Soluzione commentata. L'installazione proposta dal tema d'esame può essere rappresentata dallo schema seguente: 1 a Parte

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1 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica Soluzione commentata L'installazione proposta dal tema d'esame può essere rappresentata dallo schema seguente: 1 a Parte Per i trasformatori il tema fornisce i dati: Per i motori asincroni: 1

2 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica Il testo precisa altresì che i motori lavorano alle condizioni nominali. Per coppia nominale deve intendersi: coppia resa in condizioni nominali. Ipotizziamo ovviamente che si tratti di un impianto in corrente alternata trifase e che la frequenza sia di 50 Hz. Per poter essere messi in parallelo i trasformatori devono appartenere allo stesso gruppo. Nei calcoli successivi trascureremo le perdite addizionali. 1 Calcolo delle correnti erogate dai trasformatori Dobbiamo innanzitutto calcolare la corrente complessivamente assorbita dai carichi. Calcoliamo quindi le potenze attive e reattive assorbite dai motori M 1, M ed M 3. Decidiamo anche di chiamare V la tensione di alimentazione dei carichi che coincide con la tensione secondaria dei trasformatori P AM1 = P AM = P n1 1 = P n = ,94 = W P AM3 = P n3 3 = ,9 = 3609 W Conviene anche calcolare le correnti assorbite dai motori: I AM1 = I AM = P AM1 3V cos M1 = ,86 = 169 A I AM3 = P AM3 3V cos M3 = ,83 = 59,7 A Per il calcolo della corrente complessivamente assorbita dai motori ricorriamo al metodo delle potenze (teorema di Boucherot). Calcoliamo quindi la potenza attiva e reattiva totale. Chiameremo queste potenze P e Q dato che saranno anche le potenze erogate complessivamente dai secondari dei trasformatori Potenza attiva e reattiva totale assorbita dai carichi Calcoliamo le potenze reattive. P = P AM1 + P AM + P AM3 = x = 4100 W M1 = arcos 0,86 = 30,7 tan M1 =0,593 M3 = arcos 0,83 = 33,9 tan M3 =0,67 Q AM1 = Q AM = P AM1 tan M1 = ,593 = W Q AM3 = P AM3 tan M3 =3609 0,67 = 1913 W Q = x = VAR Calcoliamo ora la potenza apparente: S = P Q = = VA cosϕ τοτ = 4100/61863 = 0,856

3 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica 1. Corrente totale assorbita dai carichi Possiamo ora ricavare la corrente I complessivamente assorbita dai carichi e quindi erogata dal parallelo dei trasformatori: I = S 3V = = 398 A 1.3 Parametri secondari equivalenti dei trasformatori Notiamo che i due trasformatori hanno lo stesso cos ϕ cc = 0,4, ma non le stesse Potenze di corto circuito percentuali. Torneremo in seguito su questo fatto. Trasformatore A Calcoliamo la corrente secondaria nominale, considerando che la tensione secondaria a vuoto V 0 è la stessa per entrambe le macchine: I na = S na 3 V 0 = = 173, A Potenza di corto circuito: P cca =,4% S na = 0, = 880 W cos ϕ cc = 0,4 ϕ cc = 66,4 tanϕ cc =,9 poiché P cca = 3 R eqa I na R eqa = 0,030 Ω X eqa = R eqa tanϕ cc = 0,030,9 = 0,0733 Ω Z eqa = 0,030 + j 0,0733 = 0,08 66,4 Ω Trasformatore B I nb = S nb 3 V 0 = = 31 A Potenza di corto circuito: P ccb =,% S nb = 0, = 350 W cos ϕ cc = 0,4 ϕ cc = 66,4 tanϕ cc =,9 poiché P ccb = 3 R eqb I nb R eqb = 0,0 Ω X eqb = R eqb tanϕ cc = 0,0,9 = 0,0504 Ω Z eqb = 0,0 + j 0,0504 = 0,055 66,4 Ω 3

