Risposta temporale: esempi

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1 ...4 Risposta temporale: esempi Esempio. Calcolare la risposta al gradino unitario del seguente sistema: x(t) = u(t) s + 5 (s + )(s + ) y(t) Il calcolo della trasformata del segnale di uscita è immediato: X(s) = s Y (s) = G(s)X(s) = Per ottenere y(t) occorre antitrasformare la funzione Y (s). Valore iniziale della funzione y(t): Valore finale della funzione y(t): Scomposizione in fratti semplici: dove Y (s) = y() = lim s s Y (s) = y( ) = lim s s Y (s) = 5 s + 5 s(s + )(s + ) s + 5 s(s + )(s + ) = s + (s + ) + 3 (s + ) s + 5 = s Y (s) s= = (s + )(s + ) = 5 s= = (s + ) Y (s) s= = s + 5 s(s + ) = 4 s= 3 = (s + ) Y (s) s= = s + 5 s(s + ) = 3 s= Si ricava quindi che la risposta forzata del sistema è: y(t) = L - [Y (s)] = 5 4e t + 3 e t

2 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 Esempio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema molla-smorzatore. F x b Descrizione mediante un equazione differenziale: = F b ẋ x b ẋ + x = F Utilizzando le trasformate di Laplace (x() = ) si ha: da cui si ottiene: b s X(s) + X(s) = F (s) X(s) = b s + F (s) Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: F (s) G(s) b s + X(s) In questo caso la risposta al gradino è di tipo aperiodico ( =, b =.):

3 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 3 Esempio. Sistema massa-molla-smorzatore. x m b F Variabili e parametri: x(t) : posizione m : massa ẋ(t) : velocità : rigidità della molla ẍ(t) : accelerazione b : Coefficiente di attrito lineare F (t) : forza applicata Descrizione mediante un equazione differenziale: d [mẋ] = F b ẋ x mẍ + b ẋ + x = F dt Utilizzando le trasformate di Laplace (x() = ẋ() = ) si ha: m s X(s) + b s X(s) + X(s) = F (s) X(s) = Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: F (s) m s + b s + F (s) G(s) m s + b s + X(s) Posto m =, b = 3 e =, calcolare la risposta del sistema ad un gradino di forza F (t) =. Si procede nel seguente modo: F (s) = s X(s) = G(s)F (s) = s(s + 3 s + ) Operando la scomposizione in fratti semplici, si ha che: X(s) = Antitrasformando si ottiene: s(s + )(s + ) = 5 s (s + ) + 5 (s + ) x(t) = 5 e t + 5 e t

4 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 4 Posto m =, b = e =, calcolare la risposta del sistema ad un gradino di forza F (t) =. Si procede nel seguente modo: F (s) = s X(s) = G(s)F (s) = Operando la scomposizione in fratti semplici si ha che: Antitrasformando si ottiene: s(s + s + ) X(s) = s[(s + ) + 3 ] = s s + (s + ) + 3 = [ s s + (s + ) ] 3 3 (s + ) + 3 x(t) = e t [cos(3 t) + sin(3 t)] 3 Nel primo caso, l andamento temporale era di tipo aperiodico; in questo caso l andamento temporale è di tipo oscillatorio smorzato: I termini esponenziali con coefficienti a parte reale molto negativa si annullano più rapidamente. La risposta dinamica del sistema è dominata dal polo, o dalla coppia di poli, più vicino all asse immaginario.

5 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 5 Esempio. Sia dato il seguente sistema G(s): G(s) = 8( s + 3) (. s + 3)( s + )(s + s + )(s + s + 4) Calcolare il guadagno statico G del sistema, disegnare l andamento qualitativo y(t) della risposta al gradino unitario del sistema G(s) stimando qualitativamente il tempo di assestamento T a e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata:.3.5 G =.. T a T ω = 6 s =.63 s Esempio. Lo schema a blocchi riportato sotto rappresenta la dinamica di un motore in corrente continua (V è la tensione in ingresso, C e è la coppia resistente, ω m è la velocità angolare del motore, α è la costante di coppia, L ed a sono l induttanza e la resistenza del circuito di armatura, b e J sono il coefficiente di attrito e il momento di inerzia del motore). V ω m α a+l s b+j s α C e

6 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 6 Utilizzando la formula di Mason, calcolare le funzioni di trasferimento G (s) = ω m(s) V (s) e G (s) = ω m(s) C e (s) che legano gli ingressi V (s) e C e(s) all uscita ω m (s): G (s) = ω m(s) V (s) = α (a + L s)(b + J s) + α G (s) = ω m(s) C e (s) = (a + L s) (a + L s)(b + J s) + α Posto L =, J =, α =, a = 3, b = 5 ed utilizzando l approssimazione dei sistemi a poli dominanti, calcolare l andamento qualitativo della risposta della funzione di trasferimento G (s) ad un gradino di tensione V (t) = in ingresso: G (s) = = s + 8 s + 5. s +.8 s Calcolare inoltre il tempo di assestamento T a, la massima sovraelongazione S% e il periodo T dell oscillazione smorzata. La posizione dei poli della funzione G (s) è la seguente: I parametri richiesti sono: p, =.4 ± j.995 = σ ± j ω T a = 3 σ = 7.5 s, T = π ω = 6.35 s δ = cos[arctan( ω σ )] =.373, S% = e δπ δ = 8.8 %,

7 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 7 Esempio. Disegnare l andamento qualitativo y(t) della risposta al gradino unitario del sistema G (s). Calcolare il guadagno statico ( =.93) e fornire una stima del tempo di assestamento (T a = 3 s)..8.6 G (s) = (s+)[(s+) + ] Im.4. Re Esempio. Stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del seguente sistema G(s) alla risposta al gradino: (s + 45)(s + 476) G(s) = (s )(s + 6)(s + 99)(s + s + ) T a = 3 =.3 Esempio. Il sistema massa-molla-smorzatore mostrato sotto è caratterizzato dall equazione differenziale M ẍ + B ẋ + x = F..9.8 M F x B Data la risposta x(t) del sistema ad un gradino di forza F = N (vedi l andamento temporale mostrato a fianco), determinare: ) la funzione di trasferimento G(s) del sistema in forma simbolica: G(s) = X(s) F (s) = M s + B s +

8 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 8 ) i valori numerici dei parametri M, B e (cioè massa, attrito lineare e rigidità della molla): M = 5, B =, = La risposta al gradino mostrata in figura evidenzia chiaramente che il tempo di assestamento del sistema è T a =, cioè il sistema è semplicemente stabile e i suoi poli complessi coniugati si trovano sull asse immaginario. Una situazione di questo tipo si può avere solo se le dissipazioni del sistema sono nulle: da cui si ricava: T a = 3 δω n = δω n = B M = B = B = M s + = s, = ±j M = ±jω Il valore a regime x del segnale in uscita x(t) coincide con il valore medio x =.5 del segnale stesso ed è uguale al prodotto tra l ampiezza dell ingresso (F = ) e il guadagno statico G() del sistema: x = F G().5 = = Il valore della parte immaginaria ω si ricava facilmente dal periodo T dell oscillazione: ω = π T = π π = s Il valore di M si determina facilmente dalla relazione seguente: ω = M = M 4 = 5 I valori numerici cercati dei parametri M, B e sono quindi i seguenti: M = 5, B =, =