Fondamenti di Automatica (10 cfu) Corso di Studi in Ingegneria Gestionale A.A. 2011/12 TESTI ESERCIZI PRIMA PARTE DEL CORSO

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1 Fondamenti di Automatica (10 cfu) Corso di Studi in Ingegneria Gestionale A.A. 2011/12 TESTI ESERCIZI PRIMA PARTE DEL CORSO Prof. SILVIA STRADA Esercitatore ANDREA G. BIANCHESSI

2 ESERCIZIO 1 1. Scrivere il sistema dinamico dello schema elettrico in figura 2. Classificare il sistema ottenuto 3. Scrivere le matrici A, B, C e D utilizzando i seguenti valori: R=1 ohm, C=5 farad, L = 0.5 Henry Variabile di ingresso: i Variabile di uscita: V C Generatore di corrente R C L ESERCIZIO 2 1. Scrivere il sistema dinamico del modello di serbatoio descritto in figura 2. Classificare il sistema ottenuto Variabile di ingresso: W i Variabile di uscita: W O ESERCIZIO 3 1. Scrivere il sistema dinamico del modello di una sospensione per auto riportato in figura 2. Classificare il sistema ottenuto Svolgere i punti 1 e 2 considerando solo C come ingresso, solo Z r come ingresso e considerando sia C che Z r come ingressi. Variabile di uscita: Z Le variabili utilizzate nel modello sono: M: la massa di ¼ del veicolo (stiamo considerando un solo blocco sospensionepneumatico) m: massa dello pneumatico C: smorzamento K: costante di elasticità Z: altezza dal punto 0 del veicolo Z t : altezza dal punto 0 dello pneumatico Z r : profilo stradale

3 ESERCIZIO 4 Data la matrice *, calcolare. ESERCIZIO 5 Dato il seguente sistema dinamico [ ], [ ] Determinare l evoluzione libera del sistema a partire dalla condizione iniziale x(0)= x 0. ESERCIZIO 6 * *, calcolare: 1. Il movimento libero dello stato a partire dalla condizione iniziale * 2. Il movimento forzato per condizioni iniziali nulle e ingresso ESERCIZIO 7 *, calcolare: 1. Per quali valori di a > 0 il sistema ammette modi oscillanti 2. Per quali a tali modi sono anche instabili? 3. Calcolare il movimento dello stato per a=3 e * ESERCIZIO 8 Calcolare per le seguenti matrici.

4 1. [ ] 2. * (!la matrice è in forma di Jordan!) ESERCIZIO 9 Dire se le seguenti matrici sono diagonalizzabili. 1. [ ] 2. [ ] 3. [ ] ESERCIZIO 10 con * e [ ]. 1. Assumendo * e, determinare le condizioni iniziali del sistema. ESERCIZIO 11 con *, [ ]. 1. Verificare che per a<0 i modi del sistema sono oscillanti smorzati 2. Determinare per quali valori di a la risposta libera del sistema a partire dalla condizione iniziale 3. Tracciare l andamento di * soddisfa la seguente relazione: ESERCIZIO 12 Si consideri il sistema dinamico: con *, *, [ ].

5 1. Calcolare la traccia della matrice A e formulare una condizione necessaria per l asintotica stabilità del sistema 2. Determinare per quali valori di a il sistema è asintoticamente stabile 3. Trovare, se esistono, un valore costante dell ingresso ed un valore del parametro a per cui lo stato di equilibrio è * 4. In corrispondenza del valore di a trovato al punto precedente determinare il guadagno statico del sistema ESERCIZIO 13 Data la matrice *, calcolare. ESERCIZIO 14 Data la matrice [ ] 1. Utilizzando traccia e polinomio caratteristico di A formulare due condizioni necessarie all asintotica stabilità del sistema 2. Utilizzando il criterio di Routh trovare per quali valori di il sistema è asintoticamente stabile ESERCIZIO 15 ( ) ( ) 1. Trovare gli stati e le uscite di equilibrio del sistema con 2. Linearizzare il sistema nell intorno dell equilibrio * e scrivere le matrici A, B, C, D. 3. Discutere la stabilità degli equilibri trovati ESERCIZIO Classificare il sistema 2. Trovare gli stati e le uscite di equilibrio del sistema con 3. Linearizzare il sistema nell intorno del punto di equilibrio * 4. Valutare la stabilità del sistema linearizzato al punto precedente ESERCIZIO 17 lineare con

