Controlli Automatici LA Prova del 24/10/2006 gruppo A

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1 Cognome Nome Matr Dato l impianto G(s) con: 8(s + 3) s(s + 8)(s + 5)(s + ) ) si traccino i diagrammi di Bode asintotici dei termini elementari e della funzione di trasferimento (indicandola chiaramente) ) si tracci il luogo delle radici della G(s) (v. retro del foglio). Prova del 4//6 gruppo A Si calcolino: il punto di intersezione di eventuali asintoti: σa -5.7 il baricentro del luogo, se esiste: σb -58 Chiudendo la G(s) in retroazione su un guadagno K>, all aumentare del guadagno K il sistema chiuso in retroazione: È sempre asintoticamente stabile Diventa instabile

2 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo A Indicare a quale o a quali delle f.d.t. indicate possono corrispondere le seguenti risposte al gradino unitario s 3.s 64 (s + 3.s + 64)(s + ) 6.4 s +.3s+.64 s +3.s+4 Imag Axis *tan(6) (s + ) (s + )(s + 9) 9(s + ) (s + )(s +.9) +.33s ( +.5s) (+.s)(+.s) Real Axis ω d ω n.5 δ S.5 δ Dettaglio: -

3 Cognome Nome Matr Dato l impianto G(s) con: 48(s + 4)(s + ) s(s + )(s + 8) ) si traccino i diagrammi di Bode asintotici dei termini elementari e della funzione di trasferimento (indicandola chiaramente) ) si tracci il luogo delle radici della G(s) (v. retro del foglio). Prova del 4//6 gruppo B Si calcolino: il punto di intersezione di eventuali asintoti: σa il baricentro del luogo, se esiste: σb -6 Chiudendo la G(s) in retroazione su un guadagno K>, all aumentare del guadagno K il sistema chiuso in retroazione: È sempre asintoticamente stabile Diventa instabile

4 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo B Indicare a quale o a quali delle f.d.t. indicate possono corrispondere le seguenti risposte al gradino unitario s + 3s s+.3s s 3s 5 (s 3s 5)(s 5) Imag Axis (s + ) (s+9)(s+) 5(s+.8) (s + )(s + ) ( +.5s) +.s 5(s+8) (s + )(s + ) Real Axis S - ω d ω n.5 δ.5 δ Dettaglio:

5 Cognome Nome Matr Dato l impianto G(s) con: 6(s + )(s + 6) s(s + 4)(s + ) ) si traccino i diagrammi di Bode asintotici dei termini elementari e della funzione di trasferimento (indicandola chiaramente) ) si tracci il luogo delle radici della G(s) (v. retro del foglio). Prova del 4//6 gruppo C Si calcolino: il punto di intersezione di eventuali asintoti: σa 8.5 il baricentro del luogo, se esiste: σb -44 Chiudendo la G(s) in retroazione su un guadagno K>, all aumentare del guadagno K il sistema chiuso in retroazione: È sempre asintoticamente stabile Diventa instabile

6 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo C Indicare a quale o a quali delle f.d.t. indicate possono corrispondere le seguenti risposte al gradino unitario s s 5 s s (s+.5)(s +s+) s s 4 (s +.5) (s + 3)(s + ) 45(s+) (s+3)(s+9) s+ ( +.5s) (+.33s)(+ s) Imag Axis Real Axis S - ω d ω n.5 δ.5 δ Dettaglio:

7 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo A Si illustrino le caratteristiche della risposta al gradino di funzioni di trasferimento con poli reali e uno zero.

8 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo B Si illustri il fenomeno delle code di assestamento nella risposta al gradino di una funzione di trasferimento, evidenziando la dipendenza dalla posizione dei poli/zeri del sistema.

9 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo C Si discutano le proprietà della risposta al gradino di una funzione di trasferimento del ordine a poli complessi coniugati, evidenziando le relazioni fra i parametri caratteristici della risposta e la posizione dei poli del sistema

10 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo A. Per il sistema 4( + s), indicare quali delle seguenti affermazioni relative alla ( + s)( + s) risposta al gradino unitario sono corrette y( ) y( ) y( )4 y( ) y( ). y( + ). y( + )4 y( + ) la derivata prima in t + è diversa da la derivata prima in t + è uguale a la derivata prima in t + vale. la derivata prima in t + vale 4. Indicare quali dei seguenti sistemi sono lineari d y dy du + + y u+ d y + y dy + y u+ du dt dt dt dt dt dt x x x x x 5x x y x y log( + (x + x ) ) 3. Indicare quali dei seguenti sistemi sono asintoticamente stabili s + G( s) G( s) ( s + )( s+ 3) s(s + 4s + ) s + s G( s) G( s) ( s ( ) s+ 3) (s + 3)(s + ) 4. Se si chiude in retroazione negativa, su un guadagno K, la f.d.t., il sistema chiuso ss ( + )( s+ ) in retroazione unitaria ha il luogo delle radici con tre asintoti sfasati di ha il luogo delle radici con gli asintoti che si intersecano sul semiasse reale negativo è sempre stabile per K> diventa instabile per K elevato 5. Un sistema di controllo ad azione diretta è basato sull inversione del modello dell impianto Presenta meno problemi di robustezza rispetto a incertezze parametriche rispetto al controllo in retroazione Presenta più problemi di sensitività ai disturbi rispetto al controllo in retroazione Viene normalmente utilizzato a integrazione di sistemi con controllo in retroazione 6. Il tempo di assestamento T a della risposta al gradino di un sistema del ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri è proporzionale alla parte immaginaria dei poli inversamente proporzionale alla parte reale dei poli proporzionale alla grandezza δω n proporzionale alla grandezza ωn δ 7. Nel piano complesso s i luoghi dei punti a smorzamento δ costante (per sistemi a poli complessi coniugati) sono rette passanti per l'origine che formano un angolo arcsinδ con l'asse reale rette passanti per l'origine che formano un angolo arcsinδ con l'asse immaginario circonferenze con centro in s e raggio δ rette passanti per l'origine con coefficiente angolare -δ 8. Determinare l antitrasformata di (s + ) Y(s) : (riportare il risultato e i passaggi fondamentali) ss+ ( ) k k Y(s) + s s + k Y(s)s / s k Y(s)(s + ) / s y(t) / + / e t

