LEZIONE DI ELETTRONICA

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1 LEZIONE DI ELETTRONICA Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale 2 MODULO : Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale PREMESSA L analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare il funzionamento di tali sistemi qualunque siano le caratteristiche del segnale applicato. Motivazione : un qualunque segnale può essere espresso come somma di infinite sinusoidi con particolari caratteristiche; in base al principio di sovrapposizione degli effetti, l effetto prodotto su un sistema lineare da un segnale di ingresso di qualsiasi forma è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle armoniche che compongono il segnale. Lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale è perciò utile per poter svolgere successivamente l analisi in frequenza dei quadripoli. È necessario comprendere bene i concetti introdotti e il relativo simbolismo di rappresentazione. Prerequisiti il calcolo con i numeri complessi; le leggi e i principi fondamentali dell elettrotecnica. Obiettivi conoscere come si rappresentano le tensioni e le correnti sinusoidali mediante FASORI; sapere quali sono e come si determinano le relazioni vettoriali tensione-corrente nei circuiti resistivi, induttivi, capacitivi; saper analizzare in regime sinusoidale reti elettriche costituite da alcuni elementi circuitali in serie e parallelo ed in particolare quelle necessarie per comprendere successivamente il funzionamento dei filtri del primo ordine a vuoto e a carico; saper tracciare e analizzare i diagrammi vettoriali che consentono di visualizzare graficamente le relazioni tra le varie tensioni e correnti di un circuito elettrico; saper determinare la potenza assorbita da un circuito e quella dissipata dai suoi componenti. 1

2 1. RELAZIONI TENSIONE-CORRENTE NEL DOMINIO DEL TEMPO RESISTORE i(t) Tensione applicata : vettore ruotante che genera la sinusoide v(t) v(t) = VM sen t V(t) = VM e jt i(t) = v(t) / R = (VM/ R) sen t i(t) = IM sen t I(t) = IM e jt Caratteristiche della corrente funzione sinusoidale con : pulsazione uguale a quella della tensione fase uguale a quella della tensione ampiezza indipendente dalla frequenza : IM = VM/ R CONDENSATORE Caratteristiche della corrente funzione sinusoidale con : pulsazione uguale a quella della tensione fase : in anticipo di /2 radianti ampiezza proporzionale alla frequenza : IM = CVM INDUTTORE Caratteristiche della corrente funzione sinusoidale con : pulsazione uguale a quella della tensione fase : in ritardo di /2 radianti ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza : IM = VM / L ESERCIZIO 1 Disegnare nei tre casi : le correnti i(t), correlate con v(t) i vettori ruotanti associati a v(t) e i(t) nell istante t = 0 2

3 In tutti i casi la corrente ha la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza) della tensione. Di conseguenza : In regime sinusoidale, in una qualsiasi rete elettrica di tipi R-C-L, tutte le correnti e le tensioni presenti nel sistema sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione. Tutti i vettori ruotanti associati alle grandezze sinusoidali presenti nel circuito hanno la stessa velocità angolare e perciò mantengono tra loro la stessa distanza angolare presente nell istante iniziale (t = 0). Per questi motivi l analisi dei circuiti in regime sinusoidale si può effettuare col metodo vettoriale, considerando vettori fissi, anziché vettori ruotanti. 2. RELAZIONI VETTORIALI TENSIONE-CORRENTE Resistore I = V / R V = R I Condensatore I = j CV V = I / j C = - j (1/C) I V = - j XC I Induttore I = V / (j L) V = j L I V = j XL I Come si può notare le tre relazioni sono analoghe e sono riconducibili all espressione dove Z è un numero complesso che nel primo caso ha solo la parte reale, mentre negli altri due casi ha solo la parte immaginaria. V = Z I R resistenza XC = 1/C reattanza capacitiva L effetto prodotto da una reattanza capacitiva XL = L reattanza induttiva è opposto a quello prodotto da una reattanza induttiva Z impedenza L impedenza di un bipolo passivo è il rapporto vettoriale tra la tensione applicata e la corrente assorbita dal bipolo ed è espressa da un numero complesso, in cui la parte reale rappresenta la componente resistiva, mentre la parte immaginaria rappresenta la componente reattiva. L impedenza di un bipolo passivo si calcola applicando le stesse regole viste in continua : impedenze in serie : Zs = Z1 + Z2 ohm impedenze in parallelo : 1/ Zp = 1/Z1 + 1/Z2 Siemens (S = ohm. -1. ) Alcuni esempi : resistore in serie con un condensatore Z = R - jxc resistore in serie con un induttore Z = R + jxl condensatore in serie con un induttore Z = j (XL - XC ) resistore in parallelo con un condensatore Z = R. jxc / (R - jxc ) condensatore in parallelo con un induttore Z = XL XC / j(xl - XC ) 3

4 3. METODO per svolgere l analisi vettoriale dei circuiti R, C, L in regime sinusoidale Si calcolano le reattanze presenti nel circuito tenendo conto della frequenza del segnale applicato Si sostituiscono i condensatori e le induttanze con le rispettive reattanze C -j / C L jl Si esprime la tensione sinusoidale applicata in forma vettoriale vi(t) Vi = Vi i Applicando i principi dell elettrotecnica e usando il calcolo vettoriale si determinano le altre correnti e tensioni dei sistema in forma vettoriale Se necessario si tracciano i diagrammi vettoriali per visualizzare in forma grafica le relazioni tra le varie grandezze Si esprimono nel dominio del tempo le tensioni e le correnti che si ritiene utile avere in questa forma. Vo = Vo o vo(t) Io = Io o io(t) 4

