Stabilità e risposte di sistemi elementari

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1 Parte 4 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 4, 1 Stabilità e risposte di sistemi elementari Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

2 Stabilità (esterna) Parte 4, 2 Nozione che cattura la proprietà di come l uscita di sistema dinamico reagisce a fronte di perturbazioni sull ingresso Perturbazione Sistema

3 Stabilità (esterna) Parte 4, 3 Dalla proprietà di sovrapposizione degli effetti (sistemi lineari) si può pensare anche in termini di perturbazione di un moto nominale Perturbazione (disturbo) + Sistema traiettorie nominali traiettorie perturbate

4 Parte 4, 4 Quindi la stabilità esterna si riduce ad analizzare la risposta di un sistema a fronte di un ingresso impulsivo Dalle regole di antitrasformazione è quindi facile mettere in relazione la stabilità esterna di un sistema con il segno della parte reale dei poli della funzione di trasferimento:

5 Risultato: il sistema lineare con fdt e esternamente Asintoticamente stabile se tutti i poli di hanno parte reale negativa; Semplicemente stabile se tutti i poli di hanno parte reale non positiva ed eventuali poli a parte reale nulla hanno molteplicità singola; Instabile se esiste almeno un polo a parte reale positiva o a parte reale nulla e molteplicità maggiore di 1. Parte 4, 5 Sempre dalle proprietà di antitrasformazione di Laplace e in particolare dallo sviluppo in fratti semplici, è semplice dedurre il risultato che ogni sistema esternamente asintoticamente stabile risponde con uscite limitate a fronte di ingressi limitati non necessariamente impulsivi (stabilità BIBO). Tale proprietà non è garantita nel caso di stabilità esterna semplice (risonanza tra ingresso e polo della fdt)

6 Parte 4, 6 Risposte temporali di sistemi elementari Come evidenziato nella parte 3, la risposta forzata di un sistema dinamico con fdt arbitrariamente complessa può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine. Ha quindi senso analizzare l andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l andamento temporale della risposta. Sistemi del primo ordine Sistemi del secondo ordine Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante Effetto degli zeri

7 Sistemi del primo ordine Parte 4, 7 costante di tempo guadagno statico Valore di regime Derivata iniziale Tempo di assestamento all

8 Sistemi del secondo ordine Parte 4, 8 coefficiente di smorzamento ( ) pulsazione naturale ( ) Dalle regole di antitrasformazione:

9 Parte 4, 9 Tempo di assestamento all

10 Osservazioni: La sovraelongazione percentuale dipende univocamente dal coefficiente di smorzamento. In particolare l andamento e monotono decrescente. Parte 4, 10 Il tempo di assestamento è proporzionale al prodotto tra il coeff. di smorzamento e la pulsazione naturale (parte reale dei poli)

11 Parte 4, 11 Altra quantità di interesse: Tempo di salita. Tempo occorrente affinché l uscita passi dal 10% al 90% del valore finale Punto di flesso approssimazione Tempo di salita ( )

12 Parte 4, 12 Il tempo di salita dipende in maniera congiunta (non linearmente) sia da che da. Fissato il tempo di assestamento decresce all aumentare di. Fissato il tempo di assestamento decresce al calare di.

13 Parte 4, 13 Luoghi a tempo di assestamento e sovraelongazione costante Problema: caratterizzare tutte le fdt del secondo ordine che a fronte di un ingresso a gradino presentano: 1) lo stesso tempo di assestamento; 2) la stessa sovraelongazione. Stessa sovraelongazione Stesso tempo assestamento

14 Luoghi a tempo di assestamento costante Parte 4, 14 Dalla relazione e ricordando che reale dei poli cc risulta essere il modulo della parte Tutte le coppie di poli cc con parte reale costante generano riposte al gradino con lo stesso tempo di assestamento cresce se la parte reale decresce

15 Parte 4, 15

16 Parte 4, 16 Luoghi a sovraelongazione costante Dalla relazione e ricordando che risulta essere l angolo che il segmento congiungente il polo con l origine forma con l asse reale negativo Tutte le coppie di poli cc che giacciono su semirette uscenti dall origine hanno la stessa sovraelongazione nella risposta al gradino cresce se l angolo aumenta

17 Parte 4, 17

18 Parte 4, 18 Luoghi dei poli cc che caratterizzano tutte le fdt con un tempo di assestamento (5%) e sovraelongazione

19 Esempio sistema meccanico Parte 4, 19 Ingresso: forza motrice Uscita: posizione del carrello Parametri fisici: rigidezza molla attrito viscoso massa sovraelongazione guadagno statico tempo di assestamento

20 Parte 4, 20

21 Sistema del secondo ordine con poli reali (Polo dominante) Parte 4, 21 Antitrasformando si ottiene: Valore asintotico Valore iniziale Rapidità iniziale

22 Parte 4, 22 In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo molto diverse ( ovvero ) Quindi il termine associato al polo con costante di tempo maggiore e caratterizzato da un residuo molto più grande e da un esponenziale molto più lento ad estinguersi La risposta del sistema tende a quella di un sistema del primo ordine governato dal polo dominante

23 Parte 4, 23

24 Effetto degli zeri nella risposta di sistemi elementari Sistema del primo ordine con uno zero reale Grado relativo 0 collegamento algebrico ingresso uscita Parte 4, 24 Antitrasformando si ottiene: Valore asintotico Valore iniziale

25 Parte 4, 25 Sistema del primo ordine con uno zero nell origine Antitrasformando si ottiene: Valore asintotico (proprietà bloccante degli zeri) Valore iniziale

26 Parte 4, 26 Risposta sistema del secondo ordine, poli reali + zero reale Antitrasformando si ottiene: Proprietà per e : L analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello zero.

27 Caso sistemi a fase non minima: ( ) Parte 4, 27 Essendo si ha che la risposta parte con una sottoelongazione ( )

28 Parte 4, 28 Caso sistemi a fase minima: Termine >0 che tende a 0 lentamente Termine <0 che tende a zero velocemente Inoltre: Derivata nel caso non ci sia lo zero

29 Parte 4, 29 La risposta presenta una sovraelongazione tanto più marcata quanto più lo zero tende verso l origine Risposta non oscillatoria Risposta molto più brusca dell equivalente sistema privo di zero

30 Parte 4, 30 Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione : Termine <0 che tende a zero velocemente Il residuo associato e molto piccolo e >0 se <0 se Inoltre l esponenziale tende a zero lentamente.

31 Parte 4, 31 L esponenziale lento genera un contributo piccolo che non e evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto sovrastato dal contributo dell esponenziale veloce ) ma che appare asintoticamente. Tale contributo e positivo se e negativo altrimenti.

32 Parte 4, 32 L andamento di e quindi inizialmente analogo a quello di un sistema del primo ordine (governato dal polo veloce con costante di tempo ). Al passare del tempo emerge un contributo subdolo che si esaurisce lentamente con una velocità che dipende dalla costante di tempo associata allo zero) Tipica risposta con due dinamiche temporali. Coda di assestamento dovuta alla quasi cancellazione polo/zero.

33 Risposta sistema del secondo ordine, poli cc + zero reale Notare che Parte 4, 33 con Quindi, dalle proprietà delle trasformate di Laplace, dove rappresenta la risposta al gradino del sistema senza zero.

34 Parte 4, 34 L effetto dello zero e analogo al caso di sistemi con poli reali sottoelongazione per, accentuazione delle sovraelongazioni sfasamento in ritardo per e in anticipo per