Lezione 18. Trasmissione e carico. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 18

Transcript

1 Lezione 8. Trasmissione e carico F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8

2 . Introduzione Tra motore e carico viene di norma inserito un riduttore per adattare le velocità di rotazione e la coppia erogata alla specifica applicazione. In generale, si diminuisce la velocità di rotazione del carico rispetto a quella dell albero motore per aumentare la coppia utile sul carico. Molto diffusi sono i riduttori epicicloidali. A rulli A ingranaggi plastici A ingranaggi metallici Silenziosità - Slittamento - Ciclo vita breve Silenziosità Peso - Coppia ridotta F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 Affidabilità - Peso - Rumorosità 2

3 Altri riduttori: A cascata di ingranaggi Catena Cinghia Coppia massima Assenza di slittamento - Ingombro - Complessità progettuale - Costo Coppia massima Assenza di slittamento Semplicità progettuale - Rumorosità - Costo Silenziosità Costo - Slittamento (se senza denti) - Ciclo vita breve - Elasticità F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 3

4 2. Modello della trasmissione Si consideri un ingranaggio, costituito da due ruote dentate, una solidale all albero motore, l altra all albero del carico. Il motore genera una coppia motrice che lavora contro una coppia resistente dovuta al carico. motore carico Si consideri innanzitutto il comportamento statico. Al punto di contatto le ruote si scambiano una reazione vincolare. Coppia in ingresso alla trasmissione (generata dal motore) motore carico Coppia in uscita dalla trasmissione (verso il carico) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 4

5 Dalle precedenti equazioni si può ricavare da cui si ottiene il rapporto di trasmissione cioè il rapporto tra la coppia in uscita dalla trasmissione verso il carico e la coppia in ingresso alla trasmissione generata dal motore. Consideriamo ora il comportamento cinematico. Al punto di contatto le velocità tangenziali delle ruote dentate devono essere uguali. Detta dunque la posizione angolare dell albero del carico e la posizione angolare dell albero motore si ha che da cui si ottiene Ciò è vero nell ipotesi di trasmissione rigida, ovvero quando gli alberi e le ruote non subiscono deformazioni per effetto degli sforzi torsionali. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 5

6 E necessario descrivere l elasticità torsionale della trasmissione ed è possibile farlo mediante un modello «black box» che lega la coppia applicata alla posizione mediante un sistema molla (torsionale)-smorzatore (torsionale) ovvero introducendo un elasticità ed un termine viscoso (rotatorio) di smorzamento. Lo schema a blocchi della trasmissione sarà quindi F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 6

7 3. Modello del carico Il modello del carico può essere descritto da un sistema dinamico del secondo ordine senza elasticità (per dinamica rotatoria, quindi inerzia e termine viscoso rotatori) che fornisce la posizione del carico come effetto della coppia applicata dove è il momento di inerzia del carico, il coefficiente del termine viscoso, la coppia agente sul carico attraverso la trasmissione e la coppia di carico. Lo schema a blocchi del carico è il seguente F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 7

8 4. Modello della parte meccanica di un motore DC Similmente a quanto fatto per il carico, si può descrivere la dinamica meccanica del motore mediante un sistema dinamico del secondo ordine senza elasticità che fornisce la posizione dell albero motore come effetto della coppia applicata dove è il momento di inerzia del motore, il coefficiente del termine viscoso, la coppia effettivamente trasmessa alla trasmissione e la coppia generata dal motore. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 8

9 5. Modello complessivo parte elettrica del motore parte meccanica del motore ( ) ( ) ( ) ( ) trasmissione (elastica) carico F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 9

10 Schema concettuale ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Motore parte elettrica Motore parte meccanica Trasmissione Carico Carico ( ) Ingresso ( ) Motore Trasmissione Carico ( ) Uscita F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 0

11 6. Modello rigido di un azionamento Se la trasmissione è rigida allora Conseguentemente, Si scrivano dunque le equazioni per motore e carico Essendo rigida la trasmissione si ha che e Si ha dunque Ricavando, per eliminarla, in entrambe le equazioni si ha F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8

