LA CORRENTE ALTERNATA

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1 CAPITOLO 39 LA COENTE ALTENATA L ALTENATOE È la legge di Faraday-Neumann, perché in linea di principio l alternatore è costituito da una spira che viene fatta ruotare all interno di un campo magnetico. Valori di corrente e tensione efficaci. Il display non visualizzerebbe un unico valore, bensì un numero che varia in continuazione e quindi inutile ai fini pratici. 3 P f eff 00 W 0 V,8 A f eff 0 V,8 A 60,4 Ω 4 i 0,300 A P 0, A ma ( 50 Ω) ( 0 3 A) 6, 75 W f eff P 6,74 W 0, A 3,8 V f 0 ( 300,0 0 3 A) ( 50,0 Ω) 45,0 V 5 80 V 5 Ω 5,3 A ω π f π( 50 Hz) 3, 0 rad/s f ( t) sen( ωt ) 80 V sen 3, 0 rad/s t

2 6 00 V 50 V 0,566 A P f eff ( 0,566 A) 00 V 80,0 W La quantità di energia dissipata per effetto Joule è W Pt ( 80,0 W) ( 900 s) 7,0 0 4 J cioè è uguale al lavoro fatto dal generatore in 5 min ( 900 s). 7 Il multimetro misura i valoricaci. Φ! B NSBcos ωt ω π f π( 0 Hz) 6 rad/s f em d dt Φ ( B! ) Nl B d cos ( ωt ) dt Nl Bω sen( ωt ) f 0 Nl Bω f eff Nl Bω 8 Le utenze domestiche sono alimentate con una tensione efficace. Lampadine in serie: serie 40 W + 60 W + 00 W, 0 3 Ω + 8, 0 Ω Ω,5 0 3 Ω f eff 0 V serie,5 0 3 Ω 0,088 A

3 P serie serie,5 0 3 Ω 0,088 A 9 W W serie P serie t ( 0,09 kw) ( 4 h) 0,46 kwh costo ( 0, 46 kwh) ( 0, ) 0,055 Lampadine in parallelo: P paral P 40 W + P 60 W + P 00 W 00 W W paral P paral t ( 0,0 kw) ( 4 h) 4,8 kwh costo ( 4,8 kwh) ( 0, ) 0,58 Nella configurazione serie la corrente che scorre nelle lampadine è più bassa di conseguenza la potenza assorbita è molto minore di quella nominale, quindi le lampadine non si accenderebbero. 9 Q ceduto mc T ( 480 m 3 )( 999 kg/m 3 )( 486 J/(kg K) )( 4 K) J P Q ceduto t 8 09 J ( 3600 s) 05 W P f eff 05 W 0 V 9 0 A GLI ELEMENTI CICUITALI FONDAMENTALI IN COENTE ALTENATA 0 In un circuito ohmico, dove corrente e forza elettromotrice sono direttamente proporzionali, istante per istante. La corrente nel condensatore anticipa di 90 mentre nell induttanza ritarda di 90 rispetto alla forza elettromotrice, dunque le correnti sono sfasate di 80. Poiché il circuito è puramente induttivo si ha Z ωl π f L π 50 Hz ( 0,5 H) 57 Ω L andamento della forza elettromotrice rispetto al tempo è f em ( 30 V)sen π( 50 Hz)t mentre quello della corrente è 30 V i t sen π ( 50 Hz 57 Ω )t π (,97 A )sen π ( 50 Hz )t π Il loro sfasamento è π/. 3

4 400 f em (V) i (A) π/ 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05,0,0 0,0,0 3 Dall espressione della corrente in un circuito capacitivo, ricaviamo f 0 ωc π fc π 50 Hz 0 A 4, 03 V F f eff 4, 03 V 3,0 0 3 V 4 ω π f π 50,0 Hz 34 rad/s 40 V 00 Ω,40 A f ( t) 40 V 5 ωl π T L sen ( 34 rad/s)t 60 V π ( 0,00 s,5 H), 3 0 A,73 0 A 9,0 0 A 6 C ωc L ωl C L 4

