CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo. DIAGRAMMI DI BODE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo DIAGRAMMI DI BODE Ing. luigi.biagiotti@unimore.it

2 Diagrammi di Bode e polari Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo: Im{F( )} 5 4 Nyquist Diagram 3 2 Imaginary Axis 1-1 arg{f( )} Re{F( )} F( ) Magnitude (db) Phase (deg) arg{f( )} Tre possibili rappresentazioni! Frequency (rad/sec) Bode Diagram F( ) Real Axis 8 F( ) Open-Loop Gain (db) F( ) ( ) Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) arg{f( )} Diagrammi di Bode -- 2

3 Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze. Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode. Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi: diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica; diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica. Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione. Diagrammi di Bode -- 3

4 Diagrammi di Bode Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo): Funzione di risposta armonica associata: 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati Diagrammi di Bode -- 4

5 Diagrammi di Bode Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi (a, b, c, q) complessi e (k,, q) interi si ha che Diagrammi di Bode -- 5

6 Diagrammi di Bode I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono: Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi; Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi; Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore. Diagrammi di Bode -- 6

7 Diagrammi di Bode espressa in decibel: (db) Diagramma logaritmico (gradi) Frequenze (rad/sec) Diagramma semi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rappresentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi) Diagrammi di Bode -- 7

8 Diagrammi di Bode Termini elementari Termini elementari Diagrammi di Bode -- 8

9 Termini elementari guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all asse delle ascisse) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità Diagrammi di Bode -- 9

10 Guadagno statico se se se se se Diagrammi di Bode -- 1

11 Zero nell origine Pendenza 2 db/decade Diagrammi di Bode -- 11

12 Polo nell origine Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Pendenza -2 db/decade Diagrammi di Bode -- 12

13 Zero reale se se Pendenza 2 db/decade (valore assoluto dello zero) Diagrammi di Bode -- 13

14 Zero reale: fase Caso se se Pendenza al punto di flesso Punto di flesso Diagrammi di Bode -- 14

15 Zero reale: fase Caso se se NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all asse Diagrammi di Bode -- 15

16 Polo reale Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Diagrammi di Bode -- 16

17 Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di Diagrammi di Bode -- 17

18 Zeri complessi coniugati: ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Il valore minimo è alla frequenza e vale Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal segno di Diagrammi di Bode -- 18

19 Zeri complessi coniugati: ampiezza Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un minimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica; Per Per 4 la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto ; la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica. Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Diagrammi di Bode -- 19

20 Zeri complessi coniugati: fase Caso se se Tangente al punto di flesso Diagrammi di Bode -- 2

21 Zeri complessi coniugati: fase Caso se se Diagrammi di Bode -- 21

22 Poli complessi coniugati Polo complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Il valore massimo è alla frequenza e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente Diagrammi di Bode -- 22

23 Poli complessi coniugati Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l asse delle frequenze per il diagramma delle fasi Diagrammi di Bode -- 23

24 1 Poli complessi coniugati: ampiezza Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un massimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica; Per Per Bode Diagram la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto ; la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. 5-5 Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Diagrammi di Bode -- 24

25 Poli complessi coniugati: risonanza Il valore di picco alla frequenza viene detto picco di risonanza Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Diagrammi di Bode -- 25

26 Zeri complessi coniugati: risonanza Il valore di minimo alla frequenza viene detto picco di attenuazione Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza Diagrammi di Bode -- 26

27 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Diagrammi di Bode -- 27

28 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Diagrammi di Bode -- 28

29 Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Diagrammi di Bode -- 29

30 Ritardo temporale Modulo Argomento Diagrammi di Bode -- 3

31 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Diagrammi di Bode FINE Ing. luigi.biagiotti@unimore.it