5 Esempio A vi = VM sen t Vi = VM 0 L jxl VL XL = L XC = 1/C B ZT = R + jxl jxc = R + j (L 1/C ) Vi C -jxc R VC C VR I = Vi / ZT VR = R I VL = jxl I VC = -jxc I D Vi = VR + VL + VC Diagramma vettoriale nel caso in cui XL < XC VL VR I Vi VC+VL VC ESERCIZI 2 Con vi = 5 sen 10 3 t determinare tutte le correnti e le tensioni dei seguenti circuiti e tracciare i rispettivi diagrammi vettoriali. Resistore di 1 K in serie con condensatore di 1 MF Condensatore di 1 MF in parallelo con induttore di 2 Henry Resistenza di 2 K in serie col parallelo precedente Resistenza di 10 K in parallelo con condensatore di 100 nf Resistenza di 5 K in serie col parallelo precedente. Resistenza di 5 K in serie con condensatore di 100 nf in serie con induttore di 10 Henry. 5

6 4. POTENZA ELETTRICA IN REGIME SINUSOIDALE In regime sinusoidale solo le resistenze dissipano potenza sotto forma di calore, mentre le capacità e le induttanze scambiano potenza, ma non la dissipano. La potenza dissipata dai componenti resistivi di un circuito prende il nome di potenza attiva e si indica con P. La potenza media scambiata dai condensatori e dagli induttori prende il nome di potenza reattiva e si indica con Q. La potenza scambiata da condensatori e induttori sono di segno opposto : si considera positiva quella dell induttore e negativa l altra. Il valore efficace di una tensione v(t) o di una corrente i(t) è il valore della corrispondente grandezza continua che, applicata allo stesso circuito, determina una potenza attiva pari a quella prodotta dalla grandezza variabile. Si può dimostrare che, in regime sinusoidale, il valore efficace di una grandezza elettrica è pari al valore massimo fratto radice di due. Veff = VM / 2 Ieff = IM / 2 Potenza attiva dissipata da una resistenza PR = R Ieff 2 = R IM 2 / 2 Potenza reattiva scambiata da un condensatore QC = - XC Ieff 2 = - XC IM 2 / 2 Potenza reattiva scambiata da un induttore QL = XL Ieff 2 = XL IM 2 / 2 dove I eff è il valore efficace della corrente che attraversa rispettivamente il resistore, il condensatore, l induttore. Per un bipolo ohmico-reattivo si può dimostrare che : P = Veff Ieff cos Q = Veff Ieff sen dove V eff I eff cos è il valore efficace della tensione applicata al bipolo è il valore efficace della corrente che attraversa il bipolo è l argomento dell impedenza del bipolo e dunque lo sfasamento della V rispetto alla I prende il nome di fattore di potenza Si ha il massimo fattore di potenza, pari a 1, quando tensione e corrente sono in fase (Ø=0). A = Veff Ieff prende il nome di potenza apparente triangolo delle potenze A P Q 6

7 Si definisce potenza complessa il prodotto: S = V I* dove I* il complesso coniugato di I (differisce da I per il segno della parte immaginaria). Si dimostra che S = V I* = P + jq Il modulo della potenza complessa: S = S = (P 2 + Q 2 ) ½ è la potenza apparente. potenza attiva potenza reattiva potenza apparente GRANDEZZA UNITA' DI MISURA P watt W Q voltampere reattivi var A voltampere VA POTENZA IN TENSIONE ALTERNATA La potenza in corrente alternata si esprime in tre modi diversi, ognuno con un suo significato particolare. POTENZA ATTIVA La potenza attiva P è quella effettivamente assorbita e che viene trasformata in calore per effetto Joule o in lavoro utile nelle macchine elettriche. Si misura in watt e viene calcolata con la formula: P = Veff x Ieff x cosø dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente. In un circuito costituito da sole resistenze (circuito puramente ohmico), tensione e corrente non risultano sfasate (Ø=0 e cosø=1): P=VeffxIeff In un circuito con il massimo sfasamento possibile (Ø=90 e cosø=0 - circuito puramente induttivo o circuito puramente capacitivo), non si ha potenza attiva: P=0 POTENZA REATTIVA La potenza reattiva Q riguarda l'energia che viene alternativamente assorbita e restituita dal campo magnetico (circuiti induttivi) o dal campo elettrico (circuiti capacitivi). Si misura in var (voltampere reattivi) e viene calcolata con la formula: Q = Veff x Ieff x senø dove Ø è lo sfasamento tra tensione e corrente. In un circuito puramente ohmico (Ø=0; senø=0): Q=0 In un circuito con sfasamento Ø=90 (senø=1): Q=VeffxIeff 7

8 POTENZA APPARENTE La potenza apparente non ha un significato particolare, ma è utile poichè è legata al valore della corrente I effettivamente in gioco nel circuito in esame. Non viene influenzata dall'angolo di sfasamento tra tensione e corrente. Può essere considerata come il valore massimo di potenza attiva che otterremmo annullando lo sfasamento tra tensione e corrente. Si misura in voltampere (VA) e viene calcolata con la semplice formula: A = Veff Ieff ESERCIZI 3 Nei bipoli indicati nell esercizi 2 determinare : la potenza assorbita dai bipoli, quella dissipata dalle singole resistenze e il cos. 8