Tracciamento dei Diagrammi di Nyquist

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1 Fondamenti di Automatica Tracciamento dei Diagrammi di Nyquist L. Lanari Dipartimento di Ingegneria Informatica Automatica e Gestionale Antonio Ruberti Università di Roma La Sapienza Ultima modifica November 21, 212

2 Considerazioni generali il diagramma di Nyquist di F (s) è l immagine secondo la funzione di trasferimento F (s) del di Nyquist (particolare chiuso). Il di Nyquist è composto da: (a) l asse immaginario esclusi eventuali poli a parte reale nulla di F (s) (b) semicerchi di raggio infinitesimo che lasciano gli eventuali poli a parte reale nulla di F (s) a sinistra (c) un all infinito (semicerchio) L immagine di (a) è deducibile dai diagrammi di Bode e dalla proprietà F ( jω) = F (jω) (b) in corrispondenza ad ogni polo di F (s) a parte reale nulla di molteplicità m effettua m mezzi giri all infinito in senso orario p i polo di F (s) con molteplicità m t.c. [p i ] = mπ giri all in senso orario (c) è l origine se la F (s) è strattamente propria, Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 1

3 Considerazioni generali Il criterio di Nyquist permette di dedurre la stabilità del sistema ad anello chiuso, in uno schema a retroazione unitaria, a partire da informazioni relative al sistema ad anello aperto (qui rappresentato dalla funzione di trasferimento F (s)) Alcuni possibili percorsi di Nyquist u W(s) Sistema ad anello chiuso Sistema ad anello aperto u 1 y 1 F(s) y s=j! j 1! = 1 j! a! =! a! =! a 1! =! =! a j! a! =! a Nessun polo a ( ) = Uno o più poli in s = Uno o più poli in s = ±jω a I vari passi per la costruzione di un generico diagramma di Nyquist sono illustrati di seguito. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 2

4 Generazione del diagramma di Nyquist F(s) F(s) s =j!!2[,1) immagine immagine 1 dai diagrammi di Bode! 1! = 1 da F( j!)= F * ( j!)! 1! = s =j!!2(1,] di Nyquist Passo 1 di Nyquist Passo 2 F(s) immagine 1 da F(s) strettamente propria! 1! =! = 1! = 1! = di Nyquist Passo 3 Diagramma di Nyquist finale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 3

5 Esempio Modulo (db) Modulo Fase (deg) Diagramma del modulo in db Diagramma del modulo Diagramma della fase j! 3.6 j! j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1 s ω ω 7 6 ω 5 ω 3 ω 1 ω 2 j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist ω Diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 4

6 Esempio 2 Modulo (db) Diagramma del modulo in db Modulo Diagramma del modulo Fase (deg) Diagramma della fase j! 3.6 j! 2.4 j j! 1 1 j! 1 j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist F (s) = 1 (s 1) 2 = 1 (s/1 1) ω 5 ω 6 ω 4 ω ω 1 ω 2 Diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 5

7 Esempio 3 Modulo (db) Diagramma del modulo in db Modulo Diagramma del modulo Fase (deg) Diagramma della fase j! 3 j! 2 j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1 (s 1) 2 (s 1) = 1 (s 1) 2 (s/1 1) j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 6

8 Esempio Zoom.2 Zoom Diagramma di Nyquist esatto Dettaglio del diagramma di Nyquist 1! = 1! = 1! = Versione esatta e manuale del diagramma di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 7

9 Esempio Modulo (db) Modulo Fase (deg) Diagramma del modulo in db Diagramma del modulo Diagramma della fase j! 3 j! 2 j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1(1 s) (s 1) 2 (s 1) = 1 (s 1) 2 (s/1 1) j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 8

10 Esempio Zoom Diagramma di Nyquist esatto Zoom Dettaglio del diagramma di Nyquist 1! = 1! = 1! = Versione esatta e manuale del diagramma di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 9

11 Esempio 5 4 Modulo (db) Esatto Approx Diagramma del modulo in db Fase (deg) Esatto Approx Diagramma della fase F (s) = 1 s(s 1) = 1 2 s(s/1 1) 2 presenza di un polo in s = di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario nel passaggio da ω = a ω = Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 1

