Esercizi sul regime sinusoidale

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1 59 - Esercizi sui circuiti elettrici Esercizi sul regime sinusoidale A - Per la forma d onda mostrata in figura, calcolare il valor medio in un periodo. A a(t) A, B > T T - B t isposta: A m = A T T - B - T T. Quale relazione deve intercorrere fra i parametri A, B, T e T affinché la funzione periodica proposta sia alternata? A2 - Nel dispositivo mostrato in figura, il cursore è animato da moto periodico tra la posizione A e la posizione B. Determinare l energia dissipata nell intero circuito per effetto Joule, nel tempo T, necessario per andare da A fino a B. A E i(t) B

2 6 - Esercizi sui circuiti elettrici isposta: risulta U = E2 T log. A3 - Determinare la somma delle quattro funzioni sinusoidali a (t) = 2 sen(t), a 2 (t) = 4 sen t - π 2, a 3 (t) = 6 sen(t - π), a 4 (t) = 8 sen t π. isposta: a(t) = a (t) a 2 (t) a 3 (t) a 4 (t) = 4 2 sen t 3 4 π. A4 - Determinare la differenza delle due funzioni sinusoidali a (t) = 5 cos(2t), a 2 (t) = sen 2t - π 4. isposta: a(t) = a (t) - a 2 (t) = cos 2t arctan 5 2. A5 - Dimostrare che la somma delle tre funzioni sinusoidali a (t) = A cos(ωt), a 2 (t) = A cos ωt π, a 3(t) = A cos ωt π, è nulla quale che sia il valore della pulsazione ω e del valore massimo A. A6 - Verificare che la somma delle tre funzioni sinusoidali b (t) = B sen ωt 2 3 π, b 2(t) = B sen(ωt), b 3 (t) = B sen ωt π, risulta nulla quale che sia il valore scelto per la pulsazione ω e per il valore massimo B.

3 6 - Esercizi sui circuiti elettrici A7 - Per il circuito di figura, si determini l impedenza vista dai morsetti AB sia in forma algebrica, sia in forma esponenziale. A B isposta: l impedenza, scritta in forma algebrica, vale a dire in termini di parte reale ed immaginaria, è pari a Z AB = j ω - ω 2, da cui si ricava facilmente la forma esponenziale Z AB = Z AB exp(j ϕ AB ), vale a dire in termini di modulo e fase, Z AB = 2 (ω) 2, ϕ - ω 2 2 AB = arctan ω - ω 2. A8 - Si determinino i valori dei parametri S ed X S in maniera tale che i due bipoli mostrati in figura siano equivalenti, nell ipotesi che P =, X P = 5. A A S P X P X S B B isposta: i parametri richiesti valgono

4 62 - Esercizi sui circuiti elettrici S = 2, X S = 4. A9 - Determinare l impedenza vista dai terminali A e B del bipolo mostrato in figura. X X 3 A B X 2 Dati: = 5, X = 3, X 2 =, X 3 = 4. isposta: l impedenza richiesta risulta pari a Z AB = j j. A - Si calcolino l impedenza e l ammettenza equivalente del bipolo dai terminali A e B. A X X B Dati: X =, X = 2. isposta: risulta agevolmente che Y = -.5 j, Z = Y = 2 j.

5 63 - Esercizi sui circuiti elettrici A - Determinare le correnti che attraversano i tre rami della rete mostrata in figura, sia come fasori che nel dominio del tempo. e (t) i (t) 2 i 3 (t) i 2 (t) 3 e 2 (t) Dati: e (t) = E cos(ωt), e 2 (t) = E 2 sen(ωt), E = E 2 =, ω = krad/s, = 5, = 5 mh, =.2 mf. Esercizio A *Due generatori in corrente alternata m 2 3.2m VE A VE2 3 A -9.A IN PINT A IM(VE) IP(VE).PINT A IM(VE2) IP(VE2).PINT A IM() IP() isposta: le correnti richieste valgono i (t) = - 2 cos(t), i 2 (t) = 2 5 cos(t - arctan 2), i 3 (t) = 4 cos t - π 2 = 4 sen(t). Si osservi che arctan 2.7 rad.