11 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo B. Per il sistema ( + s), indicare quali delle seguenti affermazioni relative alla ( + s)( + s) risposta al gradino unitario sono corrette y( ) y( ) y( ).4 y( ) y( ) y( + ).4 y( + ) y( + ) la derivata prima in t + è uguale a la derivata prima in t + è diversa da la derivata prima in t + vale.4 la derivata prima in t + vale. Indicare quali dei seguenti sistemi sono lineari d y dy du d y dy du + + yu u y u+ 3 dt dt dt dt dt dt x x x x x 5x x y x y exp( + (x + x ) ) 3. Indicare quali dei seguenti sistemi sono semplicemente stabili s + G( s) G( s) s + ( s+ 3) s(s + 4s + ) ( ) s + s G( s) G( s) ( s )( s+ 3) (s + 3)(s + ) 4. Se si chiude in retroazione negativa, su un guadagno K, la f.d.t., il sistema chiuso s( s+ )( s+ 4) in retroazione unitaria ha il luogo delle radici con tre asintoti sfasati di ha il luogo delle radici con gli asintoti che si intersecano sul semiasse reale negativo è sempre stabile per K> diventa instabile per K elevato 5. Un sistema di controllo ad azione diretta Presenta più problemi di robustezza rispetto a incertezze parametriche rispetto al controllo in retroazione Presenta meno problemi di sensitività ai disturbi rispetto al controllo in retroazione Viene normalmente utilizzato a integrazione di sistemi con controllo in retroazione è basato sull inversione del modello dell impianto 6. La risposta armonica di un sistema lineare può essere ricavata sperimentalmente se il sistema è semplicemente stabile ed a fase minima sempre non si può ricavare sperimentalmente se il sistema è asintoticamente stabile 7. Nel piano complesso s, i luoghi dei punti a pulsazione naturale ω n costante (per poli complessi coniugati) sono rette parallele all'asse reale rette parallele all'asse immaginario circonferenze con centro in s e raggio ω n rette passanti per l'origine con coefficiente angolare ω n 8. Determinare l antitrasformata di (s + ) Y(s) : (riportare il risultato e i passaggi fondamentali) ss+ ( ) k k Y(s) + s s + k Y(s)s s k Y(s)(s + ) s y(t) e t

12 Cognome Nome Matr. Prova del 4//6 gruppo C. Per il sistema (s + ), indicare quali delle seguenti affermazioni relative alla risposta (s + )(s + ) al gradino unitario sono corrette y( ) y( ) y( ).5 y( ) y( ) y( + ).5 y( + ) y( + ) la derivata prima in t + è diversa da la derivata prima in t + è uguale a la derivata prima in t + vale.5 la derivata prima in t + vale. Indicare quali dei seguenti sistemi sono lineari d y dy y u du d y + y dy + y u+ du dt dt dt dt dt x x x x x x x y x y (x + x ) 3. Indicare quali dei seguenti sistemi sono instabili s + G( s) G( s) s s+ ( s+ 3) s(s + 4s + ) ( ) s + s G( s) G( s) ( s ( ) s+ 3) (s + 3)(s + ) 4. Se si chiude in retroazione negativa, su un guadagno K, la f.d.t., il sistema ( s+ )( s+ )( s+ ) chiuso in retroazione unitaria ha il luogo delle radici con due asintoti sfasati di 8 ha il luogo delle radici con gli asintoti che si intersecano sul semiasse reale negativo diventa instabile per K elevato è sempre stabile per K> 5. Nel piano complesso s i luoghi dei punti a tempo di assestamento costante (per poli complessi coniugati con coeff. di smorzamento δ e pulsazione naturale ωn) sono rette orizzontali passati per s+/-j Ta rette passanti per l'origine che formano un angolo arcsinδ con l'asse immaginario circonferenze con centro in s e raggio δ rette verticali a δ ωn costante 6. Un sistema di controllo ad azione diretta Presenta meno problemi di robustezza rispetto a incertezze parametriche rispetto al controllo in retroazione Presenta meno problemi di sensitività ai disturbi rispetto al controllo in retroazione Viene normalmente utilizzato a integrazione di sistemi con controllo in retroazione è basato sull inversione del modello dell impianto 7. Nel caso di sistemi del ordine a poli complessi coniugati la risposta al gradino ha le seguenti proprietà la sovraelongazione è funzione solo del coefficiente di smorzamento il tempo di assestamento dipende dal coefficiente di smorzamento e dalla pulsazione naturale il tempo di assestamento dipende dalla parte immaginaria dei poli complessi coniugati la derivata dell uscita nell origine è non nulla il valore a regime dipende solo dal guadagno statico 8. Determinare l antitrasformata di (s + ) Y(s) : (riportare il risultato e i passaggi fondamentali) ss+ ( ) dt k k Y(s) + s s + k Y(s)s / s k Y(s)(s + ) 9 / s y(t) / + 9 /e t