5 f 0 ωc ωl C ω L 7 f 0 f eff ( 0 V) 3 V i 3 V 50 Ω,07 A i L ωl π T L 3 V π ( 0,00 s 0,50 H) 6,6 A π i C ωc T C ( 3 V) π ( 0,00 s F) 0 A 8 ( 0,056 A), 0 A Cω f 0 C f 0 π f, 0 A ( 4,0 V)π Hz,6 0 8 F Q C f 0 (,6 0 8 F) ( 4,0 V) 6,4 0 8 C n Q e 6,4 0 8 C 4,0, C 9 ωl ω L f ω π C f 0 ω C f 0 ω f eff L f eff L f eff π L f eff π f, V ( 4,5 0 3 H) 6,5 03 Hz π 6,5 0 3 A 6,5 0 3 A (, V)π 6,5 0 3 Hz,3 0 7 F L ω L ωl quindi la corrente nella bobina si dimezza C C f 0 ω C f 0 ω quindi la corrente nel condensatore raddoppia 5

6 0 P i f 0 i P f 0 ( 0,0 W) 50,9 V 0,393 A Per ottenere una corrente della stessa ampiezza nel circuito induttivo occorre una frequenza: f 0 πf L L f L f 0 π L 50,9 V π 0,393 A Per il circuito capacitivo: π f C C f 0 f C πc f 0 ( 0,80 H) π 50,9 V 0,393 A 7, F 73,6 Hz 6,8 Hz 3 CICUITI IN COENTE ALTENATA Se LC / ω (condizione di risonanza), allora Z, quindi il circuito è equivalente a un circuito puramente ohmico. Devono formare un angolo d l uno rispetto all altro. 3 Quando ωl / ωc. 4 Perché la presenza del condensatore e dell induttanza generano una differenza di fase tra corrente e forza elettromotrice, per cui le due grandezze non sono direttamente proporzionali. 5 tgϕ ωl ωc ϕ arctg( 35),5 rad π( 50 Hz) ( H) 5 Ω π 50 Hz 6,0 0 6 F 35 6 Z ωl 6

7 + π,0 0 3 Hz 5 Ω f eff Z 50 V 54,5 Ω 0,9 A ( 8,0 0 3 H) ( F) π,0 0 3 Hz 54,5 Ω tgϕ ( 0,9 A), 3 A ωl ωc π(,0 0 3 Hz) ( 8,0 0 3 H) ϕ arctg(,93), rad 5 Ω π,0 0 3 Hz ( F),93 7 Per dimostrare l equivalenza delle due formule per la potenza, notiamo per prima cosa che: P essendo f eff Z f eff Z i eff f eff Z Dobbiamo quindi dimostrare che Z cosϕ Partiamo da tgϕ ωl ωc Elevando al quadrato entrambi i membri si ha ωl tg ϕ ωl Dalla relazione Z + ωl tg ϕ elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo Z + ωl Z ωl 7

8 Sostituendo nell equazione precedentemente trovata si ha tg ϕ Z Sfruttando l equazione cosϕ otteniamo + tg ϕ tg ϕ cos ϕ Z cos ϕ Z cos ϕ Z cos ϕ Z cosϕ Quindi abbiamo ottenuto che P f eff Z i eff f eff Z f eff cosϕ 8 Z + ωl + π( 50 Hz) ( 0,50 H) 8,0 Ω π 50 Hz 6,0 0 6 F 3,7 0 Ω Z,0 0 V 3,7 0 Ω 5,4 0 A ω LC 0,50 H 5,8 0 rad/s 6,0 0 6 F f ω π 5,8 0 rad/s π 9 Hz 9 Z f eff 0 V,7 A 96,9 Ω ωl Z ( 96,9 Ω) ( 3,0 Ω) 96 Ω 8

9 L Ω π( 50 Hz) 3, 0 H f eff Z Z In condizioni di risonanza si ha Z, quindi f 0 f π LC f π L,0 V 7 Ω 0,50 A C 4π LC f 7,5 03 Hz 8, Hz 3 Il primo massimo della tensione si presenta a un quarto di periodo 0,0 s T s quindi f T 0 Hz ω π f 63 rad/s ωl ( 63 rad/s) ( H),5 Ω ωc 63 rad/s 3,3 03 Ω 4,8 0 6 F Z + ωl (, 0 3 Ω) + (,5 Ω 3,3 0 3 Ω) 3,5 0 3 Ω i( t) sen ( ωt ϕ ) Z V ( t) i( t) V max i max Z 3 P( t) i( t) f em ( t) f em ( t) sen ωt 6,0 V ( 3,5 0 3 Ω, 03 Ω), V 9