6 64 - Esercizi sui circuiti elettrici A2 - isolvere la rete utilizzando prima le leggi di Kirchhoff, poi il metodo delle correnti di maglia, infine il metodo dei potenziali nodali. Quale dei due metodi ridotti risulta più conveniente per la rete assegnata? e (t) e 2 (t) i i (t) 2 (t) i 3 (t) 3 Dati: e (t) = E sen(ωt), E =, e 2 (t) = E 2 sen(ωt), E 2 = 2, ω = krad/s, = 3 =, 2 = mh, 3 = mf. Esercizio A2 *ircuito in corrente alternata m 3 3 m VE A -9 VE2 2 A 2-9.A IN PINT A IM(VE) IP(VE).PINT A IM(VE2) IP(VE2).PINT A IM(3) IP(3) isposta: le correnti valgono

7 65 - Esercizi sui circuiti elettrici i (t) = sen t π 2 = cos(t), i 2 (t) = 2 sen t - π 4, i 3 (t) = sen(t). A3 - a rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Determinare la corrente i(t) e la potenza complessa erogata dal generatore di tensione. 2 3 i(t) j(t) Dati: = E sen(ωt), E =, j(t) = - I cos(ωt), I = 2 ma, ω = 2, = 5 kω, = 5 mh, = µf. Esercizio A3 *ircuito in corrente alternata 2 5e3 2 e e-3 VE A -9 IJ 3 A 2e-3-8.PINT A IM() IP().PINT A IM(VE) IP(VE).A IN isposta: la corrente che fluisce nel resistore è nulla e, pertanto, P G = j mva.

8 66 - Esercizi sui circuiti elettrici A4 - a rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Applicando il teorema di Thévenin, oppure quello di Norton, ai morsetti 2 e, si determini la corrente i(t) che attraversa nel resistore. 2 3 j(t) i(t) j(t) Dati: = E sen(ωt), E =, j(t) = I cos(ωt), I = 2, ω = krad/s, =, = mh, = µf. Esercizio A4 *Verifica del teorema del generatore equivalente m 2 3 u VE A -9 IJ 3 A 2.A IN PINT A IM() IP() isposta: la corrente richiesta è pari a i(t) = - 5 sen ωt arctan 3 = 5 cos ωt π 2 arctan 3. A5 - a rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Applicando il teorema di Thévenin ai morsetti 2 e, si determini la corrente i(t) che circola nel resistore.

9 67 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 i(t) j(t) Dati: = E sen(ωt), E =, j(t) = - I cos(ωt), I =, ω = krad/s, = 2, = mh, = /2 mf. Esercizio A5 *Ancora sul generatore equivalente m 2.5m VE A -9 IJ 2 A -8.A IN PINT A IM() IP() isposta: i(t) = 2 4 sen t - π 4 = 2 4 cos t π. Si provi pure a determinare la stessa corrente usando il teorema di Norton: una volta in possesso dei parametri equivalenti di Thévenin, ottenere quelli di Norton è piuttosto semplice. A6 - Il circuito rappresentato in figura è a regime. Determinare la corrente i(t) che attraversa il resistore, applicando il teorema di Norton ai morsetti 2 e.

