SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale SISTEMI ELEMENTARI DEL o E 2 o ORDINE Ing. Federica Grossi Tel federica.grossi@unimore.it

2 Sistemi elementari Sistemi elementari del o e 2 o ordine: La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può essere vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad esempio: La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle risposte) Sistemi Elementari -- 2

3 Sistemi elementari Risposta al gradino: Viene usato come segnale d ingresso u(t) un gradino unitario u(t) U(s) G(s) Y(s) t Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità): Y k (s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s) Sistemi Elementari -- 3

4 Sistemi elementari Risposta al gradino: Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all impulso, alla rampa e a tuti i segnali canonici (con trasformata di Laplace del tipo /s i, i =, 2, 3, ) Dato: Allora la risposta all integrale di u(t) è data dall integrale di y(t) Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via. Sistemi Elementari -- 4

5 Sistemi elementari Risposta al gradino: Inoltre, se u( - ) =, y( - ) =, l uscita generata dalla derivata di u(t) è la derivata diy(t) Quindi ad esempio la risposta all impulso è la derivata della risposta al gradino (l impulso può essere interpretato come la derivata del gradino). Sistemi Elementari -- 5

6 y(t) Sistemi elementari Primo ordine Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. La risposta al gradino unitario è data da Tempo Sistemi (t/tau) Elementari -- 6

7 y(t) Sistemi elementari Primo ordine Sistema elementare del primo ordine Per la risposta a gradino, si ha:.8 Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale / : per t = la tangente assume il valore di regime Tempo Sistemi (t/tau) Elementari -- 7

8 y(t) Sistemi elementari Primo ordine Risposta di un sistema del primo ordine Tempo (t/tau) 2 3 per t = la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime, per t = 2 il valore è pari all'86,5% del valore di regime, per t = 3 si raggiunge il 95,% del valore di regime. Sistemi Elementari -- 8

9 y(t) Sistemi elementari Primo ordine Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale Per t = 5 si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7 si raggiunge il 99,9 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille Tempo (t/tau) Sistemi Elementari -- 9

10 y(t) [, ] Sistemi elementari Primo ordine Al variare di varia la velocità di risposta del sistema Se T a.9 j = = x x x x x x - -/ Tempo (sec) Poli più a sinistra ( piccoli) corrispondono a risposte più veloci. Sistemi Elementari --

11 Sistemi elementari Primo ordine con zero Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio) La risposta a gradino è data da Essendo = T/ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo (p = z) j.5.5 =.5 =.5 = - o < ox = o > -.5 Valore iniziale = Pendenza iniziale = (- )/ Tempo (t/ ) Sistemi Elementari --

12 Considerazioni generali sul controllo Requisiti/specifiche di un sistema di controllo stabilità e limitato t ( u limitato t) prestazioni statiche valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio) con segnale di riferimento e/o di disturbo standard gradino, rampa, prestazioni dinamiche caratteristiche del transitorio segnali di riferimento standard Sistemi Elementari -- 2

13 Sistemi elementari Secondo ordine Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine. Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico è caratterizzata dalla presenza di una coppia di poli dominanti complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli. x x x j x x Sistemi Elementari -- 3

14 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato Tempo (t) Sistemi Elementari -- 4

15 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine SPECIFICHE DINAMICHE (in transitorio) I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale..4.2 S Tempo di ritardo T r : tempo per raggiungere il 5% del valore finale..8 Tempo di salita T s : tempo occorrente perchè l'uscita passi dal al 9% del valore finale..6.4 Tempo di assestamento T a : tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. Istante di massima sovraelongazione T m : istante al quale si presenta la massima sovraelongazione..2 T s T r T m Tempo (t) T a Sistemi Elementari -- 5

16 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento della pulsazione naturale n =..4.2 = Tempo (w * t) n Sistemi Elementari -- 6

17 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine La risposta al gradino unitario è data dalla relazione 2 dove: Tempo (w * t) n Sistemi Elementari -- 7

18 Sistemi elementari Secondo ordine Posizione dei poli della f.d.t. al variare di = cos( ) Im(s) Im(s) p n Re(s) x n P = P 2 Re(s) p 2 Im(s) n Im(s) p x P x P 2 Re(s) Re(s) Poli instabili! p 2 Sistemi Elementari -- 8

19 Sistemi elementari Secondo ordine Caratteristiche della risposta poli della f.d.t. Risposte al gradino Im(s).5 < p n.5 = > - n Re(s) n n p 2 veloce transitorio lento instabile Sistemi Elementari -- 9

