rapporto tra ingresso e uscita all equilibrio.

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1 Sistemi Dinamici: Induttore: Condensatore: Massa: Oscillatore meccanico: Pendolo: Serbatoio cilindrico: Serbatoio cilindrico con valvola d efflusso: Funzione di Trasferimento: Stabilità del sistema: (N.B. i poli della fdt coincidono con gli autovalori di A) Asintoticamente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa; Semplicemente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa o nulla, almeno uno ha parte reale nulla, e tutti i poli a parte reale nulla sono semplici; Instabile: se e solo se almeno un polo della sua fdt ha parte reale positiva oppure ha parte reale nulla ed è multiplo; Se il Sistema è di ordine, la condizione necessaria è anche sufficiente Poiché i coefficienti del denominatore sono tutti,allora il sistema è asintoticamente stabile. Criterio di Routh: se tutti i coeff. della 1 colonna sono diversi da 0 il sistema è asintoticamente stabile; oppure Guadagno Statico: Se rapporto tra ingresso e uscita all equilibrio. Osservabilità: Raggiungibilità: Confrontare l ordine della funzione di trasferimento con l ordine del sistema: se il 1 è inferiore al 2 è dovuto alla non completa raggiungibilità e/o osservabilità

2 Movimento: Il moto libero è la parte del movimento che dipende solo dalla condizione iniziale, il moto forzato è la parte che dipende solo dall'ingresso: Risposte Canoniche: Sistemi del primo ordine: Sistemi del secondo ordine:

3 ; se Metodo di Heaviside: si ricavano gli α mediante il confronto di quest equazione con l espressione originaria di F(s). Infine: Trasformate Notevoli: Risposte in frequenza (Risposta Asintotica): pulsazione, fase iniziale e l uscita. dove A ampiezza, Teorema del valore iniziale: Teo del valore finale: Schemi a Blocchi: In serie: In parallelo: In retroazione: È asintoticamente stabile se e solo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono la cascata. È asintoticamente stabile se e solo se lo sono tutti i sottosistemi che compongono il parallelo. Non si può affermare nulla sulla asintotica stabilità del sistema in anello chiuso a partire dalla asintotica stabilità o meno dei due sistemi interconnessi.

4 Diagramma di Bode del modulo: guadagno=μ: ; zeri e poli nell origine: zeri e poli reali: [salgo/scendo di 20] zeri e poli complessi e coniugati: [salgo/scendo di 40] Diagramma di Bode della fase: guadagno=μ: zeri e poli nell origine: zeri e poli reali: zeri e poli complessi e coniugati: [salto di ] Stabilità dei sistemi di controllo: Polinomio caratteristico: [le radici di tale polinomio sono i poli del sistema in anello chiuso] Stabilità del sistema in anello chiuso: è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa Criterio di Bode: Tesi: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se il guadagno d anello e il margine di fase sono entrambi positivi: Pulsazione critica c: pulsazione alla quale il diagramma di taglia l asse a 0 db, ossia: Fase critica c: fase di L(j ) in corrispondenza della pulsazione critica, ossia Margine di fase m: differenza tra 180 e la fese critica, presa in modulo, ossia: Guadagno d anello μ L : guadagno di L(s) Andamento qualitativo della risposta di y a y Se Margine di guadagno: stabile se, ed è tanto più robusto quanto maggiore è k m. Sistemi con ritardo: occorre sommare alla fase critica Errore a transitorio esaurito: Assenza di disturbo:. Il sistema in anello chiuso è asintoticamente Disturbo in linea di andata:, Disturbo in linea di retroazione: Errore dovuto al segnale di riferimento: Errore dovuto al disturbo in linea di andata: Errore dovuto al disturbo in linea di retroazione:

5 Errore a regime(se da calcolare mettere il davanti) : Errore dovuto al segnale di riferimento: Errore dovuto al disturbo in linea di andata: Errore dovuto al disturbo in linea di retroazione: Progetto del controllore: Progetto Statico: Quando Attenuazione effetto del disturbo sull uscita y: Attenuazione effetto del disturbo sull uscita y: Progetto dinamico: 1. e disegno il modulo di ; 2. Calcolo, se non soddisfa le specifiche scelgo una nuova e costruisco che taglia con pendenza ; 3. Se c è ritardo, nel calcolo della fase critica si somma un fattore di ritardo pari a: 4. Calcolo e infine trovo Regolatori PID: Taratura analitica PID: 1. Determinare il tipo che impone la specifica statica; 2. Scrivere in modo tale da cancellare con gli zeri di i poli di ; 3. Calcoliamo e poniamo ; 4. Calcoliamo e e da quest ultima ricaviamo il valore di ; 5. Calcoliamo infine e ricaviamo le varie costanti; Taratura automatica PID: (non applicabile se il margine di guadagno di è infinito) Metodo Ziegler-Nichols in anello chiuso: (non sempre applicabile) 1. Si chiude l anello di controllo con il regolatore PID, imponendo ; 2. Partendo da valori molto piccoli di si effettua un semplice esperimento, consistente nell applicare un piccolo gradino al segnale di riferimento; 3. Si aumenta progressivamente ripetendo di volta in volta l esperimento finché non si instaura nell anello un oscillazione permanente; 4. Detto guadagno critico e il periodo di oscillazione, si tarano i parametri di un regolatore sulla base della seguente tabella:

6 Metodo Ziegler-Nichols in anello aperto: (non sempre applicabile) 1. Si applica una variazione a scalino all ingresso del sistema sotto controllo; 2. Si traccia la tangente nel punto di flesso; 3. Si individuano graficamente le intercette della tangente sugli assi, rispettivamente; 4. Si tarano i parametri di un regolatore sulla base della seguente tabella: Luogo delle radici: Regole di tracciamento: 1. Data definiamo numero di zeri e numero di poli; 2. I punti dell asse reale appartengono: 3. Il numero di asintoti sono sia per che per e si incontrano in: ; 4. Gli asintoti formano i seguenti angoli: dove assume i valori ; 5. I punti di diramazione dall asse reale si determinano da: ; 6. Se la somma delle parti reali dei poli del sistema in anello chiuso si conserva al variare di ; 7. Asintotica Stabilità: Sistema asintoticamente stabile se: Coppia di poli complessi e coniugati con e dati: Trasformata zeta: Guadagno: Trasformate Notevoli: Antitrasformata Zeta: [Heaviside per poli semplici] scrivo Y(z) nella forma Stabilità: costruisco, dopodiché faccio il polinomio caratteristico e sostituisco e valuto le radici, se sono a parte reale negativa allora quelle del polinomio in saranno interne al cerchio unitario centrato nell origine e quindi è asintoticamente stabile. Valore iniziale: Valore finale: [Hp: poli di Y hanno modulo <1 e in z=1] Diagramma polare: