Lezione 1 17 Gennaio

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1 LabCont1: Laboratorio di Controlli 1 II Trim Lezione 1 17 Gennaio Docente: Luca Schenato Stesori: Luca Schenato 1.1 Motore CC con motoriduttore e carica IPOTESI Figura 1.1. Schema meccanico dell apparato sperimentale. 1) le ruote dentate non slittano θ m N 1 = θ l N 2 2) il motoriduttore non dissipa energia τ 1 θm = τ 2 θl in altre parole la potenza in entrata e uguale alla potenza in uscita nelle due ruote dentate 3) l induttanza motore elettrico e trascurabile L = 0. NOTA: E possibile verificare a posteriori tale ipotesi controllando i poli del motore con il polo elettrico p i = R L. 1-1

2 Parametro V m τ m τ 1 τ 2 = τ b τ l θ m θ l b m b l J m J b J l = m 2 l m l J r N 1 = N m N 2 = N l Descrizione Tensione di ingresso al motore Momento torcente applicato dal motore Momento torcente reattivo sulle ruote del motore Momento torcente applicato alla base del motoriduttore Momento torcente reattivo dovuto al carico Angolo del rotore del motore Angolo della base del motore Coefficiente d attrito viscoso del motore Coefficiente d attrito viscoso della base Momento d inerzia del motore Momento d inerzia della base Momento d inerzia dovuto al carico Massa del pendolo distanza centro di massa del pendolo dal vincolo Momento d inerzia di una ruota dentata Numero di denti della ruota dentata del motore Numero di denti della ruota dentata della base Tabella 1.1. Descrizione dei parametri del modello meccanico. PARTE ELETTRICA DEL MOTORE V m = Ri + K φ θm (1.1) PARTE MECCANICA DEL MOTORE τ m = K φ i (1.2) J m θm = τ m b m θm τ 1 (1.3) (J b + J l ) θ l = τ b b l θl mgl sin(θ l ) (1.4) Si noti che in quest ultima equazione J l si somma a J b dal momento che il pendolo e attaccato rigidamente alla base e quindi contribuisce all inerzia. 1-2

3 OBIETTIVO Trovare θ l (s) = P (s)v m (s), cioe la dinamica dell angolo di uscita rispetto al controllo. In tale equazione θ l (s) svolge il ruolo di uscita y e V m (s) il ruolo di ingresso u. Sia N = N l N m. θ Sostituiamo in (1.3) le equazioni θ m = Nθ l e τ 1 = l θ m τ b = 1 τ N b ottenendo J m N θ l = τ m b m Nθ l τ b N Sostituiamo τ b ottenuto in (1.5) in (1.4) e otteniamo (J m N 2 ) θ l = Nτ m (b m N 2 )θ l τ b. (1.5) (J b + J l ) θ l = Nτ m (b m N 2 )θ l (J m N 2 ) θ l b l θl mgl sin(θ l ) (J l + J b + N 2 J m ) θ l = (b l + N 2 b m ) θ l mgl sin(θ l ) + Nτ m. (1.6) Quest ultima equazione rappresenta la dinamica della parte meccanica. Notare che e possibile definire J eq = Jb + J l + N 2 J m b eq = bl + N 2 b m τ eq m = Nτ m Calcoliamo ora la dinamica della parte elettrica: J eq θl = b eq θl mgl sin θ l + τ eq m. (1.7) V m = Ri + K Φ N θ l (1.8) τ m = K Φ i (1.9) J eq θl = b eq θl mgl sin θ l + Nτ m (1.10) (1.11) 1-3

4 Figura 1.2. Modello in diagramma a blocchi. CASI PARTICOLARI (A) non c e il pendolo dunque m = 0. Abbiamo che ove si e posto P (s) = J eq = J m N 2 + J l b eq = b l + N 2 b m φ = NK φ τm eq = Nτ m θ l (s) = P (s)v m (s) NK φ J eq RS + (Rb eq + N 2 K 2 φ ) = K = NK φ J eq R, K s(s + p) p = Rb eq + N 2 Kφ 2. J eq R Si noti che questo rappresenta il modello usuale per motore elettrico ove K e p sono diversi. 1-4

5 Figura 1.3. Stesso modello di motore elettrico senza la base Uniche differenze sono il calcolo di J eq, b eq e φ. (B) Supponiamo che i segnali in gioco siano piccoli. Dunque possiamo supporre ragionevole l approssimazione sin θ l θ l. Sia Da queste equazioni si ha che V m = Ri + θl τ eq m = φ i = Keq R ( V m φ θ l ) J eq θl = b eq θl mglθ l + τ eq m J eq θl = b eq θl mglθ l + Keq φ R ( Vm K φ eq) RJ eq θl = ( Rb eq + ( φ )2) θl mglrθ l + K φ eqv m Dunque in termini di funzione di trasferimento abbiamo che ove avendo posto T (s) = θ l (s) = T (s)v m (s) φ J m Rs 2 + (Rb eq + ( φ )2 )s + mglr = γ = Keq φ J m R, φ )2 α = Rb eq + ( J m R Si noti che T (s) rappresenta un sistema del secondo ordine. γ s 2 + αs + β, β = mgl J e q 1-5

6 1.2 Motore in laboratorio Figura 1.4. modello diagramma a blocchi Figura 1.5. Vista laterale dell apparato meccanico. 1-6

7 1.2.1 Parametri del motore Figura 1.6. Vista superiore dell apparato meccanico. Parametro Valore Unità di misura k φ volt/(rad/sec) k T 1.63 volt/rad R 2.6 Ω L H N 14 J b kg m 2 J r kg m 2 J m kg m 2 Dai dati riportati in tabella otteniamo: Tabella 1.2. Valori nominali del motore. φ = N K φ = [V olt/(rad/s)] J e q = J b + 3J r + N 2 J m = [kgm 2 ] b m, b r =?? non sono noti, quindi devono essere stimati. 1-7