20 Sistemi elementari Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui Sistemi Elementari -- 2

21 Sistemi elementari Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi L andamento temporale dei massimi e dei minimi è il seguente: Sistemi Elementari -- 2

22 S % Sistemi elementari Secondo ordine Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente: In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al % quando tale coefficiente è nullo Sistemi Elementari -- 22

23 Sistemi elementari Secondo ordine Il coefficiente di smorzamento dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b. Sistemi Elementari -- 23

24 Sistemi elementari Secondo ordine Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T a. Un limite superiore per T a si può ricavare da Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato T a, dovrà essere Il prodotto n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. Sistemi Elementari -- 24

25 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( < < ) Al variare di n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:.4 Risposta al variare di n (.5-5) Tempo (sec) NB: il coefficiente di smorzamento è costante ( =.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia. Sistemi Elementari -- 25

26 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Se i poli complessi coniugati variano come in figura: 2 Risposta ( = /2; T = 4) Tempo (sec) Sistemi Elementari -- 26

27 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Se infine si considerano poli come in figura: 2.5 Risposta ( n = /2) Tempo (sec) Sistemi Elementari -- 27

28 Sistemi elementari Secondo ordine SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( >) Poli reali: Im(s) Coincidenti per = Distinti per > x P x x P 2 Re(s) - n Sistemi Elementari -- 28

29 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Per = (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione.8 Per = non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo Tempo (w * t) n Sistemi Elementari -- 29

30 y(t) Sistemi elementari Secondo ordine Per > (poli reali distinti) si ha e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione con Tempo (w Sistemi n * t) Elementari -- 3

31 Sistemi elementari Secondo ordine Risposta all impulso di: p = -25 p 2 = -2 K = K 2 = Termine corrispondente a p 2 Im(s).5 Risposta completa x p x x p 2 Re(s) Termine corrispondente a p Tempo (s) Sistemi Elementari -- 3

32 Sistemi elementari Secondo ordine Risposta al gradino di:.5 p = -25 p 2 = -2 p 3 = K = -.87 K 2 = -.87 K 3 = Im(s).5 Termine corrispondente a p 3 Risposta completa Termine corrispondente a p x p x x p 2 x p 3 Re(s) Termine corrispondente a p Tempo (s) Sistemi Elementari -- 32

33 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Sia data la funzione Si può scrivere: Da cui la risposta al gradino unitario Sistemi Elementari -- 33

34 Amplitude Sistemi elementari Secondo ordine con zero T =.2,, Impulse Response 2.5 T = Zero a parte reale positiva: Sistema a fase non minima T =.2 T = -.5 T = Time (sec) Sistemi Elementari -- 34

35 Sistemi elementari poli dominanti Nel caso di sistemi stabili si definisce polo dominante il polo che si trova più vicino all asse immaginario La risposta del sistema cambia abbastanza poco quando I poli non dominanti sono a parte reale molto più negativa del polo dominante I poli che si trovano una decade più in basso rispetto al polo dominante influenzano poco la risposta temporale del sistema Moltiplicare per un fattore K tutti i poli di un sistema G(s) equivale a renderlo più veloce dello stesso fattore K Sistemi Elementari -- 35

36 Sistemi elementari poli dominanti Consideriamo I seguenti sistemi del secondo ordine con guadagno statico G i ()=5. Hanno tutti un polo in - e differiscono per la posizione del secondo polo posizionato, rispettivamente, in -2, -4, -, - e - La risposta al gradino unitario è la seguente: L andamento più lento è quello di G (s), quello più veloce è relativo a G 5 (s) Sistemi Elementari -- 36

37 Sistemi elementari poli dominanti Le stesse considerazioni valgono anche per sistemi dominati da una coppia di poli complessi coniugati Si definiscono poli dominanti di un sistema asintoticamente stabile i due poli c.c. che si trovano più vicino all asse immaginario rispetto a un qualunque altro polo del sistema La risposta al gradino dei seguenti sistemi Sistemi Elementari -- 37

38 Sistemi elementari poli dominanti È riportata nel grafico Anche in questo caso i poli che si trovano una decade più in basso rispetto alla coppia di poli dominanti influenzano poco la risposta temporale del sistema Sistemi Elementari -- 38

39 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale Sistemi elementari del o e 2 o ordine FINE Ing. Federica Grossi Tel federica.grossi@unimore.it