile. In sintesi: Se lim 0 allora il sistema è stabile Se lim 0 allora il sistema è asintoticamente stabile Se lim allora il sistema è instabile La stabilità è una proprietà intrinseca del sistema e, pertanto, è indipendente dalle condizioni iniziali e dall ingresso applicato. 11/24

12 Caratteristiche di blocco ideale: SCHEMI A BLOCCHI Per schematizzare un modello matematico di un sistema si usa una rappresentazione a blocchi allo scopo di evidenziare in maniera semplice il flusso di informazioni Unidirezionale (il segnale si propaga in un solo verso) Non costituisce carico per il segnale (il segnale su una linea non cambia se collegato a uno o più blocchi) U(S) F(S) Y(S) 12/24

13 SCHEMI A BLOCCHI Nodo sommatore I1 Punto di diramazione + I2 Y Y=I1 I2 I I I 13/24

14 SCHEMI A BLOCCHI Blocchi in cascata U G1 G2 Y equivale a U G=G1*G2 Y Y = G* U dove G= G1*G2 14/24

15 SCHEMI A BLOCCHI Blocchi in retroazione U(S) + E(S) G(S) Y(S) F(S) H(S) La G(s) comprende la fdt del regolatore è quella del processo F = HY ; E = U F ; Y = GE Y = GU GF = GU GHY Y + GHY=GU W(s) è la fdt a ciclo chiuso Y() s G() s W() s U() s 1 G() s H() s

16 SCHEMI A BLOCCHI I sistemi in controreazione hanno una ridotta influenza rispetto ai disturbi esterni e una scarsa sensibilità alle variazioni parametriche. Supponiamo G e H costanti Se, come normalmente avviene, GH>>1 G Ys () Us () 1 GH 1 Ys () Us () H ovvero la risposta del sistema dipende solo da H Esempio: amplificatore lineare a guadagno costante G=10000, controreazione istantanea H= Ys () Us () 9.99 Us () *0.1 Se G variasse del 10% (G=9000) 9000 Ys () Us () Us () 19000*0.1 16/24

17 fdt dell errore E = Y d Y è lo scostamento tra l andamento desiderato Y d e quello effetivo per l uscita rappresenta Y Y d = k d U E = k d U WU (1 s zi ) i Gs () K s h (1 s ) i pi la fdt a ciclo chiuso dell errore Es () 1 We () s 1 W() s U() s 1 G() s W () s e h i (1 s ) h s (1 s ) K (1 s ) i s pi pi i zi

18 Teorema del valore finale Errore a Regime permanente Ingresso canonico U(s) 1 U() s i=0 > gradino i 1 s i=1 > rampa 1 e lim() e t lim sw () s U() s lim sw () s s r e e t s0 s0 i 1 e r lim s0 hi s h s K 1. Se il numero di poli nell origine h presenti in G(s) è maggiore di i (h>i), si ha: 2. Se (h=i), si ha: e r =0 3. Se (h<i), si ha: e r =costante e r =

19 Regolatori PID u(t) Il Regolatore PID è largamente impiegato nel controllo di molti processi industriali Vantaggi: Buone prestazioni se opportunamente tarato Utilizzabile in diversi ambiti (meccanico, idraulico, termico, elettrico) Non necessita di approfondite conoscenze del modello del processo Richiede la taratura di 1, 2 o 3 parametri a seconda delle azioni di controllo utilizzate (P, PI o PID) Semplice implementazione sia analogica che numerica 19/24

20 Regolatori PID ut () K et () P Azione proporzionale P Componente più sensibile al valore attuale dell errore e in grado di agire tempestivamente sulla correzione dell errore Un valore elevato di K p comporta una reazione significativa anche per variazioni modeste del valore dell errore Un valore basso di K p trasferirà sulle variabili di controllo variazioni contenute anche in presenza di errori rilevanti Aumenta la banda passante (sistema più pronto) e, quindi, in grado di seguire variazioni più veloci del riferimento, compreso il rumore Aumenta la precisione a regime per sistemi che non presentano poli nell origine (di tipo 0) 20/24

21 Regolatori PID ut () K e( ) d I t 0 Azione integrale Tiene conto della storia dell andamento dell errore Introduce un polo nell origine che permette di ottenere un errore a regime permanente nullo per un ingresso a gradino e qualora il modello del processo da controllare (plant) non siano presenti un polo nell origine Aumenta il ritardo della catena diretta di controllo e determina una riduzione dei margini di fase ed ampiezza del sistema retroazionato Se il sistema presenta poli nell origine l azione integrale non deve essere utilizzata (nel caso di ingresso a gradino) 21/24

22 Regolatori PID de() t ut () KD dt Azione derivatrice Varia linearmente con la derivata dell errore Azione anticipatrice, migliora i margini di stabilità Amplifica i segnali con contenuto armonico a frequenze elevate comportando anche un amplificazione del rumore Una variazione a gradino del riferimento genera una componente impulsiva sulla componente derivata. Raramente impiegata nei controllo dei convertitori di potenza 22/24

23 Risposta armonica o risposta in frequenza Asin U(S) L F(S) Y(S) Fs A sin e sono,rispettivamente,larisposta armonica in ampiezza e fase del sistema. Esse descrivono il comportamento del sistema in corrispondenza a ingressi sinusoidali per vari valori di pulsazione La risposta armonica viene usualmente rappresentata con i diagrammi di Bode. 23/24

24 Risposta armonica o risposta in frequenza 20 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 90 deg (at 2e+003 rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)