Diagrammi di Bode. Lezione 16 1

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1 Diagrammi di Bode Lezione 16 1

2 Funzione di trasferimento da considerare Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: H() s = Punti critici: ss ( + 500) ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 200) punti critici di zero: punti critici di polo: 0, ω = ω = 1, ω = 100, ω = Lezione 16 2

3 Punti critici H() s = ss ( + 500) ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 200) Punti critici: punti critici di zero: punti critici di polo: 0, ω = ω = 1, ω = 100, ω = Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione Lezione 16 3

4 Maschera a sinistra del punto critico 1 La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero ss ( + 500) s(500) s H() s = = = = H () s 0 a s ( s+ 1)( s+ 100)( s+ 200) (1)(100)(200) 40 s 0 Lezione 16 4

5 Maschera a destra del punto critico 1 A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec A destra di 1, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 db/dec e pertanto essa è nulla Risulta: Lezione 16 5

6 Maschera a destra del punto critico 100 A sinistra del secondo punto critico non nullo 100 la pendenza della maschera è 0 db/dec A destra di 100, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 db/dec e pertanto risulta 20 db/dec Lezione 16 6

7 Maschera a destra del punto critico 200 A sinistra del terzo punto critico 200 la pendenza della maschera è -20 db/dec A destra di 200, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 db/dec e pertanto risulta 40 db/dec Lezione 16 7

8 Maschera a destra del punto critico 500 A sinistra del punto critico 500 la pendenza della maschera è -40 db/dec A destra di 500, per la presenza di un punto critico di zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 20 db/dec e pertanto risulta 20 db/dec Lezione 16 8

9 Quotatura della maschera 1/5 Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli: Hm() s = H() s = s 0 s 40 Lezione 16 9

10 Quotatura della maschera 2/5 Nel punto critico 1 il valore in db sulla maschera vale: j1 Hm(1) j = (1/40) db = = 32dB 40 Lezione 16 10

11 Quotatura sulla maschera 3/5 Dal punto critico 1 al punto critico 100 la maschera ha la quota di -32 DB Lezione 16 11

12 Quotatura sulla maschera 4/5 Nel punto critico 200 tenendo conto della pendenza di -20 db/dec si ha una diminuzione di : 1 = 20( u 200 u 100 ) = 20(log log ) = 6dB H ( j200) = 32 = 38dB m 1 Lezione 16 12

13 Quotatura sulla maschera 5/5 Nel punto critico 500 tenendo conto della pendenza di -40 db/dec si ha ulteriore 500 diminuzione di : 2 = 10 = + = 40log 2( 14 6) 16dB 200 H ( j500) = 38 = 54dB m 2 Lezione 16 13

14 Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura Lezione 16 14

15 Stima errore massimo maschera 1/4 Il punto critico 1 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB: H ( j) H ( j) 3dB= 32 3= 35dB m ( valore esatto db) Lezione 16 15

16 Stima errore massimo maschera 2/4 Il punto critico 100 è relativo ad uno polo. L errore si stima in -3dB: H ( j100) H ( j100) 3dB = 32 3 = 35 db ( valore esatto m db) Lezione 16 16

17 Stima errore massimo maschera 3/4 Il punto critico 200 è relativo ad uno polo. L errore si stima in -3dB: H ( j200) H ( j200) 3dB= 38 3 = 41dB m ( valore esatto db) Lezione 16 17

18 Stima errore massimo maschera 4/4 Il punto critico 500 è relativo ad uno zero. L errore si stima in +3dB: H ( j500) H ( j500) + 3dB = = 51 db ( valore esatto m db) Lezione 16 18

19 Decibel di zeri o poli reali multipli Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli reali semplici previa moltiplicazione per m L errore massimo si ha nei punti critici e vale + 3 m db o 3 m db a seconda se si tratta di zero o polo Lezione 16 19

20 Punti critici Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: Punti critici: H s = () 20 ( 10 4 )( s+ s+ ) punti critici di zero: punti critici di polo: 0 ( doppio) ω = 10, ω = Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione Lezione s 2

21 Maschera a sinistra del punto critico 10 4 La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 10 4 ) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero s s s Ha () s = H() s = 20 = 20 = s 0 ( s+ 10 )( s+ 2x10 ) 10 x2x s 0 Lezione 16 21

22 Maschera a destra del punto critico 10 4 A sinistra del primo punto critico non nullo 10 4 la pendenza della maschera è +40dB/dec A destra di 10 4, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 db/dec e pertanto è +20 db/dec Lezione 16 22

23 Maschera a destra del punto critico 2x10 10 A sinistra del secondo punto critico 2x10 10 la pendenza della maschera è 20 db/dec A destra di 2x10 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 db/dec e pertanto risulta orizzontale Lezione 16 23

24 Quotatura della maschera 1/3 Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 10 4 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli: s Hm() s = H() s = s Lezione 16 24

25 Quotatura della maschera 2/3 Nel punto critico 10 4 il valore in db sulla maschera vale: (10) j 5 Hm(10) j = = dB Lezione 16 25