10 i( t) Z f sen ωt ϕ 0 ( 0 ) ω π f π Hz, 0 5 rad/s ωl (, 0 5 rad/s) ( H),9 0 3 Ω ωc, 0 5 rad/s ( 4,8 0 6 H),7 Ω Z + ωl (, 0 3 Ω) + (,9 0 3 Ω,7 Ω) 3, 0 3 Ω ωl ϕ 0 arctg ωc P Z f0 sen( ωt )sen( ωt ϕ 0 ) arctg,9 03 Ω,7 Ω, 0 3 Ω 68, rad P t π ω f 0 cosϕ 0 Z ( 0 V) cos, rad 3, 0 3 Ω 0,0 W 33 Circuito resistivo: Circuito L: Z f eff 3,0 V 0, 34 A 94 Ω Z + ( ωl) L Z ω Circuito LC: 3,0 V 0, A, 7 0 Ω (,7 0 Ω) 94 Ω π 3,5 0 3 Hz 0,0 H la corrente è la stessa del circuito puramente resistivo, quindi il circuito è in risonanza f π LC C ( π f ) L π Hz 0,0 H 7, F 0

11 34 In mancanza del termine capacitivo tgϕ ωl da cui L tgϕ ω Dalla definizione di induttanza e di flusso magnetico otteniamo L µ 0 n S l µ 0 n πa l che combinata con la precedente fornisce tgϕ ω µ 0 n πa l da cui µ 0n πa ω l tgϕ 35 Z V eff I eff C ω L µ 0n π a f l tgϕ 00 4π 0 7 N/A π ( 0,0 m) 50 s (,0 m) 0, Ω Z + ωl + ωl ωl + ω L 4 L ω Z ω V eff I eff 0 V 7 A ( 9, 36 Ω) π 50 s 0, H 4 IL CICUITO LC 36 La somma delle due differenze di potenziale deve essere nulla, quindi le due differenze di potenziale (ai capi di L e di C) devono essere in opposizione di fase, cioè la loro differenza di fase è pari a L angolo meccanico del circuito LC è una massa, attaccata a una molla, che subisce una forza di attrito viscoso, che è direttamente proporzionale alla velocità.

12 38 La pulsazione del circuito è ω LC 7,7 04 rad/s La massima differenza di potenziale ai capi del condensatore è V C max Q C 0,090 V Questa è anche la massima differenza di potenziale che si trova (in un altro istante) ai capi dell induttanza. L energia del circuito è U Q C,6 0 0 J 39 La corrente nell induttanza diventa massima n quarto di periodo dopo che lo diventa la tensione del condensatore. Il periodo di oscillazione del circuito è perciò T 4 t 4,8 0 6 s Essendo la pulsazione ω π T l induttanza diventa L ω C 6,9 0 6 H La massima carica presente sul condensatore è Q max i max ω,8 0 8 C 40 Dal grafico si deduce che il periodo è T 4,0 µs Quindi la pulsazione è ω π T,6 06 rad/s La massima differenza di potenziale ai capi dell induttanza è V max L ωl 37 mv ωc

13 4 d dt W C ( t) d dt Li 0 cos ( ωt ) Li d 0 dt cos d dt W L ( t) d dt Li 0 sen ( ωt ) Li d 0 dt sen d dt W C 4 ( t) + d dt W t L C serie C C C + C L ω C 34 rad/s Li ω cos ωt sen ωt ( 5 µf) ( 00 µf ) 0 µf 5 µf + 00 µf 0,5 H F ( ωt ) Li 0 ω cos( ωt )sen ωt ( ωt ) Li 0 ω cos( ωt )sen ωt + L ω sen ωt W max L Li 0 ( 0,5 H) ( 0 3 A) 3, W cos ωt 0 L energia totale si conserva, quindi l energia massima immagazzinata nei due condensatori è uguale all energia massima nel solenoide. 43 ω LC 0,5 H,4 0 rad/s F Se V 0 è la tensione massima ai capi del condensatore, allora possiamo scrivere V 0 C L Q 0 C i( t) sen( ωt + ϕ 0 ) Q( t) ω cos ( ωt + ϕ 0 ) Q( t 0 s) Q 0 cos( ϕ 0 ) ϕ 0 0 C L Q 0 LC Q 0ω ( C) (,4 0 rad/s) 7,0 0 6 A L espressione dell intensità di corrente nel circuito al variare del tempo è i( t) ( 7,0 0 6 A)sen (,4 0 rad/s ) t Determino l istante di tempo in cui l energia magnetica uguaglia quella elettrica. ( t) W L ( t) W C Q 0 ( C cos ωt ) Q 0 C sen sen ( ωt ) sen ωt ( ωt ) 3