10 68 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 3 i(t) j(t) Dati: = E sen(t), E =, j(t) = I cos(t), I =, =, =, = mf, = mh. Esercizio A6 *Teorema di Norton m 2 m VE A -9 IJ 3 A.A IN PINT A IM() IP() Il listato precedente non realizza il teorema di Norton, ma fornisce una verifica della correttezza del risultato, dato che è possibile ottenere i potenziali complessi di tutti i nodi della rete. Si rammenta che Spice adotta le funzioni cosinusoidali quali funzioni di riferimento per la descrizione in termini di fasori. Infine, disponendo dei potenziali, è semplice verificare la conservazione delle potenze complesse, ovvero delle potenze attive e reattive considerate separatamente. isposta: la corrente richiesta, nel dominio del tempo, vale i(t) = cos(t). A7 - Determinare il circuito equivalente di Thévenin (Norton), visto dai

11 69 - Esercizi sui circuiti elettrici morsetti 2 e 3, per la rete mostrata in figura. 2 3 Dati: = E cos(ωt), E =, ω = 2 krad/s, =, = mh, = 5 µf. Esercizio A7 *Teorema del generatore equivalente m 3 5u VE A.A IN 3.83k 3.83k.PINT A VM(2,3) VP(2,3) isposta: risulta, facendo la convenzione ai valori efficaci, Z = 5 ( j), E = 5 ( - j ) 2 e (t) = 5 2 cos ωt - π 4. A8 - Determinare il circuito equivalente secondo Norton, visto dai terminali AB, per la rete mostrata in figura.

12 7 - Esercizi sui circuiti elettrici X A j(t) X B 2 Dati: J = 6, = 25, 2 = 5, X = 3, X = 5. isposta: l impedenza equivalente e la corrente di cortocircuito valgono, rispettivamente, Z = 25 (2 - j), I = 8 5 (4-3 j). A9 - Determinare il circuito equivalente secondo Thévenin, poi quello secondo Norton, visto dai terminali 2 e 5, per la rete mostrata in figura che opera in regime sinusoidale. X 2 6 E 3 4 X 5 Dati: E = 6, =, = 4, X = 4, X = 4. I listati Spice che seguono sono utili per verificare il valore della tensione a vuoto

13 7 - Esercizi sui circuiti elettrici e dell impedenza equivalente. Esercizio A9. *Verifica della tensione a vuoto VE 3 A 6.A IN PINT A VM(2,5) VP(2,5) Esercizio A9.2 *Verifica dell impedenza equivalente VE 3 A VE2 2 5 A.A IN PINT A IM(VE2) IP(VE2) isposta: i parametri equivalenti risultano pari a E =, Z = 29 6 = A2 - alcolare l impedenza vista dai terminali e per la rete mostrata in figura.

14 72 - Esercizi sui circuiti elettrici r i(t) 2 i(t) 3 Dati: = 3, =.6 mh, =.4 µf, r = 5, ω = krad/s. Esercizio A2 *Impedenza equivalente m 3.4u V 4 2 D H 2 V 5 VIN A.A IN PINT A I(VIN) II(VIN) isposta: l impedenza equivalente vale Z = 2-5j. a codifica dei generatori controllati in regime sinusoidale è simile a quella studiata in regime stazionario. A2 - a rete mostrata in figura è a regime. Si determini la corrente i(t) e l energia assorbita dal resistore in un periodo T = 2π/ω.

15 73 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 i(t) j(t) Dati: = E = 5, j(t) = I cos(ωt), I = 2, ω = krad/s, =, = mh, = mf. Esercizio A2 *Energia assorbita dal resistore 2 2 m 2 m VE D 5 IJ 2 D A 2.A IN PINT A IM() IP() isposta: risulta i(t) = 5-2 cos(t), U(, T) = T i 2 (t) dt = 54 π mj mj A22 - a rete mostrata in figura è a regime. Si determini il valore medio in T della potenza istantanea assorbita dal resistore.

