Scomposizione in fratti semplici

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1 Scomposizione in fratti semplici Evoluzione forzata di un equazione differenziale: la trasformata di Laplace Y(s) del segnale di uscita y(t) è uguale al prodotto della trasformata di Laplace X(s) del segnale di ingresso x(t) per la funzione di trasferimento G(s) associata all equazione differenziale: x(t) X(s) G(s) y(t) Y(s) G(s)X(s) La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un equazione differenziale richiede l antitrasformazione di una funzione razionale fratta di questo tipo: N(s) D(s) := b ms m +b m s m +...+b s+b 0 s n +a n s n +...+a s+a 0 La differenza r = n m fra i gradi del denominatore e del numeratore prende il nome di grado relativo della funzione razionale Y(s). La funzione Y(s) può essere scomposta in fratti semplici solo se è strettamente propria, cioè se presenta un grado relativo r. Se la funzione Y(s) ha grado relativo r = 0 può essere scomposta nel seguente modo: y 0 +Y (s) dove la costante y 0 e la funzione Y (s), con grado relativo r, sono: y 0 = lim s Y(s), Y (s) = Y(s) y 0. La funzione Y(s) può sempre essere espressa anche in forma fattorizzata: K (s z )(s z 2 )...(s z m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) Le costanti complesse z,...,z m e p,...,p n vengono dette, rispettivamente, zeri e poli della funzione Y(s). I poli della Y(s) sono l unione dei poli delle due funzioni G(s) e X(s).

2 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Ad ogni polo reale p i della funzione Y(s) viene associata una costante di tempo τ i così definita: Im τ i = p i p i = τ i Re La costante di tempo τ i è positiva solo se il polo reale p i è negativo. In modo analogo, per gli zeri reali z j vale la relazione: τ j = /z j. Nel caso di poli complessi coniugati, p,2 = σ ± jω, ( σ è la parte reale e ω è la parte immaginaria del polo) si utilizza anche la seguente parametrizzazione di tipo polare : p,2 = σ ±jω = δω n ±jω n δ 2 = ω n cosϕ±jω n sinϕ p Im ω dove ω n è detta pulsazione naturale: ϕ ω n ω n = p = p 2 = σ 2 +ω 2 e δ è detto coefficiente di smorzamento: δ = cosϕ = σ ω n = σ σ2 +ω 2 σ p 2 Re Valgono le relazioni seguenti: σ = δω n, ω = ω n δ 2 In relazione all antitrasformazione si distinguono due casi: i) tutti i poli della funzione Y(s) sono semplici; ii) la funzione Y(s) ha anche poli multipli.

3 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Antitrasformazione nel caso di poli semplici Nel caso di poli semplici la funzione può essere scomposta come segue: N(s) n (s p )(s p 2 )...(s p n ) = i= K i s p i Le costanti K i (dette residui) sono reali in corrispondenza dei poli reali e complesse coniugate in corrispondenza delle coppie di poli complessi coniugati. Le costanti K i si ricavano utilizzando la seguente formula: K i = (s p i )Y(s) s=pi Una volta che la funzione Y(s) è stata scomposta in fratti semplici, è immediato antitrasformarla: y(t) = n K i e p it i= Esempio. Sia Y(s) := I residui si calcolano nel modo seguente: per cui si può scrivere e quindi 5s+3 (s+)(s+2)(s+3) = K s+ + K 2 s+2 + K 3 s+3 K = K 2 = K 3 = 5( )+3 ( +2)( +3) = 5( 2)+3 ( 2+)( 2+3) = 7 5( 3)+3 ( 3+)( 3+2) = 6 s+ + 7 s+2 6 s+3 y(t) = e t +7e 2t 6e 3t

4 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati p = σ +jω, p 2 = σ jω anche i residui sono complessi coniugati p ϕ Im ω n ω K = u +jv, K 2 = u jv La somma di fratti semplici ad essi relativa è σ Re Posto u +jv s σ jω + u jv s σ +jω M := 2 K = 2 u 2 +v2, ϕ := argk = arg(u +jv ), p 2 si può scrivere ( M e jϕ e jϕ ) + 2 s σ jω s σ +jω da cui, antitrasformando, si ottiene M ( e σ t+j(ω t+ϕ ) +e ) σ t j(ω t+ϕ ), 2 funzione che può essere posta nella forma, Esempio. Sia: M e σ t cos(ω t+ϕ ) oppure M e σ t sen(ω t+ϕ +π/2) Y(s) := 7s2 8s+5 s 3 +2s 2 +5s = K s + K 2 s+ j2 + K 3 s++j2 I residui sono i seguenti: K = (0+ j2)(0++j2) = e pertanto K 2 = 7( +j2)2 8( +j2)+5 ( +j2)( +j2++j2) = 3+j4 K 3 = 7( j2)2 8( j2)+5 ( j2)( j2+ j2) = 3 j4 s + 3+j4 s+ j2 + 3 j4 s++j2, da cui, antitrasformando, y(t) = +0e t cos(2t+ϕ), dove 0 = 2 K 2 = e ϕ=arctan(4/3)=53.3.

