Invert. a PWM. abc. Figura 1: Schema azionamento

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1 ESERCIZIO Si consideri il controllo di coppia di figura che fa uso di un azionamento a corrente alternata con un motore sincrono a magneti permanenti con rotore isotropo avente i seguenti dati di targa: R =.5 Ω (resistenza di fase) L = 5 mh (induttanza sincrona) p = 4 (coppie polari) E = 5 V (fem efficace concatenata alla velocità di rpm) i dq* u dq* u αβ* m * G i R idq dq αβ Invert. a PWM T ϑ m : m e dq abc Figura : Schema azionamento La posizione del rotore e le correnti di fase sono misurate con un guadagno unitario e senza ritardi. L invertitore ha guadagno unitario e frequenza di PWM pari a khz. Il carico è un sistema estrusore il cui comportamento meccanico è assimilabile a quello di un carico viscoso con coppia proporzionale alla velocità e tale da produrre una coppia all estrusore M e = Nm quando l estrusore ruota alla velocità di rpm. Non ci sono altri attriti statici o viscosi. L estrusore è connesso al motore attraverso un riduttore di velocità ideale (senza perdite) con rapporto :. Il momento d inerzia complessivo del sistema meccanico visto dal motore è di.5 kgm. a) Progettare il blocco G i generatore dei riferimenti di corrente assumendo che il motore sia chiamato a funzionare solo nella regione a coppia disponibile costante. b) Progettare il controllo di corrente R idq adottando regolatori P, PI, PID, in modo che per entrambe le correnti l errore a regime ad un riferimento costante sia nullo, la banda passante sia di almeno 5 Hz e il margine di fase maggiore di 6. c) Si calcoli la corrente efficace e la tensione concatenata efficace ai morsetti del motore quando l azionamento trascina l estrusore alla velocità di rpm. Si assumano, durante l elaborazione, i necessari eventiali dati integrativi compatibili con quelli assegnati e con le ipotesi progettuali che si intendono seguire. Si giustifichino le scelte adottate.

2 SVOLGIMENTO punto a) Il blocco sarà costituito da blocchi di guadagno che ricevono in ingresso il riferimento di coppia, uno per la generazione di un riferimento i d che, trattandosi in questo caso del controllo di un motore con rotore isotropo nella regione a coppia disponibile costante, sarà un guadagno pari a una costante nulla; l altro per la generazione del riferimento i q sarà pari a un guadagno costante di valore 3 pλ mg punto b) Note sui riduttori di velocità I riduttori di velocità sono dispositivi meccanici in grado di trasmettere una potenza meccanica tra due alberi, variando i parametri coppia e velocità. Trascurando gli effetti degli attriti (caso di riduttori ideali), e chiamando K R il rapporto di trasmissione del riduttore (nel caso di rapporto : sarà K R = ) otteniamo le seguenti relazioni, dove con il pedice m si indicano le grandezze lato motore, con il pedice c le grandezze lato carico meccanico. P m = P c P m = M T OT m ω m P c = M T OT c ω c Considerando la coppia (M T OT m e M T OT c ) formata da tre contributi (contributo costante, contributo attrito viscoso e contributo inerziale) si ottiene: P m = (M m + Bω m + J m dω m dt )ω m P c = (M c + Bω m + J c dω c dt )ω c Vale la seguente relazione tra le velocità lato motore e lato carico: ω m = K R ω c Sostituendo nelle equazioni precedenti si ricava: dk R ω c P m = (M m + BK R ω c + J c )K R ω c dt Sistemando l equazione precedente si ottiene: P m = (K R M m + BK Rω c + J c K R dω c dt )ω c

3 3 Da questa derivano, uguagliando le potenze trasmesse (P m e P c ) le seguenti relazioni tra le grandezze meccaniche agli alberi del riduttore: M m = M c K R B m = Bc K R J m = Jc K R Si può proseguire con lo svolgimento del problema. Il problema va risolto con i seguenti dati per quanto riguarda il carico meccanico visto dal motore: B c = M e πn e 6 = π 6 B m = B c KR =.9Nms J =.5kg m = 9.Nms Il coefficiente di attrito viscoso B c va diviso per il quadrato rapporto di trasmissione per riportarlo al motore; il momento di inerzia J m coincide con il dato assegnato, in quanto il testo indica che è già il totale momento di inerzia visto dal motore. Per il calcolo di Λ mg si può utilizzare la seguente equazione: dalla quale si ricava Λ mg =.5 V s E = π pλ mg 3 6 Asse d La fdt in catena aperta dell asse d è: Con i dati del problema diventa: GH R = GH R () + sτ e + sτ c GH R = + s + s Il diagramma di bode della funzione GH R è il seguente:

4 4 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura : Bode GH r asse d Si può calcolare la frequenza di attraversamento ν Aid, di seguito indicata con ν A (tale risultato non è richiesto, serve solo per dare un idea di come sarà la parte proporzionale del regolatore): = + ( ν A ) + ( ν A ) Il termine + ( ν A ) può essere trascurato nel calcolo, giustificato dal fatto che dal diagramma asintotico si vede che la ν A è molto minore di rad/s. Si ottiene: ν A 73rad/s Utilizziamo un regolatore PI per ottenere errore a regime nullo. Sarà da verificare se riesce a garantire il margine di stabilità richiesto. La fdt in catena aperta col regolatore è: GH = K I + sτ I s + s + s Scegliendo la costante di tempo τ i pari alla costante di tempo τ e si ottiene: GH = K I s + s