12 Esempio 5! =! =! = 1 1! = 1! = 1 Percorso di Nyquist! = Diagramma di Nyquist manuale 2.3 Zoom Zoom Diagramma di Nyquist esatto Dettaglio del diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 11

13 Esempio 6 4 Modulo (db) Diagramma del modulo in db Fase (deg) Esatto Approx Diagramma della fase F (s) = 1 (s 1)(s 2 1) presenza di una coppia di poli in s = ±j di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario in corrispondenza sia al passaggio da ω = 1 a ω = 1 che da ω = 1 a ω = 1 Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 12

14 Esempio 6! = 1! = 1! = 1 j! = 1! = 1 1 1! = 1! = 1! = j! = 1! = 1! = 1 Percorso di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 13

15 Esempio 7 4 Modulo (db) Diagramma del modulo in db Fase (deg) Esatto Approx Diagramma della fase F (s) = s 2 1 s(s 1)(s 1) presenza di un polo in s = di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario nel passaggio da ω = a ω = Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 14

16 Esempio 7! = s=j!! = 1 j 1 1! = 1 Percorso di Nyquist! = Diagramma di Nyquist manuale Zoom 2 Zoom Diagramma di Nyquist esatto Particolare del diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 15

17 Esempio Esatto Approx Si richiede di studiare la stabilità del sistema ad anello chiuso rappresentato in figura al variare del guadagno K positivo. F (s) = s 1 s(s/1 1) Diagrammi di Bode tracciati per K = 1 Modulo (db) Diagramma del modulo in db u W(s) Sistema ad anello chiuso Sistema ad anello aperto u 1 y 1 K F(s) y Fase (deg) π 25 Esatto Approx Diagramma della fase Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 16

18 Esempio 8 Come evidenziato dai diagrammi di Bode tracciati per K = 1, alla pulsazione per la quale la fase vale 18 il modulo vale 1 (o db); pertanto il corrispondente diagramma di Nyquist passerà esattamente per il punto di coordinate ( 1, ) quando K = 1.! = Per valutare l effetto della variazione del guadagno K positivo sul diagramma di Nyquist, si può o 1/K! = 1! = 1 traslare il diagramma del modulo (in db) della quantità K db e riportare tali variazioni sul diagramma di Nyquist mantenendo la scala costante;! = Diagramma di Nyquist manuale Pertanto per o, equivalentemente, variare la scala e parametrizzare la posizione del punto rispetto al quale contare il numero di giri di F (jω). Ciò è possibile in quanto il numero di giri intorno al punto ( 1, ) di KF (jω) è uguale al numero di giri di F (jω) intorno al punto ( 1/K, ). < K < 1 si ha N = 1 P = 1, il sistema ad anello chiuso è instabile K = 1, N non è definito e il sistema ad anello chiuso non è stabile asintoticamente (il criterio di Routh applicato al denominatore della funzione di trasferimento del sistema ad anello chiuso dimostra che si ha stabilità semplice). K > 1 si ha N = 1 = P = 1, il sistema ad anello chiuso è stabile asintoticamente. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 17

19 Esempio F 1 F 2 F 1 F 2 Modulo (db) Diagrammi del modulo in db F 1 (s) = F 2 (s) = 1 s(s 1) 1 s 5 (s 1) Fase (deg) Diagrammi della fase! =! = 1! = 1! = 1 1! = 1! = 1! = Diagramma di Nyquist manuale di F 1 (s) N =! = Diagramma di Nyquist manuale di F 2 (s) N = 2 Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 18

20 Harry Nyquist Harry Nyquist, nato a Nilsby (Svezia) il 7 Febbraio 1889, è morto a Harlingen (Texas, USA) il 4 Aprile Nyquist emigrò negli Stati Uniti nel 197 e conseguì il dottorato di ricerca nel 1917 all Università di Yale. Fu immediatamente assunto dalla A.T.&T. Company e lavorò sia alla sezione Ricerca e Sviluppo sia ai Bell Laboratories. I suoi contributi spaziano dalla Teoria delle Telecomunicazioni alla Teoria del Controllo. Nella Teoria del Controllo, il contributo più noto è il Teorema di Nyquist sulla stabilità dei sistemi a retroazione. Harry Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 19