5 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Antitrasformazione nel caso di poli multipli Si suppone che la funzione razionale Y(s) abbia h poli distinti p i (i =,...,h), ciascuno caratterizzato da un ordine di molteplicità r i : N(s) h (s p ) r (s p2 ) r 2...(s ph ) = r h Le costanti K il si ricavano mediante la formula K il = (l )! i= r i l= d l [ (s p ds l i ) r i Y(s)] s=p i K il (s p i ) r i l+ dove (i =,...,h;l =,...,r i ). Antitrasformando la Y(s) si ottiene: y(t) = h i= r i l= K il (r i l)! tr i l e p it I coefficienti K il sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati. I termini complessi coniugati corrispondono a prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, e si ottengono con un procedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso di poli distinti. Esempio: dove (s+2)(s+) 2 = K s+2 + K 22 s+ + K 2 (s+) 2 K = [(s+2)y(s)] s= 2 = K 22 = d [ (s+) 2 Y(s) ] = d ds s= ds [ s+2] s= = K 2 = [ (s+) 2 Y(s) ] s= = Antitrasformando si ottiene: y(t) = e 2t e t +te t

6 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Sviluppi in somme di fratti semplici Si consideri il rapporto di polinomi Valgono le seguenti proprietà: b ms m +b m s m +...+b s+b 0 a n s n +a n s n +...+a s+a 0 i) se è n=m+, la somma dei residui di Y(s) è b m an ; ii) se è n>m+, la somma dei residui di Y(s) è zero. Si ricorda che, nello sviluppo in fratti, i residui di Y(s) sono i coefficienti dei termini con polinomio a denominatore di primo grado. Esempio : s z (s p )(s p 2 )(s p 3 ) = A + B + C s p s p 2 s p 3 Calcolati A e B, il calcolo del residuo C è immediato: C = (A+B). Esempio 2: (s p ) 2 (s p 2 ) = A (s p ) + B + C 2 s p s p 2 Il coefficiente A e il residuo C si possono calcolare immediatamente: A = p p 2, C = Applicando la proprietà ii si deduce: B= C. Esempio 3: (p 2 p ) 2 s z (s p ) 3 (s p 2 ) = A (s p ) + B 3 (s p ) + C + D 2 s p s p 2 Il coefficiente A e il residuo D si calcolano immediatamente. Applicando la proprietà ii si deduce: C = D. Moltiplicando ambo i membri dello sviluppo per (s p ) si ottiene: s z A = (s p ) 2 (s p 2 ) (s p ) + B +C +D s p 2 s p s p 2 A = (s p ) + B + E 2 s p s p 2 da cui si calcola E = p 2 z (p 2 p ) 2 Applicando la proprietà ii al nuovo sviluppo, si ottiene B= E.

7 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Modi della risposta temporale L unica difficoltà nell antitrasformazione di funzioni razionali fratte Y(s) è la fattorizzazione del polinomio a denominatore. Il comportamento temporale della funzione antitrasformata y(t) è essenzialmente legato alla posizione dei poli p i della funzione Y(s). Ai poli semplici s i = σ e ai poli complessi coniugati s j = σ ± jω sono associati termini temporali y i (t) e y j (t), detti modi, del seguente tipo: (s+σ) (s+σ) 2 +ω 2 y i (t) = Ke σt y j (t) = M e σt sen(ωt+ϕ) Nel caso di poli multipli con grado molteplicitá r si hanno i seguenti modi: (s+σ) r y i (t) = r n=0 K nt n e σt [(s+σ) 2 +ω 2 ] r y j (t) = r n=0 M nt n e σt sen(ωt+ϕ) Nelcasodipoli semplici,imodiy i (t)ey j (t)tendonoazeroperttendente all infinito se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0), restano limitati se essa è nulla (σ = 0) e divergono se essa è positiva ( σ > 0). Nel caso di poli multipli, i modi tendono a zero se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0) e divergono se essa è positiva o nulla ( σ 0). L antitrasformata y(t) di una funzione razionale fratta Y(s) rimane limitata se e solo se la funzione Y(s) non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici. In caso contrario la funzione y(t) diverge. Ipolichecaratterizzanolarisposta G(s)X(s)diunlinearesistema G(s) ad un segnale in ingresso X(s) (come l impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento G(s) più quelli relativi al segnale di ingresso X(s). Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa: in questo caso tutti i modi y i (t) e y j (t) associati ai poli della funzione G(s)tenderanno sicuramente a zero quando t tendente all infinito.

8 2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI Modi della risposta nel caso di poli distinti (r = ): delle radici Modi della risposta nel caso di poli multipli (r = 2):