5 5 Imponendo una pulsazione di attraversamento pari a πf BW = π5 = 34.6 rad/s possiamo ricavare la costante K I : Si ottiene: Possiamo calcolare il K P come segue: Il margine di fase vale: = K I ( ) 34.6 K I = 59 K P = K I τ I = 59. = 5.9 m ϕ = 8 9 arctan ( ) 34.6 = 8 Il margine di fase è > 6 (specifica del testo) e quindi il regolatore PI progettato è sufficiente a garantire tutte le specifiche. Il diagramma di Bode della funzione GH è il seguente: Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 3: Bode GH asse d

6 6 Asse q La fdt in catena aperta dell asse q senza il regolatore è la seguente: dove: e GH R = + sτ c Y q B + sj Y q = 3 (pλ mg) D(s) JL RJ + LB D(s) = 3 (pλ mg) s + 3 (pλ mg) s + RB 3 (pλ mg) + Con i dati del problema si ottiene: e: D(s) =.48 3 s s GH R =.73 + s + s.38 ( s ) +.73s + Si può considerare l approssimazione di porre B = ; in tal caso il polinomio D(s) non cambia molto, e diventa: D(s) =.48 3 s s + I calcoli proseguono comunque considerando il polinomio D(s) calcolato con il valore B m =.9Nms. Il polinomio a denominatore ha radici reali, e si può scomporre come segue: GH R =.73 + s + s.38 ( + s 4.6 )( + s ) Si può calcolare la pulsazione di attraversamento ν Aiq, in seguito indicata con ν A (anche in questo caso tale valore ha scopo solo conoscitivo, non essendo necessario per la risoluzione del problema): =.73 Trascurando il termine + ( ν A + ( ν A ).38 ) [ ( ν A ) ] + (.73νA ) + ( ν A ) si perviene alla seguente equazione: ν 4 A.585 ν A +.97 = che risolta fornisce valori, uno solo accettabile: ν A 75 rad/s Il diagramma di Bode di GH R è il seguente:

7 7 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 4: Bode GH r asse q La fdt in catena aperta con il regolatore è la seguente: GH R = K I + sτ I s.73 + s + s.38 ( + s 4.6 )( + s ) Ponendo la costante di tempo τ I = /4.6 si ottiene una cancellazione polo-zero e la fdt diventa: GH R = K I s.73 + s + s.38 + s Imponendo che la pulsazione di attraversamento sia uguale a πf BW = π5 = 34.6 rad/s quando il modulo è pari a si può ricavare la costante K I : + ( ) = K I ( ) ( ) Si ottiene: K I 73.5 Possiamo calcolare il K P come segue: K P = K I τ I = = 5.94

8 8 Si può calcolare il margine di fase: ( 34.6 m ϕ = arctan.38 ) arctan ( ) 34.6 arctan ( ) 34.6 = Anche in questo caso il regolatore PI garantisce un margine di fase > 6 e quindi è sufficiente a soddisfare tutte le specifiche richieste. Il diagramma di Bode della fdt GH è il seguente: Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 5: Bode GH asse d punto c) Quando l estrusore ruota a rpm, cui corrisponde la coppia M e = Nm, il motore ruota a rpm. In tale condizione, a regime, il motore sta erogando una coppia pari a Nm (M m = M e, come visto in precedenza). Si ha: K R = = 3 p Λmg I q dalla quale si ricava I q = 6.6A e I d = per lavorare al massimo rapporto coppiacorrente. Dalla relazione I = I d +I q si ottiene la corrente efficace: I =.5 A Inoltre

9 9 si ha: U d = RI d Ω me LI q U q = RI q + Ω me LI d + Ω me Λ mg Sostituendo si ottiene: U d = 34.5 V U q = 94 V La tensione concatenata efficace vale: 3 U conc = U q + U d =.45 V Simulazioni con Simulink Mediante il programma di simulazione Simulink è possibile simulare la risposta ad un gradino di corrente I q. Nella simulazione di seguito descritta si è imposto un gradino di ampiezza unitaria, che si manifesta dopo un tempo di. s. Lo schema a blocchi del controllo della corrente è rappresentato nella figura seguente, senza il contributo del regolatore: Figura 6: Schema a blocchi del controllo della corrente (senza regolatore) La risposta del sistema ad un gradino unitario è visibile nelle figure seguente, delle quali la seconda ne rappresenta un ingrandimento.

10 .5 * (A) (A) Figura 7: Risposta ad un gradino unitario di corrente (senza regolatore).5 * (A) (A) Figura 8: Particolare risposta ad un gradino unitario di corrente (senza regolatore) Si può notare come, senza il regolatore, l errore a regime non sia nullo, quindi il segnale di uscita si assesta attorno ad un valore pari a: = i q + GH() = A dove GH() rappresenta il guadagno della fdt in catena aperta e a frequenza nulla

11 (guadagno statico). Con la presenza del regolatore lo schema a blocchi si completa come nella figura seguente: Figura 9: Schema a blocchi del controllo della corrente (con regolatore) Anche in questo caso è possibile applicare un gradino di i q e graficare la risposta del sistema. Le figure seguenti si riferiscono a tale andamento, la seconda figura mostra un ingrandimento dell andamento nell intorno dell inizio del gradino..5 * (A) (A) Figura : Risposta ad un gradino unitario di corrente (con regolatore)

12 .5 * (A) (A) Figura : Particolare risposta ad un gradino unitario di corrente (con regolatore) In questo caso si vede come la presenza del regolatore influenzi sia la velocità di risposta del sistema che la precisione del controllo. L errore a regime in questo caso è nullo, essendo GH R ()