4 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica 1.4 Correnti erogate dai trasformatori Osserviamo intanto che i due trasformatori hanno la stessa tensione secondaria a vuoto. Ciò significa che non vi sarà corrente di circolazione a vuoto. Come già evidenziato cos ϕ cc = 0,4 è identico per le due macchine, il che significa che le correnti secondarie saranno in fase. Tuttavia le diverse P cc % indicano che i triangoli di corto circuito non sono uguali. Ciò è confermato dal calcolo delle tensioni di corto circuito percentuali: v cca% = P cca% / cosϕ cc =,4/0,4 = 6% e v ccb% = P ccb% / cosϕ cc =,/0,4 = 5,5%. Nella pratica un parallelo di questo tipo dovrebbe essere evitato in quanto il sistema è squilibrato dal punto di vista dell'erogazione delle correnti. Poiché le tensioni secondarie a vuoto sono uguali, i due secondari sono equivalenti ad un generatore di tensione V 0 con in serie il parallelo delle impedenze secondarie equivalenti. I z eqa I A z eqb I B V 0 V Le correnti erogate dai trasformatori, in questo caso, coincidono con le correnti sui rami del parallelo calcolate, ad esempio, mediante la formula del partitore di corrente: I A = I B = Z eqb Z eqa Z eqb I = 0,055 0,055 0,08 0, = 398 = 16 A 0,135 Z eqa 0,08 0,08 I Z eqa Z = 398 = 398 = 36 A eqb 0,055 0,08 0,135 Notiamo che questi calcoli divengono semplici calcoli algebrici dal momento che tutte le impedenze hanno lo stesso angolo caratteristico (66,4 ). Confrontiamo questi valori con le correnti nominali precedentemente calcolate: I na = = 173, A e I nb = 31 A e osserviamo che il trasformatore B è in leggero sovraccarico. Se si fossero rispettate le condizioni per un parallelo perfetto (v cca% = v ccb%, a parità delle altre condizioni) le due macchine avrebbero erogato correnti nello stesso rapporto dato dalle correnti nominali: I nb / I na = 1,334. Con un semplice calcolo si ricava : I A = 170,5 A e I B = 7,4 A, entrambe entro i valori nominali. 1.4 Rendimento Calcolate le perdite Joule dei due trasformatori: e le perdite a vuoto: P JA = 3 R'' eqa I A = 519 W P JB = 3 R'' eqb I B = 3670 W P 0A = 0,9/ = 1080 W 4

5 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica P 0B = 0,8/ = 180 W Calcoliamo la potenza assorbita totale e il rendimento: P ass = P + P 0A + P 0B + P JA + P JB = = 3649 η = 4100/3649 = 0,963 = 96,3 % Calcolo degli scorrimenti Calcoliamo le velocità angolari: per tutti i motori a 4 poli, abbiamo: Per i primi due motori: da cui: 0 = n 1 60 = 1500 = 157 rad /s 60 = P n = = 154,9 rad /s C r 581 n = 60 = 1480 giri/minuto mentre lo scorrimento: Per il terzo motore: s = 0 = ,9 = 0, = P n = = 153,8 rad /s C r 195 n = 60 = 1470 giri /minuto s = 0 = ,8 = 0, a Parte Il tema d'esame propone alcuni dati aggiuntivi relativi al motore da 30 kw rapporto di trasformazione m = 1,3; perdite meccaniche per attrito e ventilazione P m = 750 W; potenza assorbita a vuoto P 0 = 1800 W; fattore di potenza a vuoto cos ϕ 0 = 0,5..1 Rendimento nominale Non si capisce il senso di questa richiesta in quanto se il motore da 30 kw funziona in condizioni nominali, come asserito dal testo, il rendimento nominale deve essere 0,9. 5

