Esempi di modelli fisici

Transcript

1 Esempi di modelli fisici ) Dinamica del rotore di un motore elettrico. Si consideri un elemento meccanico con inerzia J, coefficiente di attrito lineare che ruota alla velocità angolare ω al quale venga applicata una coppia esterna c(t). c(t) c(t) ω(t) ω(t)? 0 t J 0 t L equazione differenziale che caratterizza il sistema è quella che si ricava dalla legge di conservazione della quantità di moto angolare: d[jω(t)] dt = c(t) ω(t) J ω(t) + ω(t) = c(t) Partendo da condizioni iniziali nulle e applicando Laplace si ottiene: J s ω(s) + ω(s) = C(s) ω(s) = + J s C(s) per cui il sistema fisico può essere descritto nel modo seguente: C(s) c(t) + J s ω(s) ω(t) dove è la funzione di trasferimento che descrive il sistema fisico: = + J s R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

2 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 2 2) Sistema massa-molla-smorzatore. K m F Variaili e parametri del sistema fisico: (t) : posizione m : massa ẋ(t) : velocità K : rigidità della molla ẍ(t) : accelerazione : Coefficiente di attrito lineare F (t) : forza applicata P (t) : Quantità di moto Legge di conservazione della quantità di moto P (t) = m ẋ(t): d dt [P (t)] = i F i (t) m d dt [ẋ(t)] = i Si ottiene quindi la seguente equazione differenziale: d [m ẋ(t)] = F ẋ(t) K (t) dt che può essere riscritta nel seguente modo: mẍ(t) + ẋ(t) + K (t) = F (t) Utilizzando le trasformate di Laplace ((0) = ẋ(0) = 0) si ha: m s 2 X(s)+ s X(s)+K X(s) = F (s) X(s) = Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: F i (t) F (s) m s 2 + s + K F (s) m s 2 + s + K X(s) R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

3 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 3 3) Sistema elettrico RLC. I L R Iu=0 V i L V u Legge fisica: la variazione del flusso concatenato φ c (t) è uguale alla tensione V L (t) applicata ai capi dell induttanza. d dt [φ(t)] = V L(t) L d dt [I L(t)] = V i (t) R I L (t) Applicando la trasformata di Laplace, con condizioni iniziali nulle, si ha: L s I L (s) + R I L (s) = V i (s) I L (s) = L s + R }{{} Il sistema può quindi essere rappresentato nel modo seguente: V i (s) V i (s) L s + R I L (s) R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

4 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 4 4) Motore elettrico in corrente continua. I a L R ω m V E + J C e θ m Schema a locchi POG del motore: V E ω m K e R + Ls + Js I a K e C e Il sistema è descritto dalle seguenti 2 equazioni differenziali: { LIa = RI a K e ω m + V J ω m = K e I a ω m C e Per il principio di conservazione dell energia, la costante K e è sia la costante di proporzionalità che lega la corrente di armatura I a alla coppia motrice, sia la costante di proporzionalità che lega la forza contromotrice E alla velocità angolare ω m : = K e I a E = K e ω m R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

5 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 5 Riducendo in forma minima il sistema (vedi Formula di Mason ) si ottiene il seguente legame tra la variaile di uscita ω m (t) e le variaili di ingresso V (t) e C e (t): ω m (s) = G (s)v (s) + G 2 (s)c e (s) dove G (s) lega l ingresso di controllo V (t) all uscita ω m (t) G (s) = K e (R + L s)( + J s) + K 2 e mentre G 2 (s) lega l ingresso di disturo C e (t) all uscita ω m (t): G 2 (s) = (R + L s) (R + L s)( + J s) + K 2 e La precedente relazione può essere riscritta come [ ] L J s 2 + (R J + L )s + R + Ke 2 ωm (s) = K e V (s) (R + L s)c e (s) che corrisponde alla seguente equazione differenziale del secondo ordine: L J ω m + (R J + L ) ω m + (R + K 2 e )ω m = K e V R C e L Ċe R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

6 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 6 5) Frizione idraulica. P Q Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione: K v P A ẋ m p K m F m Pressione di alimentazione Portata volumetrica nella valvola Costante di prop. della valvola Capacità idraulica del cilindro Pressione all interno del cilindro Sezione del pistone Posizione del pistone Velocità del pistone Massa del pistone Attrito lineare del pistone Rigidità della molla Forza della molla sul pistone K m m p, A Q Q Valvola (K v ) P P R = 0 Uno schema a locchi che descrive la dinamica del sistema è il seguente: P P A F F m Q K v s Q A +m p s ẋ K m s 0 Riducendo il sistema in forma minima si ottiene la seguente f.d.t. : = F m(s) P (s) = AK m K v m p s 3 + ( + K v m p )s 2 + (A 2 + K m + K v )s + K m K v a cui corrisponde la seguente equazione differenziale del terzo ordine: m p... F m +( +K v m p ) F m +(A 2 + K m +K v ) F m +K m K v F m = AK m K v P (t) R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI

7 .2. MODELLI FISICI E SCHEMI A BLOCCHI.2 7 6) Sistema meccanico di trasmissione. Si consideri il sistema meccanico mostrato in figura, costituito da un alero di inerzia J, che ruota a velocità ω, a cui è applicata la coppia esterna τ. Tramite un rullo elastico avente rigidità torsionale K e raggio costante R, l alero spinge una massa M che comprime una molla lineare con coefficiente di rigidità K 2. J K 2 M K R 2 Un possiile schema a locchi che descrive la dinamica del sistema è il seguente: τ τ R F 2 F 2 + J s K s 2 + M s K 2 s ω ω R ẋ 0 La funzione di trasferimento che lega l ingresso τ all uscita F 2 si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason : = K K 2 R a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a s + a 0 dove: a 4 = J M R 2 a 3 = ( 2 J + M)R 2 a 2 = J K + 2 R 2 + J K 2 R 2 + K M R 2 a = K + 2 K R 2 + K 2 R 2 a 0 = K K 2 R 2 R. Zanasi, R. Morselli - Controlli Automatici /06. CONCETTI FONDAMENTALI