12 Si ha quindi da cui Ricordando che, Quindi Infine è il momento di inerzia del carico ridotto all albero motore è il coefficiente di smorzamento del carico ridotto all albero motore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 2

13 Lo schema a blocchi del modello rigido è il seguente La funzione di trasferimento da corrente a velocità (del motore) è la seguente Ω La funzione di trasferimento da corrente a posizione (del motore) è la seguente F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 3

14 7. Modello elastico di un servomeccanismo Partiamo direttamente dallo schema a blocchi generale visto precedentemente X Si può trascurare l attrito sul carico (di solito è piccolo e consente un analisi più accurata) La funzione di trasferimento da corrente a velocità (del motore) è la seguente: Ω La funzione di trasferimento da corrente a posizione (del motore) è la seguente: F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 4

15 8. Analisi di sensitività rispetto ai parametri elastici Si analizzi ora la dipendenza della posizione dei poli dai parametri elastici e per valutare l effetto delle caratteristiche della trasmissione sul comportamento del servomeccanismo. In generale, la funzione di trasferimento ha tre poli, uno reale e due complessi coniugati. Supponendo 0 Ω Si ottiene Ω X X X In questo caso il polo reale è nell origine (in generale è in bassa frequenza). Ricordando che F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 5

16 La funzione di trasferimento è Essa ha, oltre al polo nell origine, due poli complessi coniugati e due zeri complessi coniugati con le seguenti caratteristiche: Poli 2 2 Zeri 2 2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 6

17 Nel caso 0 i poli complessi coniugati cambiano di poco le loro proprietà ed il terzo polo è in bassa frequenza. 80 Bode Diagram K el Magnitude (db) K el 0; D el Frequency (rad/sec) Per la trasmissione è rigida. Per 0, 0, la trasmissione è aperta (solo motore). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 7

18 Ω Per 0, 0 si ottiene, che è la funzione di trasferimento del solo motore, scollegato dal carico Per si ottiene, che è la funzione di trasferimento di motore e carico connessi da trasmissione rigida. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 8

19 80 Bode Diagram Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Al crescere di la pulsazione naturale di poli e zeri cresce (la trasmissione si irrigidisce, la «prima risonanza» si sposta in alta frequenza) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 9

20 80 Bode Diagram D el Magnitude (db) D el D el Frequency (rad/sec) Al crescere di lo smorzamento di poli e zeri diminuisce (la trasmissione si irrigidisce senza modificazione della «prima risonanza») F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 20

21 9. Analisi di sensitività rispetto al momento di inerzia Si definisce rapporto di inerzia il rapporto tra il momento di inerzia del carico ed il momento di inerzia del motore riportato all asse del carico Dalla precedente espressione si può ottenere l espressione del momento di inerzia totale e del momento di inerzia del carico in funzione di e F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 2

22 E anche possibile esprimere le caratteristiche di poli e zeri complessi coniugati della funzione di trasferimento del sistema in funzione del rapporto di inerzia Poli Zeri F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 22

23 Al crescere di Al crescere di i due picchi di risonanza ed antirisonanza si allontanano. il picco di risonanza è sempre più smorzato di quello di antirisonanza. Nei robot cambia in esercizio (durante il moto). Una volta che siano note le caratteristiche inerziali di motore e carico, ovvero esiste una scelta ottima per il rapporto di trasmissione? e Nell ipotesi di assenza di attriti viscosi sia sul motore che sul carico, cioè 0 e con trasmissione rigida, l equazione che regola il moto del sistema è Dall ultima espressione è possibile calcolare il rapporto tra l accelerazione impressa al carico e la coppia motrice F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 23

24 Per quale valore del rapporto di trasmissione la coppia motrice genera la massima accelerazione? Essendo il valore massimo si avrà per argmin Questa espressione è minimizzata per ovvero per Condizione di inertia matching Dal momento che questa condizione si ha per Per Per < il motore è «sovradimensionato» > il motore è «sottodimensionato» F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 24