6 [ ] [ ] si dica per quali valori di a e b il sistema è asintoticamente stabile. ESERCIZIO Classificare il sistema 2. Trovare gli stati e le uscite di equilibrio con 3. Pronunciarsi circa la stabilità del sistema 4. Scrivere i modi del sistema 5. Utilizzando la formula determinare la funzione di trasferimento del sistema 6. Trovare poli, zeri, tipo e guadagno della funzione di trasferimento ESERCIZIO 19 con * * [ ] 1. Calcolare la funzione di trasferimento 2. Identificare poli, zeri, tipo e guadagno della funzione di trasferimento ESERCIZIO Calcolare il movimento libero dell uscita per un generico stato iniziale x 0 2. Calcolare il movimento forzato dell uscita con 3. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema ESERCIZIO 21 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni: ( ) 5. 6.

7 ESERCIZIO 22 Calcolare l antitrasformata di Laplace per le seguenti funzioni: ESERCIZIO 23 ( ) 1. Riscrivere il sistema nel domino di Laplace 2. Riportare il sistema nella rappresentazione a schema a blocchi 3. Calcolare la funzione di trasferimento da U a Y 4. Il sistema ottenuto è asintoticamente stabile? ESERCIZIO 24 Dato il seguente schema a blocchi G4(s) w G1(s) G2(s) G3(s) y G5(s) n G6(s) 1. Scrivere la funzione di trasferimento 2. Scrivere la funzione di trasferimento

8 ESERCIZIO 25 Dato il seguente schema a blocchi u β G(s) y H(s) α con 1. Scrivere la funzione di trasferimento 2. Per quali α e β il sistema è asintoticamente stabile? ESERCIZIO 26 Scrivere le funzioni di trasferimento per ciascuno degli scemi a blocchi riportati di seguito 1. A(s) y B(s) u C(s) 2. u G1(s) G2(s) y G3(s) ESERCIZIO 26 Dato il seguente schema a blocchi u G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) y

9 1. Dire, motivando la risposta, se la stabilità asintotica di qualcuno dei sistemi descritti dalle funzioni di trasferimento G1, G2, G3, G4 è necessaria per la stabilità asintotica del sistema complessivo. 2. Scrivere la funzione di trasferimento del sistema ESERCIZIO 27 a tempo discreto 1. Verificare che * è un equilibrio del sistema 2. Linearizzare il sistema nel punto di equilibrio e discuterne la stabilità ESERCIZIO 28 [ ] [ ] [ ] 1. Trovare gli stati di equilibrio del sistema con 2. Calcolare l evoluzione libera dello stato a partire dalla condizione iniziale [ ] 3. Il risultato del punto 2 poteva essere ricavato come conseguenza del punto 1? ESERCIZIO 29 a tempo discreto calcolare l uscita per i primi 4 istanti di tempo. ESERCIZIO 30 a tempo discreto 1. Come varia lo stato di equilibrio in funzione dell ingresso costante? 2. Calcolare i primi 4 istanti di tempo del movimento forzato dello stato sapendo che 3. Scrivere il movimento libero dello stato sapendo che

10 ESERCIZIO 31 Si consideri un corso di laurea triennale e si indichi con k = 0, 1,2, l anno accademico dall attivazione del corso. Si indichi con x i (k) il numero di studenti frequentanti l iesimo anno di corso, i=1, 2,3, durante l anno accademico k. Sia y(k) il numero di laureati nell anno accademico k, e u(k) il numero di iscritti al primo anno di corso nell anno accademico successivo. Sia α i, i = 1,2, la frazione di studenti che passa dall iesimo anno all (i1)esimo anno di corso, e α 3 la frazione di laureati. Infine sia β i, i=1,2,3, la frazione di abbandoni durante l iesimo anno di corso. 1. Scrivere un modello del sistema, evidenziandone gli ingressi, lo stato e le uscite. 2. Posto α 1 =α 2 =, α 3 =, β 1 =, β 2 =, β 3 = a. Studiare la stabilità e i modi del sistema b. Calcolare l evoluzione del numero di laureati con condizioni iniziali x 1 (0)=0, x 2 (0)= 20, x 3 (0)=10, e assumendo non ci siano nuovi iscritti. TEMA ESAME 19 NOVEMVRE NOVEMBRE 2009 ESERCIZI 3. E 4.