Modelli di sistemi elementari. (Fondamenti di Automatica G. Ferrari Trecate)

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1 Modelli di sistemi elementari (Fondamenti di Automatica G. Ferrari Trecate)

2 Circuiti elettrici Resistore R i resistenza corrente v tensione v = Ri( Induttore L i induttanza corrente v tensione L i! = v( Equazione Differenziale Ordinaria (EDO)

3 Circuiti elettrici Condensatore C i capacita corrente v tensione C v! = i( EDO Rete elettrica Cv! c = i v R = Ri v = RCv! + v g c c vc( t ) v! c ( t ) = + RC EDO v g ( t RC )

4 Sistemi meccanici Massa in moto rettilineo M massa r posizione v velocita a accelerazione F forza esterna! r( v! F( = v( = a( = Ma( EDO+equazione lineare Oscillatore armonico r! v! = = v( a( k costante elastica D coeff. di attrito Ma( = F( kr( EDO+equazione lineare Dv(

5 Pendolo Sistemi meccanici m τ α massa g accelerazione di gravita l lunghezza asta (priva di massa) ϑ posizione angolare coppia forzante ω velocita angolare accelerazione angolare! ϑ( = ω(! ω( = α( ml α( = τ mgl sin( ϑ( ) 2 EDO+equazione nonlineare

6 Sistemi idraulici Serbatoio cilindrico AS area della sezione h livello del liquido q portata entrante i A h! q S = i EDO

7 Sistemi idraulici Serbatoio cilindrico con valvola di efflusso Av area di efflusso della valvola k coefficiente caratteristico della valvola A S h! = q ka h( i v EDO

8 Forno Capacità termica del forno Temperatura interna Temperatura esterna Coefficiente di scambio Potenza termica in ingresso C f θ θ i e k ie q Se si suppone che non ci sia accumulo di energia nelle pareti, dal principio di conservazione dell energia si ottiene il modello ( θ ) q( ) C! θ = k θ t f i ie e i +

9 Forno - 2 Supponiamo ora che ci sia accumulo di energia nelle pareti Capacità termica interna del forno Capacità termica delle pareti Temperatura interna Temperatura esterna Temperatura delle pareti Coefficienti di scambio θ e θ i θ p Potenza termica in ingresso k C p, q ip k pe C i Dal principio di conservazione dell energia C! θ = C i! θ p i p k ip = k ( θ θ ) pe p + q( ( θ θ ) k ( θ θ ) e i p ip p i

10 Modelli compartimentali Modelli per il trasferimento di massa tra diverse regioni (compartimenti) usati in farmacocinetica e bioingegneria monocompartimentale q( d( k Frecce portate di massa q massa [Kg] k coeff. di d portata di massa [Kg/s] trasferimento [1/s] (portata di massa= ) kq( q! = kq( + d( Esempio evoluzione di un farmaco mel compartimento ematico q quantità del farmaco nel compartimento ematico d iniezione endovenosa al tempo t=0 k coefficiente di trasferimento dei processi metabolici ed escretori

11 Modelli compartimentali Modelli con piu compartimenti d 1 q 1 k 12 d 2 q 2 q! = ( k 1 q! 2 1 = ( k + k k ) q 2 1 ) q + k k q d 1 1 q + d 2 k 1 k 21 k 2 Esempio evoluzione di un farmaco nel compartimento gastrointestinale (1) ed ematico (2) d 1,d 2 = somministrazione orale/endovenosa q 1,q 2 = quantità del farmaco nel compartimento gastrointestinale/ematico k 12 = coefficiente di trasferimento dal compartimento 1 al compartimento 2 k 21 = coefficiente di trasferimento dal compartimento 2 al compartimento 1 k 1 = coefficiente di trasferimento del compartimento gastrointestinale k 2 = coefficiente di trasferimento dei processi metabolici ed escretori

12 Modelli compartimentali Modelli con piu compartimenti d 1 q 1 k 12 q 2 q 1 ( = (k 13 +k 12 )q 1 (+d 1 ( k 13 k 23 q 2 ( = k 23 q 2 (+k 12 q 1 ( q 3 ( = k 13 q 1 (+k 23 q 2 ( k 3 q 3 ( q 3 k 3

13 Modelli compartimentali con trasferimento di massa non lineare d( q( f ( q( ) q! = f ( q( ) + d( (Michaelis-Menten) f ( q) V k = max + m q q Nel caso di coeff. di trasferimento costante si aveva f ( q) = kq Vmax f ( q) = q km Ora, quando q e grande, la portata uscente satura al valore V max f ( q) V k = max m + q q

14 Modelli fondamentali per l esame Circuiti elettrici Sistemi meccanici Sistemi idraulici Forno Modelli compartimentali e per concludere alcuni esempi addizionali

15 Dinamica di popolazione modello di Malthus di Malthus (1798) crescita esponenziale N( popolazione b tasso di natalita d tasso di mortalita N! = bn( dn( EDO La soluzione dell EDO e N( t ) = N 0 e ( b d )t b > d > 0 Se il modello prevede una crescita esponenziale della popolazione Non si tiene conto della limitatezza delle risorse (cibo, acqua etc...) ne di altri fattori che impediscono la crescita.

16 Dinamica di popolazione modello di Verhulst di Verhulst (1848) - crescita logistica A > 0 N! N( = bn( 1 A termine di competizione per le risorse capacità della popolazione dovuta a limiti nella disponibilità di nutrimento, spazio etc. N > A se la popolazione decresce (risorse scarse) se N < A la popolazione cresce (risorse disponibili) N A t

17 Circuito d armatura Motore in corrente continua Rotore Parte elettrica Ri( + Li! e f = kw( = v( e f Parte meccanica Jw! = C m C m = ki(, C C r a C a = hw( Inerzia del rotore Coppia generata Coppia resistente Coppia di attrito Velocità di rotazione Forza elettromotrice J C m C r C a w e f R kw( v( i! = i( + L L L k Cr h w! = i( w( J J J