16 74 - Esercizi sui circuiti elettrici i(t) j(t) Dati: T =.2, ω = 2π/T, = E =, j(t) = I cos(ωt), I = 2, = 2, = 8 mh, =.4 nf. isposta: P A23 - a rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Determinare la corrente i 2 (t). 2 3 i (t) i(t) 4 r i 2 (t) i 2 (t) 2 Dati: = E cos(ωt), E = 3, ω = krad/s, r = 3, = 4, 2 =, = 5 mh, = 2 µf. Esercizio A23 *Generatore controllato in alternata VE A 3 2 5m 2 4 4

17 75 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 3 2u VEA 5 D H 4 VEA 3.A IN PINT A IM(2) IP(2) isposta: la corrente richiesta vale i 2 (t) = cos ωt - π 4. A24 - a rete mostrata in figura opera in regime periodico. Determinare il valor medio della potenza assorbita nel periodo T dal resistore i(t) j(t) Dati: = E sen(ω t), j(t) = I cos(ω 2 t), E = 6, I = 4 7, T = 8π ms, ω = 2π/T, ω 2 = 2 ω, = 2 = 2, = 8 mh, = 4 mf. Esercizio A24- *Agisce il solo generatore di tensione m 2 4m VE A 6-9.A IN PINT A VM() VP()

18 76 - Esercizi sui circuiti elettrici Esercizio A24-2 *Agisce il solo generatore di corrente m 2 4m IJ 3 A A IN PINT A VM() VP() isposta: la potenza richiesta è pari a P = 6 9. A25 - a rete mostrata in figura opera in regime periodico. Determinare la corrente i(t) che fluisce nel generatore. j(t) 2 j(t) i(t) Dati: j(t) = I cos(ω t), = E cos(ω 2 t), I = 4, E = 3 2, ω = krad/s, ω 2 = 3 ω, =.75, = 2 mh, =.5 mf. Per risolvere l esercizio proposto è opportuno adoperare la sovrapposizione degli effetti. Esercizio A25 *Analisi con il solo generatore di tensione 2.75

19 77 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 2m 2.5m VE A A IN PINT A IM(VE) IP(VE) isposta: la corrente richiesta vale i(t) = 4 cos 3t π 4 - cos(t). Si noti come la corrente sia una combinazione di due funzioni cosinusoidali di diverse pulsazioni, una per ciascun generatore che forza la rete. A26 - alcolare il valore dell impedenza Z incognita. 3 2 j 2 V Z Z V G - 5 j V 4 j I Z I G Dati: V G = - 5 j, V = 4 3 j, I G = 2 3 j. isposta: Z.35-3 j. A27 - a rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. alcolare il valore della corrente che fluisce nel ramo 2-3.

20 78 - Esercizi sui circuiti elettrici 3 j V G I - j 5 j I G Dati: V G =, I G = - 25 j. Vale la pena notare che i dati di questo esercizio sono stati assegnati direttamente nel dominio dei fasori, non nel dominio del tempo come è consuetudine. Esercizio A27 *Per la codifica si è scelto ω = krad/s m m 2.m VG A IG 3 A 25-9.A IN PINT A I(2) II(2) isposta: il fasore che rappresenta la corrente richiesta vale approssimativamente I j. A28 - Si determini l impedenza Z che realizza la condizione di adattamento alla rete funzionante in regime sinusoidale. Si valutino, poi, la potenza attiva e reattiva assorbite dalla Z.

21 79 - Esercizi sui circuiti elettrici j A (t) j B (t) 2 Z 3 j (t) Dati: ω = rad/s, = E sen(ωt), E =, j A (t) = J A sen(ωt - π/4), J A = 2, j B (t) = J B cos(ωt), J B = 5, =, =., = mf. Prima di risolvere il quesito proposto, è consigliabile rivedere le condizioni di adattamento. Esercizio A28 *ondizione di adattamento m eq 2 eq. VE 3 A -9 IA A 2-35 IB 2 A 5.A IN PINT A VM(2) VP(2).PINT A IM(eq) IP(eq) isposta: risulta Z = j, P 96, Q 96 VAr. Si verifichi, infine, la conservazione delle potenze complesse.