6 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica. Calcolo della resistenza addizionale rotorica per una riduzione del 10% della velocità a parità di coppia resa Premesso che questo metodo di regolazione della velocità è quantomeno inusuale oltre che particolarmente svantaggioso, comportando una sensibile diminuzione del rendimento della macchina, dovremo calcolare il valore della resistenza rotorica sulla base di alcune ipotesi semplificative...1 Calcolo della corrente rotorica In questi calcoli assumiamo come riferimento per gli angoli, l'asse reale su cui giace il vettore flusso Φ. Calcoliamo la corrente a vuoto I 0: I 0 = P 0 3V 1 cos 0 = ,5 = 10,94 A ϕ 0 = arcos(0,5) = 75,5 e la fase della corrente a vuoto è: 90 75,5 = 14,48, per cui in forma polare e algebrica: I 0 = 10,94 14,48 = 10,59 + j,73 A Precedentemente avevamo trovato: I 1 = 59,7 A con cosϕ = 0,83 ϕ = arcos(0,83) = 33,9, quindi in forma polare e algebrica: I 1 = 59,7 56,1 = 33,3 + j 49,55 A La corrente statorica di reazione I' 1 è data dalla differenza vettoriale tra I 1 e I 0: I' 1 = I 1 I 0 = 33,3 + j 49,55 (10,59 + j,73) =,71 + j 46,8 A I' 1 = 5 64,1 A detto m il rapporto di trasformazione a circuiti di rotore aperti, si ha m = 1,3 e quindi si ottiene la corrente rotorica: I = I' 1 m = 5 1,3 = 67,6 A Per il calcolo di R, resistenza di fase rotorica, conviene determinare le perdite joule rotoriche. Queste si possono ottenere dalla relazione: P JR = s P T dove P JR indica le perdite joule del rotore, P T la potenza trasmessa e s lo scorrimento. Per determinare P T possiamo ricorrere alla coppia trasmessa o elettromagnetica C T, che, come è noto, è anche uguale alla coppia meccanica C M. Calcoliamo prima la potenza meccanica: P M = P R + P m = = W Avendo precedentemente calcolato ω = 153,8 rad/s (v. 1.5): C T = C M = P M = = 00 Nm 153,8 La potenza trasmessa è data da: 6

7 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica Calcoliamo ora le perdite joule rotoriche: P T = ω 0 C T = = W P JR = s P T = 0, = 68 W da P JR = 3 R I 68 = 3 R 67,6 si ricaverà la resistenza di fase rotorica R, ipotizzando il collegamento a stella: R = 0,04580 Ω La nuova velocità del motore è: n' = 0,9 n = 0, = 133 giri/minuto lo scorrimento: ω ' = 0,9 ω = 0,9 153,8 = 138,4 rad/s s ' = 0 = ,4 = 0, La caratteristica meccanica, nella zona di funzionamento stabile può essere, con buona approssimazione, considerata lineare, per cui: C T = k T R s Il tema prescrive che la variazione di velocità debba avvenire a parità di coppia resa, per cui si avrà anche: di C T = k T R ' s ' allora è possibile stabilire l'eguaglianza tra i membri di destra delle due equazioni: da cui ricaviamo: k T R ' s' = k T R s R ' = s' s R = 0,118 0,04580 = 0,70 0,00 sottraendo il valore della resistenza di fase rotorica si ottiene il valore della resistenza del reostato da inserire in serie: R add = 0,70-0,04580 = 0,4 Ω 7

8 Esame di Stato anno Istituto Tecnico Industriale Elettrotecnica e Automazione - prova: Elettrotecnica 3 a Parte Se uno dei motori viene arrestato ovviamente diminuisce la potenza assorbita e conseguentemente erogata dai trasformatori: Ripetendo calcoli precedenti abbiamo: Potenza attiva totale assorbita dai carichi: P = Potenza reattiva totale assorbita dai carichi: Q = 7874 Potenza apparente totale assorbita dai carichi: S = Corrente totale assorbita dai carichi. cosϕ τοτ = 18353/15057 = 0,85 Ripartizione del carico sui due trasformatori: Perdite per effetto joule sui trasformatori: I = 8,8 A I A = 93, I B = 135,6 A P JA = 3 R'' eqa I A = 834 W P JB = 3 R'' eqb I B = 113 W e quindi una consistente diminuzione delle perdite joule mentre le perdite a vuoto restano invariate: P 0A = 0,9/ = 1080 W P 0B = 0,8/ = 180 W trascurando ovviamente le perdite joule a vuoto. Possiamo notare che il trasformatore B presenta perdite joule quasi uguali alle perdite a vuoto che approssimativamente coincidono con le perdite nel ferro. L'uguaglianza tra queste due perdite è la condizione per il massimo rendimento della macchina. Anche il trasformatore B funziona più efficientemente e possiamo ipotizzare un leggero aumento del rendimento complessivo del paralleo. Rendimento del parallelo: P ass = = η = 18353/13760 = 0,967 = 96,7 % in leggero aumento rispetto alla situazione precedente. In questo caso il rendimento totale dell'impianto è: η = ( )/13760 = 0,904 90,4 % mentre nel caso di funzionamento a piena potenza abbiamo η = ( )/3649 = 10000/3649 = 0,903 90,3 % 8