26 Quotatura della maschera 3/3 Dal punto critico 10 4 al punto critico 2x10 10 la maschera è una retta con pendenza di 20dB/dec Nel punto critico 2x10 10 tenendo conto della pendenza di 20 db/dec si ha: x = 20( u 10 u 4 ) = 20log = = 126dB x 4 10 Lezione 16 26

27 Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura Lezione 16 27

28 Stima errore massimo maschera 1/2 Il punto critico 10 4 è relativo ad un polo. L errore si stima in -3dB: H j H j db db 4 4 ( 10 ) m( 10 ) 3 = = 103 db db ( valore esatto db) Lezione 16 28

29 Stima errore massimo maschera 2/2 Il punto critico 2x10 10 è relativo ad uno polo. L errore si stima in -3dB: H j H j db db ( 2 10 ) m( 2 10 ) 3 = 26 3= 23 (valore esatto db) db db 26dB 100dB Lezione 16 29

30 Diagrammi di Bode Lezione 16 30

31 Decibel di coppia di zeri complessi coniugati Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio: 2 2 s + 2ξωos+ ωo ξ smorzamento ω pulsazione o 0< ξ 1 Una coppia di zeri complessi coniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione ω Lezione o

32 Maschera coppia zeri complessi coniugati Per valori di s piccoli: Per valori di s grandi: 2 s s + 2ξ ωo ωo 2 2 s s s + 2ξ + 1 ωo ωo ωo s ωo 2 s + 2ξ + 1 ω o db Lezione 16 32

33 Spettro ampiezza coppia zeri complessi coniugati Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ Lezione 16 33

34 Errore massimo L errore massimo si ha nel punto critico ω o e vale: 1 2ξ db Lezione 16 34

35 Esempio Per smorzamenti piccoli, l errore massimo rispetto la maschera può assumere valori elevati se lo smorzamento vale 0.1 si ha: 1 1 = = 5 db 14dB 2ξ db db Lezione 16 35

36 Decibel di coppia di poli complessi coniugati Una coppia di poli complessi coniugati implica la presenza al denominatore della funzione di trasferimento del trinomio: 2 2 s + 2ξωos+ ωo ξ smorzamento ω pulsazione o 0< ξ 1 Una coppia di poli complessi couniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione ω Lezione o

37 Maschera coppia poli complessi coniugati2 Per valori di s piccoli: Per valori di s grandi: s s + 2ξ ωo ωo 2 2 s s s + 2ξ + 1 ωo ωo ωo s ωo 2 s + 2ξ ω o + 1 db Lezione 16 37

38 Spettro ampiezza coppia poli complessi coniugati Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ Lezione 16 38

39 Errore massimo L errore massimo si ha nel punto critico ω o e vale: 1 2ξ db Lezione 16 39

40 Esempio Per smorzamenti piccoli, l errore massimo rispetto la maschera può assumere valori elevati se lo smorzamento vale 0.1 si ha: 1 1 = = 5 db 14dB 2ξ db db Lezione 16 40

41 Decibel di zeri o poli c.c multipli Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli semplici previa moltiplicazione per m L errore massimo si ha nei punti critici ed a seconda se si tratta di zero o polo vale: 1 m ξ 2 db Lezione 16 41

42 Diagrammi di Bode Lezione 16 42

43 Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo 1/2 Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del risuonatore parallelo C,L,R con funzione di trasferimento: 1 s s H() s = = = sc + + C( s + s + ) + ξωo + ωo sl R RC LC Cs ( 2 s ) dove: ω = o 1 LC 1 1 ξ = 2 RC = ωo 2 Q Lezione 16 43

44 Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo 2/2 Per semplicià sarà tracciata la funzione di trasferimento normalizzata definita da: hs () H() s = = ( s / ω ) o 2 2 ξ R ( s/ ωo) + 2 ξ( s/ ωo) + 1 Lezione 16 44

45 Punti critici Punti critici: hs () = ( s / ω ) o 2 ( s/ ωo) + 2 ξ( s/ ωo) + 1 punto critico di zero: 0 ( semplice) punto critico di poli c.c.: ω ( semplice) Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione o Lezione 16 45

46 Maschera a sinistra del punto critico La maschera a sinistra del punto critico ω si o ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero ( s / ω ) hs () = = ha() s = s/ ωo ω ξ ω 0 o 2 ( s/ o) + 2 ( s/ o) + 1 s Lezione 16 46

47 Maschera a destra del punto critico A sinistra del punto critico la pendenza della maschera è +20dB/dec ω o A destra di, per la presenza di un punto critico di coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 db/dec e pertanto diventa di -20 db/dec ω o Lezione 16 47

48 Quotatura della maschera 1/2 Per pulsazioni a sinistra del punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli: h () s = h () s = s/ ω m a o Lezione 16 48

49 Quotatura della maschera 2/2 Nel punto critico il valore in db sulla maschera vale 0 db jωo hm( jωo) = = 1 0dB ω o Lezione 16 49

50 Spettro di ampiezza Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero (per diversi valori dello smorzamento) Lezione 16 50

51 Stima errore massimo maschera Il punto critico ω o è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati (semplici). L errore si stima in 1 2ξ db = Q db se lo smorzamento vale 0.1 si ha: Q= 5 14dB valore esatto h( jω ) = 13.98dB o Lezione 16 51