14 sen( ωt ) ± Tutte le soluzioni dell equazione goniometrica sono: ωt π 4 + n π Poiché considero l istante di tempo t > 0 s, con n si ha t 3π 4ω 3π,7 0 s 4,4 0 rad/s 5 IL TASFOMATOE 44 i eff i eff 0,80 f eff f eff 45 Sì. La continua variazione dell intensità di corrente produce un campo magnetico variabile che a sua volta induce una forza elettromotrice nel circuito secondario del trasformatore. 46 n f eff f eff ( 00 V) 400 n ,8 V 47 n n f eff f eff N N f eff f eff 48 f eff K f eff 600 9,0 V 0 V ,0 V 30 V 6 i eff K i eff Dividendo membra a membro: f eff i eff K f eff i eff K K 3 4

15 50 f eff f eff n n i eff i eff f eff f eff n i eff i eff ( 5,0 A) 40 n 660 3,8 A P 00% i eff f eff f eff i eff ( 5,0 A) ( 30 V) 3, W P 95% 0,95 P 00% ( 0,95) ( 3, ) 3,3 0 3 W 50 P f eff i eff, 0 V 0 A, 0 3 W,0 04 f eff f eff n n, 0 V,0 0, 04 V P reale 0,85 P ( 0,85) (, 0 3 W),9 0 3 W i reale P reale f eff,9 03 W, 0 4 V A 5 Primo trasformatore (centrale): f eff n 0 kv f eff n,00 kv 0 Secondo trasformatore (stazione primaria): f eff n 0 kv f eff n 0 kv 0,09 Terzo trasformatore (cabina): f eff n 3,0 kv f eff n 0 kv 0,5 Senza dissipazione di energia, la potenza rimarrebbe invariata: P 3 P P 3 85( kw),0 0 3 kw P 3 P ( 0,05) P P ( 0,05) P 3 P ( 0,05) ( 0,05) 5

16 P 5 P 3 0,05,0 MW, MW 0,05 N,4 V f eff f eff N 4 V 30 V N, V f eff f eff N V 30 V Calcolo la potenza dissipata nel trasformatore con tensione in uscita 4 V: P diss P 0,03 ( 80 W) ( 0,03),0 W Poiché per ipotesi la potenza dissipata nel primario è uguale a quella nel secondario: P diss i eff + i eff i eff La resistenza del circuito secondario è P diss i eff Per determinare è necessaria la corrente efficace del circuito secondario: i eff quindi P 80 W f eff 4 V 3, 3 A,0 W 3,3 A 0,046 Ω 53 Caso f eff 0 kv P f eff 5,0 06 W V,5 03 A P diss i eff (,5 0 3 A) (,5 Ω) 3, W η P P diss P Caso f eff 0 kv 5,0 MW 3, 4 MW 5,0 MW P f eff 5,0 06 W V 68 A P diss i eff ( 68 A) (,5 Ω) 6,9 0 3 W 0,77 77% η P P diss P 5,0 07 W 6,9 0 3 W 5,0 MW 0, % 6