22 8 - Esercizi sui circuiti elettrici A29 - Un modello di amplificatore a MOSFET, un particolare circuito elettronico, è mostrato in figura. alcolare la tensione v(t) sulla resistenza di carico. 2 3 v(t) v (t) αv (t) Dati: = E sen(ωt), E =, ω = krad/s, =, = µf, = 8 µf, = kω, α = ms. Si simuli il circuito per mezzo del listato che segue. Esercizio A29 *Schema di amplificatore a MOSFET V A G 3 2 e e e-6 3.A IN PINT A VM(3) VP(3) isposta: la tensione richiesta è pari a v(t) = sen t π 6. A3 - a rete in figura opera in regime sinusoidale. Determinare l ammettenza vista dal generatore, la potenza complessa erogata dal generatore di corrente e,

23 8 - Esercizi sui circuiti elettrici infine, la tensione v AB (t). A a : j(t) 2 B Dati: j(t) = I cos(ωt), I =, ω = Mrad/s, = 2, 2 = 2, = 2 µh, =.5 µf, a =. isposta: Y =. ( j), P = 25, Q = - 25 VAr, v AB (t) = 5 2 cos ωt - π 4. A3 - a rete in figura opera in regime sinusoidale. Determinare la potenza complessa erogata dal generatore di tensione. a : Dati: = E cos(ωt), E = 6.4 V, ω = 2 rad/s, = Ω, = 64 mh, =.25 mf, a =.8. isposta: la potenza complessa è pari a P = 8.2. A32 - Si valutino le potenze, attiva e reattiva, erogate dal generatore di tensione nella rete di figura in regime sinusoidale.

24 82 - Esercizi sui circuiti elettrici j(t) M j(t) Dati: = E sen(ωt), E = 2, j(t) = - J cos(ωt π/4), J = 2, ω = krad/s, = 2 =, 3 = 2.5, = 5 mh, =. mf, 2 =.4 mf, = mh, 2 = 2.5 mh, M = 5 mh. Questo esercizio è un po più complicato rispetto a quelli fin qui proposti. Esso può essere usato come esercizio riassuntivo su Spice, oppure per organizzare un lavoro di gruppo. Esercizio A32 *Doppio bipolo accoppiamento mutuo m 3 m m 2.m m K2 2 VE 6 A IJ 2 A A IN PINT A I(VE) II(VE) isposta: P E =.6 kw, Q E = -.2 kvar.

25 83 - Esercizi sui circuiti elettrici A33 - Dimostrare che la condizione di equilibrio della generica rete a ponte mostrata in figura è data dalla relazione Z Z 4 = Z 2 Z 3. Z Z 2 Z Z 3 Z 4 E A34 - Per la rete mostrata in figura, studiare l andamento del fasore della corrente i(t) al variare della frequenza. 2 i(t) 2 Dati: = E cos(ωt). Per la codifica Spice sono stati utilizzati alcuni valori ai parametri; si provi a cambiarli per studiare l andamento in frequenza del fasore della corrente. Esercizio A34 * = 2 = 2 Ω, = mh

26 84 - Esercizi sui circuiti elettrici 2 m VE A.A IN 5 e-6 e5.pobe isposta: posto τ = 2 2, il modulo e la fase del fasore I(ω) risultano pari a I(ω) = E (ωτ) 2, ϕ(ω) = arg I(ω) = - arctan(ωτ). A35 - Per la rete mostrata in figura, studiare l andamento del fasore della corrente al variare della pulsazione imposta dal generatore. i(t) 2 Dati: = E cos(ωt). isposta: posto τ = 2 /( 2 ), è facile verificare che Modulo normalizzato E I(ω) = ωτ (ωτ) 2, Fase ϕ(ω) = arg I(ω) = π 2 - arctan(ωτ). I grafici del modulo e della fase della corrente I(ω) sono di seguito riportati.

27 85 - Esercizi sui circuiti elettrici Modulo normalizzato ωτ Fase ωτ A36 - isolvere la rete per ω ω e discutere, a parte, il caso limite ω = ω. Tracciare i diagrammi dei moduli delle correnti nell induttore e nel generatore, al variare della frequenza.

