SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale SISTEMI ELEMENTARI DEL o E 2 o ORDINE Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it

2 Sistemi elementari Sistemi elementari del o e 2 o ordine: La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può essere vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad esempio: La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle risposte) SistElem -- 2

3 Sistemi elementari Risposta a gradino: Viene usato come segnale d ingresso u(t) un gradino unitario u(t) U(s) G(s) Y(s) t Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità): Y k (s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s) SistElem -- 3

4 Sistemi elementari Risposta a gradino: Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all impulso, alla rampa e a tuti i segnali canonici (con trasformata di Laplace del tipo /s i, i =, 2, 3, ) Dato: Allora la risposta all integrale di u(t) è data dall integrale di y(t) Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via. SistElem -- 4

5 Sistemi elementari Risposta a gradino: Inoltre, se u( - ) =, y( - ) =, l uscita generata dalla derivata di u(t) è la derivata di y(t) Quindi ad esempio la risposta all impulso è la derivata della risposta al gradino (l impulso può essere interpretato come la derivata del gradino). SistElem -- 5

6 Sistemi elementari Primo ordine Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo τ costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. La risposta al gradino unitario è data da.8 y(t) Tempo (t/tau) SistElem -- 6

7 Sistemi elementari Primo ordine Sistema elementare del primo ordine Per la risposta a gradino, si ha:.8 Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale /τ: per t = τ la tangente assume il valore di regime y(t) Tempo (t/tau) SistElem -- 7

8 Sistemi elementari Primo ordine Risposta di un sistema del primo ordine y(t) Tempo (t/tau) τ 2τ 3τ per t = τ la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime, per t = 2 τ il valore è pari all'86,5% del valore di regime, per t = 3τ si raggiunge il 95,% del valore di regime. SistElem -- 8

9 Sistemi elementari Primo ordine Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale..95 y(t).8.6 Per t = 5 τ si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7τ si raggiunge il 99,9 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille Tempo (t/tau) SistElem -- 9

10 Sistemi elementari Primo ordine Al variare di τ varia la velocità di risposta del sistema Se τ T a.9 j ω.8 y(t) τ [, ] τ = τ = - -/ σ Tempo (sec) Poli più a sinistra (τ piccoli) corrispondono a risposte più veloci. SistElem --

11 Sistemi elementari Primo ordine con zero Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio) La risposta a gradino è data da Essendo α = T/τ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo (p = α z) j ω.5.5 α =.5 α =.5 α = - o o α > α < α = σ -.5 Valore iniziale = α Pendenza iniziale = (-α)/τ Tempo (t/τ) SistElem --

12 Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine. Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico è caratterizzata dalla presenza di una coppia di poli dominanti complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli. j ω σ SistElem -- 2

13 Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato y(t) Tempo (t) SistElem -- 3

14 I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale. Tempo di ritardo T r : tempo per raggiungere il 5% del valore finale..4.2 S Tempo di salita T s : tempo occorrente perchè l'uscita passi dal al 9% del valore finale. Tempo di assestamento T a : tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale. Istante di massima sovraelongazione T m : istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. y(t) T s T r T m Tempo (t) T a SistElem -- 4

15 Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento δ della pulsazione naturale ωn. y(t) δ =..4.2 δ = Tempo (w * t) n SistElem -- 5

16 La risposta al gradino unitario è data dalla relazione 2 dove: y(t) Tempo (w * t) n SistElem -- 6

17 Posizione dei poli della f.d.t. al variare di δ = cos(φ) Im(s) Im(s) p ω n φ Re(s) ω n Re(s) P = P 2 p 2 Im(s) ω n Im(s) p P P 2 Re(s) Re(s) Poli instabili! p 2 SistElem -- 7

18 Caratteristiche della risposta poli della f.d.t. Risposte al gradino Im(s).5 δ< p ω n.5 δ= δ> -δω n Re(s) δω n δω n p 2 veloce transitorio lento instabile SistElem -- 8

19 Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui SistElem -- 9

20 Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi e - πδ/(-δ 2 ) /2.4.2 (-δ ωt) +e y(t) e -2 πδ/(-δ 2 ) /2 (-δ ωt) -e π/(-δ 2 ) /2 2π/(-δ 2 ) /2 3π/(-δ 2 ) /2 4π/(-δ 2 ) /2 SistElem -- 2

21 Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente: In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al % quando tale coefficiente è nullo S % δ SistElem -- 2

22 Il coefficiente di smorzamento δ dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b. SistElem -- 22

23 Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T a. Un limite superiore per T a si può ricavare da da cui Perchè il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato T a, dovrà essere Il prodotto δ ωn è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale σ dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. SistElem -- 23

24 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( δ < ) Al variare di ω n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:.4 Risposta al variare di ω n (.5-5).2.8 y(t) SistElem Tempo (sec) NB: il coefficiente di smorzamento è costante (δ =.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.

25 Se i poli complessi coniugati variano come in figura: 2 Risposta (ω = π/2; T = 4) y(t) Tempo (sec) SistElem -- 25

26 Se infine si considerano poli come in figura: 2.5 Risposta (ω n = π/2) 2.5 y(t) Tempo (sec) SistElem -- 26

27 L'equazione fornisce la risposta per δ <, cioè nel caso in cui il sistema presenti poli complessi coniugati. Per δ = (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione.8 Per δ = non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo. y(t) Tempo (w * t) n SistElem -- 27

28 Per δ > (poli reali distinti) si ha e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione con.8 y(t) Tempo (w n * t) SistElem -- 28

29 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (δ ) Poli reali: Im(s) Coincidenti per δ = Distinti per δ > P P 2 Re(s) -δω n SistElem -- 29

30 Risposta all impulso di: p = -25 p 2 = -2 K = p 2 = Termine corrispondente a p 2 Im(s).5 Risposta completa p p 2 Re(s) Termine corrispondente a p Tempo (s) SistElem -- 3

31 Risposta al gradino di:.5 p = -25 p 2 = -2 p 3 = K = -.87 K 2 = -.87 K 3 = Im(s).5 Termine corrispondente a p 3 Risposta completa Termine corrispondente a p p p 2 p 3 Re(s) Termine corrispondente a p Tempo (s) SistElem -- 3

32 con zero Sia data la funzione Si può scrivere: Da cui SistElem -- 32

33 con zero T =.2,, Impulse Response 2.5 T = 2 T =.2.5 Amplitude.5 T = -.5 T = Time (sec) SistElem -- 33

34 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale Sistemi elementari del o e 2 o ordine FINE Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it