17 POBLEMI GENEALI f ω π π LC π ( 0 H) 0 6 F,6 03 Hz C ω L π(,0 0 3 Hz) ( H) 8,4 0 7 F In condizioni di risonanza abbiamo Z, quindi 80 V 8 Ω 0 A 3 La resistenza totale del circuito è data dalla resistenza equivalente delle due resistenze in serie: + 00 Ω + 0 Ω, Ω ω π(, 0 4 Hz) 7,5 0 4 rad/s Z + ( ωl), Ω Z 5 V Ω + ( 7,5 0 4 rad/s) 0,400 H 3,5 0 4 A Per raddoppiare la corrente si deve dimezzare l impedenza. Aggiungiamo un condensatore in serie: Z + ωl 3,0 0 4 Ω Z Z 3,0 04 Ω,5 0 4 Ω Z + ωl C ω ωl Z 7,5 0 4 rad/s ( 7,5 0 4 rad/s) ( 0, 40 H) (,5 0 4 Ω), Ω 8,9 0 0 F 7

18 4 ω π f LC f π LC C ( π f ) L π(, Hz) Nel circuito scorre una corrente 5 f eff e la tensione ai capi dell induttanza vale f L eff ωl f eff ωl quindi il rapporto delle tensioni ai capi di L e di vale: ( 4,0 0 7 H) f L eff ωl f eff π, Hz,5 Ω n f eff f eff ( 300 V) 3 n V ( 4,0 0 7 H) 5,66 0 F,8 i eff f eff 0 V 0 Ω,0 A i eff i eff f eff f eff i eff i eff f eff f eff (,0 A) 0 V 33 ma 300 V P i eff f eff (,0 A) ( 0 V) 0 W 6 ( F) C serie C C 0 9 F C + C 0 9 F F 9,0 0 9 F Q( t) C serie f em ( 9,0 0 9 F) 6,0 V ( 5,4 0 8 C)sen ( 34 rad/s)t cos ( 34 rad/s)t π Calcolo il primo istante di tempo in cui la carica è massima sull armatura di riferimento: sen( ωt ) ωt π 8

19 t π ω π ( 34 rad/s) 0,0050 s Calcolo il primo istante di tempo in cui la carica è massima sull altra armatura: sen( ωt ) ωt 3 π t 3π ω 3π ( 34 rad/s) 0,05 s 7 La frequenza di risonanza del circuito è f f ( 85 Hz),7 0 Hz L impedenza del circuito è Z + ωl + π f L π f C + π,7 0 Hz 45 Ω f eff Z 50 V 60 Ω 0,83 A ( H) ( F) π,7 0 Hz 60 Ω 8 f 50 Hz T f 0,00 s Si deve però considerare solo un semiperiodo, poiché la tensione è alternata: quando si inverte il suo segno cambia il verso della corrente. Con una corrente alternata gli elettroni descriveranno un moto armonico. Se indichiamo con s la distanza percorsa, l ampiezza del moto armonico è s/. Per il moto armonico si ha v max ωr ω s quindi s v max ω v max π f v max π f 0,06 µm 9 Φ Bπa cos( ωt + θ 0 ) f em P t ( t) d dt Φ B! f em ωbπa sen ωt + θ 0 ω B π a 4 sen ωt + θ 0 9

20 ω B π a 4 sen ( ωt + θ 0 ) t P Al tempo t 0 si ha ωbπa sen ωt + θ 0 P ( t 0 s) ( 0 rad/s) (,0 T)π 0,0 m 9,87 W sen π 4 ( 0 rad/s) (,0 T)π 0,0 m 9,87 W,0 0 Ω 0 Nel circuito scorre una corrente sen( ωt ) i t e quindi la carica sul condensatore è Q t sen ωt dt ω cos ( ωt ) Q 0 cos( ωt ) La carica massima sull armatura positiva del condensatore è Q 0 e si ha quando il condensatore è stato caricato dalla pila che mantiene una differenza di potenziale di,5 V. Quindi Q 0 V 0 C (,5 V) 3,5 0 9 F 5,3 0 9 C Calcolo la pulsazione del circuito LC: ω LC H 4,9 03 rad/s 3,5 0 9 F Sull armatura positiva del condensatore, dopo,5 s dal collegamento con la bobina, c è la carica Q( t,5 s) ( 5,3 0 9 C)cos ( 4,9 0 3 rad/s) (,5 s) 3, 0 9 C Il segno della carica indica che il condensatore si è scaricato, le armature hanno riacquistato la quantità di carica iniziale, ma con i segni invertiti, e ora la corrente scorre in verso opposto rispetto a prima. 0