28 86 - Esercizi sui circuiti elettrici i (t) i(t) Dati: = E cos(ωt). isposta: posto ω = /, x = ω/ω e Q = ω /, risulta modulo di I (ω) E I (ω) = (x 2 - ) 2 x 2 Q 2, modulo di I(ω) E I(ω) = x 2 - (x 2 - ) 2 x 2 Q 2. 2 Modulo di I 8 6 Q = / Q = Q = ω/ω

29 87 - Esercizi sui circuiti elettrici.2 Modulo di I.8 Q = / Q = Q = ω/ω A37 - Determinare l andamento qualitativo della reattanza X (ω) al variare della pulsazione ω. isposta: X (ω) = ω ω - ω ω 2, con ω =. Vale la pena notare che la reattanza è una funzione non definita per ω = ω, dato che, in corrispondenza di questo punto, presenta un asintoto verticale, attorno al quale assume valori molto elevati, tendenti all infinito.

30 88 - Esercizi sui circuiti elettrici A38 - Utilizzare i parametri della rappresentazione in termini di ammettenze per calcolare le correnti nei due generatori. v (t) ' i (t) 3 i 2 (t) 2 v 2 (t) 2' Dati: v (t) = cos(t), v 2 (t) = 2 sen(t), =, = mh, = mf. Nella figura sono stati disegnati anche i nodi ' e 2', non sono necessari alla codifica Spice: sono stati riportati solo allo scopo di facilitare l individuazione della porta primaria e secondaria del doppio bipolo. Esercizio A38 *Doppio bipolo in alternata m 3 m VE A VE2 2 A 2-9.A IN PINT A IM() IP().PINT A IM() IP() isposta: risulta Y =.5, Y m =.5j, Y 22 =.5 - j ; i (t) = 5 cos(t), i 2 (t) = cos(t arctan.25). A39 - Per il doppio bipolo mostrato in figura, calcolare le rappresentazioni in termini di impedenze, di ammettenze ed ibrida.

31 89 - Esercizi sui circuiti elettrici V ' I I 2 2 V 2 2' Dati : ω = krad/s, = 2, = 2, = 2 mh, = mf. isposta: Z = 6-3 j 5, Z m = 2 - j 5, Z 22 = 4 3 j 5 ; Y = 3 j 4, Y m = - j 4, Y 22 = 3-3 j 4 ; H = = 6-2 j Y 5, H 2 = Z m = - 2 j Z 22 5 = - H 2, H 22 = = 4-3 j Z 22 5 A4 - Per il doppio bipolo mostrato in figura, determinare la rappresentazione in termini di impedenze. osa accade se X = X?. X X I I 2 2 V V 2 ' 2' isposta: gli elementi della rappresentazione in termini di impedenze risultano

32 9 - Esercizi sui circuiti elettrici Z = - j X j X j X - X, Z m = - j Z 22 = j X - X j X - X. X j X - X, Nel caso particolare X = X, i precedenti elementi diventano Z = X 2 - j X, Z m = - j X, Z 22 =. A4 - a rete mostrata in figura, a riposo per t <, è forzata da un generatore sinusoidale del tipo = E sen(ωt) u(t). 2 i (t) i(t) i (t) v (t) Assumendo che tra i diversi parametri sussista la relazione ω = 2 =, determinare la corrente che circola nell induttore e l energia complessivamente assorbita dal resistore. Eseguire, infine, la codifica Spice assegnando dei valori numerici ai diversi parametri. Assumendo, per esempio, = 5, = µf, = mh, E = 2, risulta ω = 2 = = krad/s, e l esercizio si può codificare secondo il listato che segue.

33 9 - Esercizi sui circuiti elettrici Esercizio A4 *odifica Spice VE sin( k ) m 2 u.tan n.5m.pobe isposta: la corrente risulta pari a i (t) = E ω ( ωt) e-ωt - cos(ωt) u(t), mentre l energia vale (si consulti la tavola di integrali riportata in appendice) U = i 2 (t) dt = E2 (ωt) 2 e -2ωt dt = E2 ω x 2 e -2x dx = 2 E2.